Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В этом качестве оно не позволяет измерить временные постоянные, связанныес другими механизмами деградации спинового состояния-декоге- известными под общим названием одно(homogeneous dephasing; также употребляетсяренцией и термализацией,родного дефазированuятерминrelaxation -релаксация).
Но в таких приложениях, как медицинская томография (отступление4.7),нам интересны как раз этипоследние временные постоянные, поскольку именно они характеризуют для нас вещество образца.К счастью, от эффекта неоднородного уширения можно избавитьсяпри помощи красивой методики, известной как спиновое эхо.
Послеокончания спада свободной индукции можно послать дополнительный импульс площадью л, чтобы перевернуть все блоховские векторывокруг оси х. Как видно на рис. 4.11, это инвертирует угловые положения всех блоховских векторов по отношению к среднему по ансамблю.В результате расхождение спинов сменится на схождение: хотя каждый отдельный спин будет продолжать эволюционировать с той жескоростью, что и прежде, его движение от среднего превратитсяв движение к среднему. Спины воссоединятся в едином направлениив момент времениное поле-t = 2t0 ,порождая при этом сильное электромагнитэхо-импульс.303ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление4. 7.Магнитно-резонансная томографияМедицинский магнитно-резонансный сканер. Тороидальная структуракатушка, порождающая постоянное поле.
Источник :-это сверхпроводящаяWikipediaМагнитно-резонансная томография основывается на регистрации спинового эхосигнала от протонов (ядер водорода), которые содержатся в молекулах воды внуrритела пациента . Данный сигнал анализируют, чтобы определить характерное времярелаксации этих спинов, которое картируется в соответствии с положением источника сигнала, в результате чего получается трехмерное изображение.
Посколькувремя дефазирования зависит от вещества, в котором находятся излучающие спины,это трехмерное изображение отражает структуру органа и ткани, а также их патологии. Например, серое и белое вещества в человеческом мозге различаются по времени дефазирования примерно на30%.Для реализации томографии на практике мы должны знать, из какой точкиисходит каждый эхо-сигнал . Чтобы этого добиться, постоянному полю придают градиент, благодаря которому резонансная частота зависит от координаты. Таким способом добиваются того, что на радиочастотное поле конкретной частоты отзываютсятолько те протоны, что локализованы в тонком слое тела пациента. Для созданиятрехмерного изображения используется сложная последовательность импульсов,для каждого из которых постоянное поле имеет градиент в друтом направлении .Результатом этого становится спиновый эхо-сигнал со сложной временной зависимостью, которая несет в себе информацию о положении источников.Одна из множества проблем магнитно-резонансной томографии состоит в том,что приготовить все спины в одинаковом начальном состоянии трудно.
До включения радиочастотных импульсов спины протонов находятся в тепловом равновесии с окружающей средой, а это означает, что между плотностями протонов в состояниях со спинами «вверх» и «вниз» наблюдается лишь небольшая разница (упр .5.54).В ходе эволюции блоховские векторы этих групп протонов будут ориентированы противоположно, и излучаемые ими сигналы в значительной степени компенсируют друт друта.
В этом смысле налицо отличие от атомной физики (упр.4.47),где энергетическая разница между уровнями, а значит, и различие в их населенности намного выше.304ГЛАВАУпражнениеt0 » 1 / Л 0 ,4.76.В условиях упр.ансамбль4.75,подвергается4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАпосле истечения временидействиюоченькороткогол-импульса. Рассчитайте средний магнитный момент во вращающемсябазисе в зависимости от времениt > t 0 • Релаксацией пренебречь.Ответ:(ii)=( 0,-h; .-"'~;"•'',О](4.90)Явления релаксации, которыми мы пренебрегли в данном расчете,ведут к ослаблению эхо-сигнала с ростом t 0 • Измерив действие, котоt0рое производит изменениена силу эха , можно измерить характерное время релаксации.z2.3.Первый импульс (п/2)zРис.4.11.- 2 / л,Спиновое эхо1021,ВремяСпад свободной индукции и спиновое эхо.
ана сфере Блоха:1)импульсzВторой импульс (п)спад свободной индукциио4.11/2 вмоментt=-представлениеО поворачивает блоховские векторы всех спинов так, чтобы они указывали в положительном у-направл ении;2)спины с различной отстройкой расходятся по экватору сферы Блоха; З)в момент t0 л-импульс переворачивает все блоховские векторы относительнооси х; 4) в момент 2t0 блоховские векторы вновь сходятся ; Ь - зависимостьполя, генерируемого ансамблем (пропорционально среднему у-компонентуспина), от времени.Еще одной крупной областью применения магнитного резонансаявляется метрология времени. Предположим, нам нужно узнать в точности, попадает ли наше радиочастотное поле в резонанс со спиновым переходом.
Это можно сделать при помощи метода, известногокак спектроскопия Рамзея.305ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение4. 77.Рассмотрите следующую процедуру, совершаемую над спином, который первоначально находился в состоянииli).Подается короткий импульс площадью л/2. Частота Раби выби1.рается такая, что Q»Л, поэтому мы можем пренебречь отстройкой во время импульса и считать площадь импульса равнойв точности л/2.2.Радиочастотное поле выключается на времяt, так что атомсвободно эволюционирует.3. Подается еще один импульс площадью л/2.4. Измеряется населенность состояний li) и 11 ).Покажите, что конечная вероятность обнаружения частицы в состоянии1t)ведет себя как 1 \jl i12= cos 2 Лt / 2 .
Решитезадачу во вращающемся базисе двумя способами:1)используя геометрию, чтобы проследить поведение вектора2)рассчитав матрицу оператора эволюции, задаваемую двумяБлоха в зависимости от времени;импульсами и периодом свободной эволюции.Преимущество метода Рамзея состоит в том, что в период свободной эволюции двухуровневую систему «не тревожат», оптимизируятем самым ее точность как стандарта частоты (отступлениеЯвление биений Рамзея(Ramsey fringes)4.8).может показаться парадоксальным.
Зависимость конечной населенности от Лt возникаетв результате свободной эволюции атома в период, когда радиочастотное поле выключено. Как может отстройка поля, которое выключено,повлиять на экспериментально измеряемую величину?Ответ заключается в том, что отстройка радиочастотного поляопределяет разность фаз двух импульсов л/2 по отношению другк другу. Как мы выяснили в упр.4.73,эта разность имеет принципиальное значение для конечной населенности энергетических уровней.При решении упр.4.77мы использовали один и тот же оператордля двух импульсов, что можно делать только в том случае, если обаимпульса «вырезаны» из волны, описываемой уравнением(4. 79).
Другими словами, обе фазы жестко привязаны к единому «хронометру»cos oot ,который работает в течение всего эксперимента. Отстройкачастоты этого хронометра сдвинула бы эти фазы, а следовательно,и повлияла бы на результат измерения конечной населенности.306ГЛАВАОтступление4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.8.
Атомные часыВ атомных часах в качестве «маятника» работает узкополосный, стабильный и воспроизводимый атомный переход. Например, определение секунды привязано к частоте,соответствующей переходУ между двумя сверхтонкими уровнями основного состоянияатома цезия-133. Секунда определена таким образом, что частота перехода ЛЕ/2лh,где ЛЕ - энергетическая разность между уровнями, равна в точности 9192631 770 Гц.На фотографии (источник:фонтанеNIST Flв Колорадо-Wikipedia)можно видеть атомные часы на цезиевомглавный стандарт времени и частоты в США во времянаписания данной книги.
Относительная неопределенность этих часов составляет3,1хl0- 16, что соответствует примерно одной секунде за 100 млн лет.В часах используется спектроскопия Рамзея. Атомы цезия собираются и охлаждаются до миллионных долей кельвина в магнито-оптической ловушке, а затем «подбрасываются» вверхпри помощи лазерного луча. В ходе свободного падения они подвергаются действиюдвух импульсов Рамзея, разделенных периодом свободного падения длительностью0,56 с. Использование свободного падения гарантирует, что энергии атомных уровнейне тревожатся в ходе экспериментального цикла.
В постоянном поле нет необходимости, потому что расщепление энергетического уровня присутствует здесь само по себе.После второго импульса Рамзея измеряется населенность двух атомных уровней. Полученные данные показывают, насколько частота генератора радиочастотного поля, выдающего импульсы Рамзея, отклонилась от частоты атомного перехода . Затем эта частота подстраивается при помощи механизм а обратной связи.4.8.ЗадачиЗадача 4.1.
Найдите общий вид коммугатора [i1 ,[ik,F,]]. Проверьтесвой ответ на конкретных примерах: [ix,[iY,r, ]], [ix,[(,r, ]] и[ix,[i,,FJ] .Задача4.2.Выведите дифференциальный оператор(4.26) дляквадрата момента импульса из выражения для лапласиана в сфериче-307ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАских координатах, известного из курса дифференциального исчисления:л2V1 д2 Jд ( 2 д ) 1 д 8. 8 д2 8д 2 ф 'sin+дешsin8д8+дr=72 дr r1[а также из выраженийЗадача(4.22), (4.27)и(4.91)(4.28).4.3. Из выражений (4.25) для компонентов момента импульсав сферических координатах выведите эти компоненты в декартовыхкоординатах( 4.20).Задача 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
