Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 49
Текст из файла (страница 49)
,и постепенно приобрела современный вид, который мы сегодня и изучаем .• Е. Rutherford, The Scattering of а and {З Partic/es Ьу Matta and the Structure of the Atom,Philosophical Magazine 21, 669 (1911).** N. Bohr, Оп the Constitution ofAtoms and Molecules, Philosophica\ Magazine 26, 1-24 and 476502 (1913) .274ГЛАВАМОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.До сих пор мы считали, что ядро является бесконечно тяжелым, такчто электрон движется в стационарном потенциальном поле(4.42).Но учесть конечную массу ядра тоже несложно. Как нам известноиз классической механики, задача двух тел может быть сведенак задаче о движении единственной частицы в системе отсчета, связанной с центром масс, приведенная массаМ=(reduced mass)которойМе1+Ме / МРгде1\!fe и МРв нашем случае массы покоя электрона и ядра (протона).Эта приведенная масса меньше массы электрона нап=1п=21/1836.п=31200)100)Рис.4.3.Абсолютные величины волновых функций низколежащих минимальных собственных состоянийв плоскостиx-z;Уравнениеln/m )атома водорода.
Показаны сечениядиапазон от -20а до 20а в обоих направлениях.(4.56),устанавливающее энергетические уровни атомаводорода, может быть записано в видеЕ =п1Ry1 + ме / мр n 2(4.59)'гдеRy =-е 4 ~; ""2,17987217х10- 18 J"" -13,6056925 эВ327tс./12(4.60)275ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАесть постоянная Ридберга. Это одна из наиболее значительных и наиболее точно измеренных фундаментальных физических констант.Поскольку водород во Вселенной встречается всюду, его излучениеприходит на Землю от самых разных астрономических объектов.
Частьэтого излучения возникла на ранних стадиях существования Вселенной. Измеряя его спектр, мы можем выяснить, изменилось ли значение постоянной Ридберга и, следовательно, фундаментальные законыфизики за время жизни Вселенной.о-·-2l1·-'' -~ 't Фf!t,.4~Серияn=4n= ЗПашенаn =2СерияБальмераQ)(1)ri6:s:'-Q_ф:I:(1) -8-1 о-12-14' "".Серияn=lЛайма наРис.4.4.Энергетический спектр атома водородаУпражнение4.40.Используя постулат Бора о том, что переходмежду атомными уровнями сопровождается поглощением или излучением фотона, энергия которого равна разнице между энергиямиуровней, выведите уравнение (известное как формула Ридберга)для длин волн линий, наблюдаемых в спектре водорода:2тt1ic =/...где п 1 и2761l+M, /MPn2 -Ryl_!_ __!_Iп~п;'положительные целые числа.(4.61)ГЛАВАОrС'JУПление4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАОткрытие Бальмера4.3.Открытие формулы Ридберга достойно отдельного рассказа.
Частный случай прип,= 2,п,;,, 3открыл Иоганн Бальмер еще вмодели Бора (отступление4.2).1885г" почти за30лет до рожденияПримечательно, что Бальмер даже не был физиком; он преподавал математику в швейцарской школе. Очевидно, в качестве хоббиБальмер изучал данные о солнечном спектре, которые опубликовал в1868 г. АндерсЙонас Ангстрём.
Эти данные включали в себя следующий набор линий, которыеприписывались атомарному водороду:656,3 нм486,1 нм434,0 нм410,2 нмДвижимый исключительно глубокой убежденностью в том,что миром правит математическая гармония, Бальмер занялсяее поиском и нашел в этом наборе чисел закономерность. Еговыражение для этой закономерности было похоже на(4.61),за исключением того, что п 1 равнялось двум. Тремя годамипозже, в1888 г"шведский физик Иоганн Ридберг узнал о формуле Бальмера и обобщил ее, распространив на другие значения п,.Понятно, что серия линий, которая теперь носит имя Бальмера, была открыта первой потому, что она целиком лежитв пределах видимого спектра.
Примерно через20лет ТеодорЛайман и Фридрих Пашен измерили две серии, соответствую- Иоганн Якоб Бальмерщие п,=1иn,=3, в ультрафиолетовом и инфракрасном диапазонах соответственно.Обе эти серии прекрасно легли в формулу Ридберга .Оцените численно диапазоны экспериментально наблюдаемыхдлин волн переходов серий Лаймана (п 2 =мера (п 2(рис.= 3, 4, 5, ...~n 1 = 2)и Пашена2, 3, 4, ... ~ п 1 = 1), Баль(п 2 = 4, 5, 6, ...
~ n 1 = 3)4.4).Упражнение4.41.Воспроизведите результат(4.56)для энергетического спектра водорода, пользуясь полуклассической теорией Бора(отступление4.2).Считая электрон точечным объектом, обращающимся по круговой орбите радиусаrвокруг протона, получите соотношение между орбитальным радиусом и скоростью, исходя из того,что центростремительное ускорение объясняется электростатическим притяжением протона. Затем сведите это соотношение св Отступлении4.2,(4.58)чтобы найти параметры орбиты в зависимостиот п и определить соответствующие кинетическую и потенциальнуюэнергии.277ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА4.42.
Воспроизведите результат (4.56), используя уравБройля (3.28) в Отступлении 3.2.Упражнениенение деДва последних упражнения могут навести на мысль, что полноценная квантовая теория в том виде, в каком она использовалась в предыдущем подразделе, необязательна для описания атома водорода;те же результаты можно получить гораздо более простыми способами.Но на самом деле подходы, предложенные Бором и де Бройлем, имеютситуативную природу: они дают верную формулу, описывающую одноконкретное наблюдение, но не могут использоваться для надежногопредсказания результатов любого другого эксперимента.
Даже в пределах физики атома водорода диапазон возможных вопросов выходит далеко за рамки простого перечисления спектральных линий.Ответы на эти вопросы можно найти при помощи квантовой механики, но не методами Бора и де Бройля.Упражнение4.43.Для состоянияглавным квантовым числомln, l =п- 1, m)с произвольнымn:а) Вычислите радиальную волновую функцию.Ь) Вычислите среднее значение и дисперсию расстояния междуэлектроном и ядром.Ответ: (r) = ап( п+~).с) Сравните ваш результат с результатом, полученным из моделиБора (упр.4.41).Атомы в состояниях с высокими главными квантовыми числаминазываются рuдберговскимu. Мы видим, что эти атомы очень большиепо размеру: радиус орбитали электрона растет как квадрат п. Например, в состоянии сп=137 водород имеет атомный радиус -lмкм.
Ридберговские атомы имеют много интересных свойств, которые делаютих объектом интенсивных исследований, особенно в приложениик квантовой информатике.Упражнение4.44.Найдите математическое ожидание и неопределенность наблюдаемыхx,y,z в состоянии l 1, О, О).4.45. Определите безных элементов наблюдаемых Т';=Упражнение(1,0,0IF, 12,1,0), (с) (1,0,0lf. 12,1,±1)278вычислений, какие из матричx,y,zв (а)обнуляются.(1,o,01r;I 2,0,0)' (Ь)ГЛАВАПодсказка: матричные элементы имеют видс волновыми функциями, заданными(4.57).4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАJ'i'Jlпim(r)'Jln't'm'(r)d 3 rВоспользуйтесь симметриями сферических гармоник, чтобы определить, четной или нечетной функцией является подынтегральное выражение, и найдите,как она зависит от ф.Упражнениеиз упр.4.454.46.Вычислите необнуляющиеся элементы матрицыв явном виде.Предыдущие два упражнения позволяют нам определить, какиепереходы между соответствующими состояниями в атоме водородамогут иметь место благодаря взаимодействию с оптическим полем.К примеру, они сообщают нам, можно ли атом в состояниивозбудить до состоянияl2,1, 1)l 1, О,О)при помощи резонансного лазера,поляризованного вдоль оси х, или, напротив, может ли атом в состоянииl2,1, 1)в состояниеиспустить фотон, поляризованный вдоль х, и перейти11, О, О).
Дело в том, что механизм взаимодействия свет -атом реализуется через связь между электричелским полем и атомнымэлектрическим диполем, который имеет видd = ef . Сила этого взаимодействия определяется величиной матричного элемента дипольного момента, связанного с соответствующим переходом.4.4.3. Периодическая система элементовПериодический закон, открытый Дмитрием Менделеевым в1869г.,гласит, что химические свойства элементов проявляют периодическую зависимость от заряда их атомных ядер 1 • Мы можем до некоторой степени понять периодический закон, обобщив физику атомаводорода на другие элементы.В нормальном состоянии атомы нейтральны, так что электронов в них столько же, сколько и протонов. Водород имеет один протон и один электрон, гелий по два того и другого, литий по три и т.д.Когда число электронов в атоме больше одного, они начинают взаимодействовать друг с другом, и задача вычисления их волновых функций и энергетических уровней становится неразрешимой.
Поэтому мыдля начала будем считать, что электроны не взаимодействуют другс другом. Разумеется, это сильное упрощение, но оно позволит нам1Первоначальная формулировка Менделеева гласила, что периодическая зависимость наблюдается от атомного веса элемента, поскольку в то время атомное ядро ещене было открыто.279ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАТаблица4.2.тов вплоть доОсновная электронная конфигурация для химических элеменZ = 36(для каждого элемента приводится список населенностейэнергетических уровней, определяемой квантовыми числами п иЭлементВодородГелийЛитийБериллийБорУглеродАзотКислородФторНеонНатрийМагнийАлюминийКремнийФосфорСераХлорАргонКалийКальцийСкандийТитанВанадийХромМарганецЖелезоКобальтНикельМедьЦинкГаллийГерманийМышьякСеленБромКриптонl)n1234~о01012012312222222222222222222222222222222222212212223242526262626262626262626262626262626262626262626262626262612212223242526262626 126 226 326 526 526 626 726 826 1026 1026 1026 1026 1026 1026 1026 10122221222212212223242526123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536установить «В нулевом приближении» базис для дальнейшего обсуждения.Есть два фундаментальных принципа, которые мы должны принять во внимание.
Первый280-это принцип минимума энергии. Элек-ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАтроны, как правило, должны занимать состояние (или одно из состояний) с минимальной возможной энергией (основноесостояние- ground state).Этот принцип следуетБольцмана:если атом находитсяиз статистикив тепловом равновесии со средой, вероятность егонахождения в состоянии с энергией Е пропорциональна е- Е/kт, гдеk -постоянная Больцмана, а Т-Е0 (где Е 1-температура среды. Коль скороkT «Е1-Е0 есть разность энергии между первым возбужден-Дмитрий Менделеевным энергетическим состоянием и основным состоянием), вероятностьнайти атом в возбужденном состоянии низка.Упражнение4.47.Оцените вероятность того, что атом водорода самопроизвольно возбудится до состояния с п =2 при комнатной темпераrуре.Подсказка: не забудьте учесть вырожденность энергетических уровней.Если бы многоэлектронные атомы управлялись исключительнопринципом минимальной энергии, то все электроны находились бы1.