Главная » Просмотр файлов » Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А.

Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 49

Файл №1238821 Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А.) 49 страницаУчебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821) страница 492020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

,и постепенно приоб­рела современный вид, который мы сегодня и изучаем .• Е. Rutherford, The Scattering of а and {З Partic/es Ьу Matta and the Structure of the Atom,Philosophical Magazine 21, 669 (1911).** N. Bohr, Оп the Constitution ofAtoms and Molecules, Philosophica\ Magazine 26, 1-24 and 476502 (1913) .274ГЛАВАМОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.До сих пор мы считали, что ядро является бесконечно тяжелым, такчто электрон движется в стационарном потенциальном поле(4.42).Но учесть конечную массу ядра тоже несложно. Как нам известноиз классической механики, задача двух тел может быть сведенак задаче о движении единственной частицы в системе отсчета, свя­занной с центром масс, приведенная массаМ=(reduced mass)которойМе1+Ме / МРгде1\!fe и МРв нашем случае массы покоя электрона и ядра (протона).Эта приведенная масса меньше массы электрона нап=1п=21/1836.п=31200)100)Рис.4.3.Абсолютные величины волновых функций низколежащих мини­мальных собственных состоянийв плоскостиx-z;Уравнениеln/m )атома водорода.

Показаны сечениядиапазон от -20а до 20а в обоих направлениях.(4.56),устанавливающее энергетические уровни атомаводорода, может быть записано в видеЕ =п1Ry1 + ме / мр n 2(4.59)'гдеRy =-е 4 ~; ""2,17987217х10- 18 J"" -13,6056925 эВ327tс./12(4.60)275ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАесть постоянная Ридберга. Это одна из наиболее значительных и наи­более точно измеренных фундаментальных физических констант.Поскольку водород во Вселенной встречается всюду, его излучениеприходит на Землю от самых разных астрономических объектов.

Частьэтого излучения возникла на ранних стадиях существования Вселен­ной. Измеряя его спектр, мы можем выяснить, изменилось ли значе­ние постоянной Ридберга и, следовательно, фундаментальные законыфизики за время жизни Вселенной.о-·-2l1·-'' -~ 't Фf!t,.4~Серияn=4n= ЗПашенаn =2СерияБальмераQ)(1)ri6:s:'-Q_ф:I:(1) -8-1 о-12-14' "".Серияn=lЛайма наРис.4.4.Энергетический спектр атома водородаУпражнение4.40.Используя постулат Бора о том, что переходмежду атомными уровнями сопровождается поглощением или излу­чением фотона, энергия которого равна разнице между энергиямиуровней, выведите уравнение (известное как формула Ридберга)для длин волн линий, наблюдаемых в спектре водорода:2тt1ic =/...где п 1 и2761l+M, /MPn2 -Ryl_!_ __!_Iп~п;'положительные целые числа.(4.61)ГЛАВАОrС'JУПление4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАОткрытие Бальмера4.3.Открытие формулы Ридберга достойно отдельного рассказа.

Частный случай прип,= 2,п,;,, 3открыл Иоганн Бальмер еще вмодели Бора (отступление4.2).1885г" почти за30лет до рожденияПримечательно, что Бальмер даже не был физи­ком; он преподавал математику в швейцарской школе. Очевидно, в качестве хоббиБальмер изучал данные о солнечном спектре, которые опубликовал в1868 г. АндерсЙонас Ангстрём.

Эти данные включали в себя следующий набор линий, которыеприписывались атомарному водороду:656,3 нм486,1 нм434,0 нм410,2 нмДвижимый исключительно глубокой убежденностью в том,что миром правит математическая гармония, Бальмер занялсяее поиском и нашел в этом наборе чисел закономерность. Еговыражение для этой закономерности было похоже на(4.61),за исключением того, что п 1 равнялось двум. Тремя годамипозже, в1888 г"шведский физик Иоганн Ридберг узнал о фор­муле Бальмера и обобщил ее, распространив на другие значе­ния п,.Понятно, что серия линий, которая теперь носит имя Баль­мера, была открыта первой потому, что она целиком лежитв пределах видимого спектра.

Примерно через20лет ТеодорЛайман и Фридрих Пашен измерили две серии, соответствую- Иоганн Якоб Бальмерщие п,=1иn,=3, в ультрафиолетовом и инфракрасном диапазонах соответственно.Обе эти серии прекрасно легли в формулу Ридберга .Оцените численно диапазоны экспериментально наблюдаемыхдлин волн переходов серий Лаймана (п 2 =мера (п 2(рис.= 3, 4, 5, ...~n 1 = 2)и Пашена2, 3, 4, ... ~ п 1 = 1), Баль­(п 2 = 4, 5, 6, ...

~ n 1 = 3)4.4).Упражнение4.41.Воспроизведите результат(4.56)для энергети­ческого спектра водорода, пользуясь полуклассической теорией Бора(отступление4.2).Считая электрон точечным объектом, обращаю­щимся по круговой орбите радиусаrвокруг протона, получите соот­ношение между орбитальным радиусом и скоростью, исходя из того,что центростремительное ускорение объясняется электростатиче­ским притяжением протона. Затем сведите это соотношение св Отступлении4.2,(4.58)чтобы найти параметры орбиты в зависимостиот п и определить соответствующие кинетическую и потенциальнуюэнергии.277ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА4.42.

Воспроизведите результат (4.56), используя урав­Бройля (3.28) в Отступлении 3.2.Упражнениенение деДва последних упражнения могут навести на мысль, что полноцен­ная квантовая теория в том виде, в каком она использовалась в пре­дыдущем подразделе, необязательна для описания атома водорода;те же результаты можно получить гораздо более простыми способами.Но на самом деле подходы, предложенные Бором и де Бройлем, имеютситуативную природу: они дают верную формулу, описывающую одноконкретное наблюдение, но не могут использоваться для надежногопредсказания результатов любого другого эксперимента.

Даже в пре­делах физики атома водорода диапазон возможных вопросов выхо­дит далеко за рамки простого перечисления спектральных линий.Ответы на эти вопросы можно найти при помощи квантовой меха­ники, но не методами Бора и де Бройля.Упражнение4.43.Для состоянияглавным квантовым числомln, l =п- 1, m)с произвольнымn:а) Вычислите радиальную волновую функцию.Ь) Вычислите среднее значение и дисперсию расстояния междуэлектроном и ядром.Ответ: (r) = ап( п+~).с) Сравните ваш результат с результатом, полученным из моделиБора (упр.4.41).Атомы в состояниях с высокими главными квантовыми числаминазываются рuдберговскимu. Мы видим, что эти атомы очень большиепо размеру: радиус орбитали электрона растет как квадрат п. Напри­мер, в состоянии сп=137 водород имеет атомный радиус -lмкм.

Рид­берговские атомы имеют много интересных свойств, которые делаютих объектом интенсивных исследований, особенно в приложениик квантовой информатике.Упражнение4.44.Найдите математическое ожидание и неопреде­ленность наблюдаемыхx,y,z в состоянии l 1, О, О).4.45. Определите безных элементов наблюдаемых Т';=Упражнение(1,0,0IF, 12,1,0), (с) (1,0,0lf. 12,1,±1)278вычислений, какие из матрич­x,y,zв (а)обнуляются.(1,o,01r;I 2,0,0)' (Ь)ГЛАВАПодсказка: матричные элементы имеют видс волновыми функциями, заданными(4.57).4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАJ'i'Jlпim(r)'Jln't'm'(r)d 3 rВоспользуйтесь симме­триями сферических гармоник, чтобы определить, четной или нечет­ной функцией является подынтегральное выражение, и найдите,как она зависит от ф.Упражнениеиз упр.4.454.46.Вычислите необнуляющиеся элементы матрицыв явном виде.Предыдущие два упражнения позволяют нам определить, какиепереходы между соответствующими состояниями в атоме водородамогут иметь место благодаря взаимодействию с оптическим полем.К примеру, они сообщают нам, можно ли атом в состояниивозбудить до состоянияl2,1, 1)l 1, О,О)при помощи резонансного лазера,поляризованного вдоль оси х, или, напротив, может ли атом в состоя­нииl2,1, 1)в состояниеиспустить фотон, поляризованный вдоль х, и перейти11, О, О).

Дело в том, что механизм взаимодействия свет -атом реализуется через связь между электричелским полем и атомнымэлектрическим диполем, который имеет видd = ef . Сила этого взаи­модействия определяется величиной матричного элемента диполь­ного момента, связанного с соответствующим переходом.4.4.3. Периодическая система элементовПериодический закон, открытый Дмитрием Менделеевым в1869г.,гласит, что химические свойства элементов проявляют периодиче­скую зависимость от заряда их атомных ядер 1 • Мы можем до неко­торой степени понять периодический закон, обобщив физику атомаводорода на другие элементы.В нормальном состоянии атомы нейтральны, так что электро­нов в них столько же, сколько и протонов. Водород имеет один про­тон и один электрон, гелий по два того и другого, литий по три и т.д.Когда число электронов в атоме больше одного, они начинают взаи­модействовать друг с другом, и задача вычисления их волновых функ­ций и энергетических уровней становится неразрешимой.

Поэтому мыдля начала будем считать, что электроны не взаимодействуют другс другом. Разумеется, это сильное упрощение, но оно позволит нам1Первоначальная формулировка Менделеева гласила, что периодическая зависи­мость наблюдается от атомного веса элемента, поскольку в то время атомное ядро ещене было открыто.279ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАТаблица4.2.тов вплоть доОсновная электронная конфигурация для химических элемен­Z = 36(для каждого элемента приводится список населенностейэнергетических уровней, определяемой квантовыми числами п иЭлементВодородГелийЛитийБериллийБорУглеродАзотКислородФторНеонНатрийМагнийАлюминийКремнийФосфорСераХлорАргонКалийКальцийСкандийТитанВанадийХромМарганецЖелезоКобальтНикельМедьЦинкГаллийГерманийМышьякСеленБромКриптонl)n1234~о01012012312222222222222222222222222222222222212212223242526262626262626262626262626262626262626262626262626262612212223242526262626 126 226 326 526 526 626 726 826 1026 1026 1026 1026 1026 1026 1026 10122221222212212223242526123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536установить «В нулевом приближении» базис для дальнейшего обсуж­дения.Есть два фундаментальных принципа, которые мы должны при­нять во внимание.

Первый280-это принцип минимума энергии. Элек-ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАтроны, как правило, должны занимать состояние (или одно из состо­яний) с минимальной возможной энергией (основноесостояние- ground state).Этот принцип следуетБольцмана:если атом находитсяиз статистикив тепловом равновесии со средой, вероятность егонахождения в состоянии с энергией Е пропорцио­нальна е- Е/kт, гдеk -постоянная Больцмана, а Т-Е0 (где Е 1-температура среды. Коль скороkT «Е1-Е0 есть разность энергии между первым возбужден-Дмитрий Менделеевным энергетическим состоянием и основным состоянием), вероятностьнайти атом в возбужденном состоянии низка.Упражнение4.47.Оцените вероятность того, что атом водорода само­произвольно возбудится до состояния с п =2 при комнатной темпераrуре.Подсказка: не забудьте учесть вырожденность энергетических уровней.Если бы многоэлектронные атомы управлялись исключительнопринципом минимальной энергии, то все электроны находились бы1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
26,66 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6502
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее