Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Это приводит к тому, что эволюция под действием гамильтониана(4.7),как правило, запутывает состояния,которые первоначально были тензорными произведениями вектороввVx , VYиV, .Собственные состояния гамильтониана также будутзапутаны по отношению к трем пространствам-компонентам. Чтобыпроиллюстрировать это, запишем стационарное уравнение Шрёдингера для трехмерного движения в координатном базисе.249ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение4.5.Покажите, что в координатном базисе:а) действие одного из компонентов оператора импульса на произвольное состояние 1ЧJ) в координатном представлении есть(rl1\l'V) =-iпl_(rl'V) =-inl_\j/(r);дr;дriЬ) действие вектора оператора импульса в координатном базисеV=(j___'j___'j___) (инымиесть (r[p[\j/)=-inV(rl'V)=-inV\j/(r),гдeдх ду дz-;:.словами, в координатном базисе р:::::-inV );с) стационарное уравнение Шрёдингера принимает вид[!~J(4.8)+ V(r) \j/(r) = E\jf(r),или[-2п~ vгде2+ V(r)] 'V(r) = E\jf(r) ,V2 = д 2 / дх 2 + д 2 / ду 2 + д 2 / дz 2(4.9)-оператор Лапласа, илилапласиан.Мы получили трехмерное дифференциальное уравнение в частных производных.
Его решение, как правило, не может быть записанокак произведение функций отдельных декартовых переменных-такпроявляется упомянутая выше запутанность.Решение уравнения(4.9)в общем виде весьма затруднительно.К счастью, физические задачи, требующие подобных усилий, встречаются относительно редко. Обычно потенциал обладает какими-нибудьсимметриями, которые облегчают решение. Мы разберем один такойслучай.4.2.Центрально-симметричный потенциал4.2.1.Сферические координатыV(r) = V(r), гдеесть длина радиус-вектора в точку (x,y,z), - такойРассмот им в ащательно-инвариантный потенциалr=х2+у2+z2как потенциал электрического поля атомного ядра, в котором дви-250ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАжугся электроны.
Если мы научимся решать стационарное уравнениеШрёдингера для этого потенциала, то сможем и вычислять волновыефункции стационарного состояния электрона в атоме.zРис.4.1.Сферические координатыКак бы мы рассчитывали классическое движение частицы во вращательно-инвариантном потенциале? Скорее всего, рассмотрели быдве степени свободы такого движения-радиальную и угловую,и отметили, что они в значительной степени отвязаны друг от друга,потому что момент импульса сохраняется. Подобная отвязанностьпозволила бы нам записать и решить уравнения движения для каждойстепени свободы отдельно.
Математически это означает, что использование сферических, а не декартовых координат значительно упростило бы вычисления.В квантовом случае мы применим аналогичную стратегию. Начнемс представленияV30в виде тензорного произведения гильбертовыхпространств, связанных со сферическими координатами:(4.10)при (рис.4.1)r sin 8 cos ф;у = r sin 8 sin ф;z = rcos 8.х=(4.lla)(4.llb)(4.llc)251ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАСоответственно, волновая функция8\j/(r)становится функцией отr,и ф.
Преимущество перехода к сферическим координатам состоитв том, что центрально-симметричный потенциал при этом станет оператором только вVr . За это, однако, приходится расплачиваться кинетической энергией. В отличие от декартовой системы координат здесьона не может быть представлена как сумма слагаемых, каждое из которых локально в пределах своего компонента гильбертова пространства.
Тем не менее использование такого подхода дает определенноепреимущество, которое мы увидим еще до конца текущего раздела.Чтобы двигаться дальше, нам необходимо ввести правило вычисления скалярных произведений двух состояний, волновые функциикоторых выражены в сферических координатах. Скалярное произведение в координатном базисе задается уравнением(4.5).Чтобы перевести переменные интегрирования из декартовых координат в сферические, мы должны включить в уравнение якобиан:('V <р)(4.5)___121t1t== J J J'V ·С r)<p( r)dxdydz = JJJ 'V •( r)<p( r) 1J 1drdedф ,о о оабсолютное значение которого задается формулойдхJ=дхдх--дrдедфдудудудrдедфдz-дrдz-де= r 2 sine.(4.12)дzдфДля скалярного произведения(4.5)мы, таким образом, должнызаписать2л п=('V <р) = JJf 'V • (r)<p(r)r 2 sin е drdedф .1(4.13)о о оУпражнение4.6.
Докажитевторое равенство в уравнении(4.12).Традиционно принято объединять два гильбертовых пространства,связанных с угловым движением, в единое пространство тензорныхпроизведений у= ve ® vф ' так что(4.14)252ГЛАВАОтступление4.1.4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАНормирование в гильбертовых пространствахв сферических координатахДополнительный множительвывели соотношение(3.6)r2sin8в уравнении(4.13)может вызвать вопросы.
Мыи его многомерный аналог(4.5)из фундаментальныхпринципов, поэтому, казалось бы, скалярное произведение двух состояний, выраженных в любом непрерывном базисе, должно иметь одинаковый вид, без всякихдополнительных множителей. Объяснение заключается в том, что уравнениебыло выведено с использованием правила нормирования(3.la)(3.6)для координатныхсобственных состояний. Собственные состояния трех сферических наблюдаемыхне обязаны следовать этому правилу, поскольку обладают другими свойствами.Например, сферические координаты могут принимать значения из ограниченныхдиапазонов: rE [О,+~), IJE [0,Jt], фЕ [0,21t), в отличие от координаты х, значения которой лежат в диапазоне от -со до +со.Подробное исследование данного вопроса завело бы нас от физики слишкомглубоко в математические дебри, поэтому мы не будем этим заниматься. Однако выможете попробовать поработать самостоятельно, в порядке тренировки.
Для этоговам потребуется определить скалярные произведения собственных состояний в сферических координатах (r 1 lr,), (8, 18,), (q> 1 lq>,) и использовать их для получения аналогов соотношений из разд. 3.1, не забывая при этом позаботиться о том, чтобы онисогласовывались друг с другом и с уравнениемЭлементы пространстварадиусаR Cr),Vr(4.13).представлены волновыми функциямитогда как функции двух углов Ул се, ф) определяют элементы У.Имея С4.13), естественно определить скалярное произведение пространствvrи у следующим образом:=(R 1 I~)= JR;Cr)~Cr)r 2 drС4.15а)о2тт тт(YilY2)= J f11i'C8,ф)Y2 C8,ф)sin8d8dф,С4.15Ь)о огде R 1,2IR1,2)иCr) и У1 • 2 се, ф) - волновые функции1 Y1.z> в V,. и У соответственно.Упражнение4.
7.произвольных состоянийПокажите, что:а) §скалярные произведения С4.15) согласуются с определениемА.9;Ь) скалярные произведения С4.15) согласуются с таковым вV3 v,согласно определению С2.4) скалярного произведения в пространстве тензорных произведений.253ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАКвантовый момент импульса4.2.2.Следуя в русле классического подхода к движению во вращательноинвариантном потенциальном поле, введем теперь понятие квантового момента импульса-наблюдаемого, которое определяетсякаклллL=rxp.(4.16)Это векторное произведение, знакомое нам из геометрии и механики. Его можно записать множеством разных способов. Мы можемсделать это для каждого его компонента явно:(4.17)Или же можно применить символ Леви-Чивиты 1 :(4.19)Здесь мы воспользовались эйнштейновским соглашением, по которому знак суммы опускается, а суммирование по повторяющимсяиндексам подразумевается (мы будем придерживаться этого соглашения во всей главе).Упражнение4.8.Покажите, что оператор момента импульса-эрмитов.1Символ Леви-Чивиты, известный также как антисимметричный единичный тензор третьего ранга, определяется следующим образом:Для любыхj,k,/значение rk 1 меняет знак, как только любые два индекса ме;vняются местами.
Следовательно, всякии раз, когда любые два индекса равны,rJkl =О.r 12:i =rxyz = 1'В явном виде:(4.18)все остальные r1k1 = О.254ГЛАВАУпражнение4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАПокажите, что оператор момента импульса4.9§.в координатном базисе представляется так 1 :(4.20)LА =у-1n•(z д- - x д- ) ·дz 'дхТеперь выведем перестановочные свойства оператора моментаимпульса. Эту задачу значительно упрощает использование символаЛеви-Чивиты. Поэтому я рекомендовал бы вам освоиться с этим символом (если вы не знакомы с ним из классической электродинамики).В частности, нам потребуется соотношение из следующего упражнения.Упражнение4.10.Покажите, что(4.21)r J"k/ r._1mr1 = ok 01n - ok 11 01 .тт4.11. Проверьте следующие равенства (для произвольk Е {1, 2, З}):а) [ij,rk]=inEjkl~;Ь) [ij, pk] = inr jktPi;с) [ij, ik] = inr jk1i 1;d) [ij,r2]=0;Упражнениеных},е)А[А2Lj,p]=O;f) [ij 'f2 ] =о.Упражнение4.12.Покажите, Ачто определение(4.16)моментаимпульса может быть записано как L = - р х f , несмотря на то что наблюдаемые координат и импульса в общем случае не коммутируют.1Как говорилось в разд.3.3.1(см.
также разд. А.2), символ «:::: »означает, что урав(4.20) применимо к волновым функциям исключительно в координатном базиполном виде уравнение (4.20) выглядело бы так:нениесе. В\r[ix[ljl)=-in(y:z -zддJljl(r),и т.д.255ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение4.13.Покажите, что если потенциал вращательнолV(r) = V(i,::) ], то:вектора моментаl!квадраттакжеаLi,а) каждый компонентинвариантен [т. е.импульса коммутирует с гамильтонианом(4.7);Ь) в любом состоянии IЧJ) среднее значение каждого компонентамомента импульса сохраняется::t \ 1fi1'1''1') =О .У этого результата есть прямая классическая аналогия: согласнотеореме Эмми Нётер, в центрально-симметричном потенциальномполе момент импульса сохраняется.Теперь давайте включим наблюдаемое момента импульса в уравнение Шрёдингера.Упражнение4.14а) Покажите, чтоi = r2fi-CF· р) 2 +itif ·Р.(4.22)2Как изменится этот результат для классического моментаимпульса?Ь) Перепишите стационарное уравнение Шрёдингера(4.8)с-) ~2Е с-)f2 ~2vc-)]CF·p)2-itif·pr '1' r = r '1' r .[-2 М-+ r2-М---+Уравнение(4.23)как(4.23)благоприятно с точки зрения разделения переменных, о котором говорилось в предыдущем разделе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
