Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Но в действительности между тем и другимсуществует непосредственная практическая связь. Чтобы ее увидеть,мы можем «вложить» обе части уравнений(3.131)между символами(ЧJI и IЧJ), связанными с произвольным квантовым состоянием. Тогдаэти уравнения принимают вид(x(t)) = (x(O))cosffit +-1-(p(O))sinffit ;Mffi(3.132а)(p(t)) = (р(О)) cos ffit - ~(х(О)) sin ffit .(3.132Ь)(J)Теперь вместо абстрактных операторов у нас есть измеряемыефизические величины: средняя координата и средний импульс-и они действительно ведут себя идентично своим классическим аналогам в любом квантовом состоянии.
Этот факт воспроизводит нашболее ранний результат(3.115),полученный с использованием представления Ш рёдингера.Является ли такая согласованность с классическим поведениемуникальным свойством гармонического осциллятора или общим свойством всех механических систем? Приведу простой аргумент в пользупоследнего.Упражнение3.80. Дляшрёдингеровой эволюции состояния точечной частицы под действием гамильтонианаdX -ili(3.55)покажите, чтолр.(3.133а)м'dp =-V'(x)'dt(3.133Ь)где штрих обозначает производную.Подсказка: разложитеV (х)в степенной ряд.Уравнение (3.133Ь) опять же соответствует второму закону Ньютона,потому что в классической механике потенциальная энергия консервативной силы связана с самой этой силой согласно выражению 11Мы ограничиваемся одномерным движением.218ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ(3.134)F(x) = -V'(x).Соотношения(3.133)можно сделать более удобными, если взятьсредние значения координаты и импульса частицы в произвольномсостоянии.
Тогда они примут видd(x) _ (р).dtм(3.135а)'(3.135Ь)Данные соотношения получили известность как теорема Эренфеста. Важно, что она имеет дело с математическими ожиданияминаблюдаемых, а не непосредственно с состояниями или операторами.А поскольку эти математические ожидания одинаковы в обоих представлениях-и Шрёдингера, и Гейзенберга (упр.3.77), -теоремаЭренфеста тоже верна в обоих представлениях.Замечу еще, что, как мы знаем из механики, классический видуравнений(3.133)является частным случаем гамильтоновых уравнений движения:dx _дНdtдр'.
dp _дНdt -(3.136)дхВ квантовом мире эти уравнения заменяются на уравнение Гейзенберга.Таким образом, представление Гейзенберга «выводит на ЧИС'l}'Ю воду»соотношение между квантовой и ньютоновой механикой. Однако за этоприходится платить потерей связи между наблюдаемым и его собственными состояниями. Рассмотрим, например, эволюцию гармоническогоосциллятора(3.131)на одной четверти периода колебаний. Обозначивэтот период времени как t 0 (так что wt0 = л/2), находим x(t0 ) = р(О) / М w.Полученный результат несложно интерпретировать классически: координата маятника после одной четверти его периода определяется исключительно его начальной скоростью. Но в квантовой механике, где наблюдаемые связаны с операторами, тот факт, что оператор координатыв определенный моментимпульса в момент tt = t 0 становится пропорциональным оператору= О, принять намного сложнее.
И действительно, мыопределили оператор координаты как интеграл(3.11)по собственнымсостояниям координаты. Но его эволюция к моменту времениt = t0 в оператор импульса означает, что он уже не описывается таким интегралом.219ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАСама природа оператора координаты изменяется со временем, по меретого как он приобретает другой набор собственных состояний. Более того,оператор координаты в разные моменты времени даже не коммугируетсам с собой:[x(O),x(t 0 )] =-1-[х(О),р(О)] = ~.MroMroЭволюция наблюдаемых становится еще менее интуитивно понятной, когда мы имеем дело с взаимодействием различных квантовых систем.
Может случиться, к примеру, так, что координата однойчастицы в некоторый момент времени становится импульсом другойчастицы в другой момент. Или, если мы имеем дело со взаимодействием между светом и атомом, оператор электрического поля, связанный с электромагнитной волной, превращается в оператор, определяющий переход между атомными уровнями. Короче говоря, применяяпредставление Гейзенберга к решению квантовых задач, с непривычки легко запутаться.Подолью еще масла в огонь путаницы, обратив ваше внимание на следующее. Гамильтониан(3.55)использует операторы х и р, которыепо физической природе представляют собой, соответственно, координатуи импульс.
Но, как мы обнаружили, природа этих операторов в представлении Гейзенберга меняется со временем. Поэтому, на первый взгляд,уравнениевремениt(3.55)представляет верный гамильтониан только в момент= О, и, следовательно, уравнение следует переписать какfI = V(x(O)) + р(О) 2•2МНо тогда уравнение Гейзенберга(3.137)(3.129) должно содержать коммугатор между гамильтонианом, который является функцией х(О) и р(О),и наблюдаемым A(t), которое является функцией x(t) или p(t).То есть мы вычисляем коммутатор между операторами, связаннымис разными моментами времени. Но мы, выполняя упражнения выше,об этом не думали, а просто писали [х,р]= ili. Не было ли это ошибкой?Упражнение3.81.Покажите, что гамильтониан не эволюционируетво времени 1 , т. е. H(t) = Н(О) .1Тот факт, что гамильтониан, если он не зависит явно от времени, в представленииГейзенберга не эволюционирует, можно рассматривать как квантовый аналог классического закона сохранения энергии.220ГЛАВАУпражнение3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПокажите, что гамильтониан3.82.(3.137)можнопереписать какН = V(x(t)) + p(t) 2(3.138),2Мгде t есть произвольный момент времени, а операторы x(t) и p(t)получены из уравнения(3.127).Подсказка: используйте разложение функции V(x) в степенной ряд.Замечательным образом мы обнаруживаем, что, хотя сами наблюдаемые координаты и импульса эволюционируют во времени, их функция, заданная правой стороной уравнения(3.138),остается постоянной.
А значит, оба компонента коммутатора в уравнениибыть связаны с одним и тем же временемt;(3.129)могуттаким образом разрешается наше беспокойство.Данное наблюдение можно обобщить.Упражнение 3.83. Рассмотрим некоторый оператор В, ~оторлыйв момент времени t = О представляет собой функцию операторов А 1 ""Ат :В(О)= j((Al(O), ... ,A/11(0)).(3.139)При помощи разложения этой функции в степенной ряд покажите,что приведенное соотношение сохраняется в произвольный моментвремениt, т.
е.всt) = JCA.1 Ct), ... , А.111 Ct)).(3.140)Мы видим, что эволюция в представлении Гейзенберга сохраняетлюбые функциональные взаимоотношения между операторами, существовавшие до этой эволюции. Одно из следствий данного результата состоит в том, что зависимость гамильтониана от координатыи импульса в разные моменты времени имеет один и тот же вид [см.уравнения(3.137)и(3.138)].Еще один показательный пример даетсяв следующем упражнении.Упражнение3.84.Покажите, что эволюция во времени операторовкоординаты и импульса в представлении Гейзенберга не изменяетих коммутатор:221ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА[x(t ), f>Ct )J = in.Упражнение(3.83) ии (3.138)3.9.2.3.85.(3.141)Подставьте решение(3.131)в гамильтонианубедитесь явно, что правые стороны уравнений(3.137)одинаковы.Оператор смещенияВ этом разделе мы подробно изучим пример гамильтониана, с которым можно работать как в представлении Шрёдингера, так и в представлении Гейзенберга.Упражнение3.86.
Решите уравнение Гейзенберга для гамильтонианаiI =Pi>,где р-(3.142)действительная постоянная, и покажите, что эволюция операторов координаты и импульса за время t 0 задается(3.143а)p(to)= р(О)'(3.143Ь)где(3.144)Мы видим, что эволюция под действием гамильтониана(3.142)ведет к смещению оператора координаты на х 0 • Соответственно, оператор эволюции(3.145)называется оператором смещения координаты. Изучим его действиев представлении Шрёдингера.Упражнение3.87. Покажите,ь:сх) = Ь; 1 Сх) = Ьх(-х).222что оператор смещения унитарен иГЛАВАУпражнение3.88.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕИспользуя представление Шрёдингера, покажите, что:а) D)x0 )lx) = lx+x0 );(3.146)Ь) если волновая функция состояния IЧ') в координатном базисеесть Ч' (х), то волновая функция состояния Dx(x0 )i'lf) естьЧ' (х -х0 ) (рис.
3.12) 1 ;с)D)x0 )ip)=e-i,xoPIP);d)если волновая функция состояния IЧ') в импульсном базисе есть\jl(p),(3.147)то волновая функция состояния Ьх (х0 )i 'lf) есть е -i,xoP 'lf(p).3.89.УпражнениеИспользуя представления и Шрёдингера, и Гейзенберга, покажите, что применение оператора смещения координаты:а) прибавляет х0 к среднему значению координаты, но не меняетсреднее значение импульса;Ь) не меняет дисперсии координаты и импульса.Рис.3.12. Действие оператора смещения координаты на волновую функциюУпражнение"D Р (р0 )=е1•-рохh3.90.Покажите, что оператор смещения импульсаобладает по отношению к импульсу свойствами, анало-гичными тем, которыми оператор смещения координаты обладаетпо отношению к координате.Упражнение3.91.Состояние IЧ') имеет волновую функцию Ч' (х)в координатном базисе.
Для заданных величин х0 и р 0 найдите волновые функции следующих состояний в координатном базисе:1Обратите внимание, что смещение на положительную величину Х 0 соответствуетотрицательному изменению арrумента волновой функции. Подробнее об этом в подразд.3.9.3.223ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа) D/p0 )l'I');Ь) Dx(Xo)DP(Po)l'I');с) DP(p0 )Dx(xo)l'I') ·Ответ:а);;xlDP(Po)l'JfJ=e;;Pux (xl'Jf)=e;,Pux\jf(X);Ь) xl~"(x,)~,(p0)1'1'): е ~:·" c*"'\v(x-x,);с) xlDP(p0 )Dx(x0 )1\jf)-e\jf(X-X0 ).Волновые функции, полученные в частях Ь) и с), не одинаковы.
Этоозначает, что результат последовательного приложения координатногои импульсного операторов смещения зависит от их порядка, так что данные операторы не коммутируют. Однако перестановка этих операторовсказывается лишь на общем фазовом множителе e-ipuxu/h и, следовательно, не влияет на физику результирующего состояния. Как мы увидимдалее, это следует из формулы БейкераУпражнение3. 92.лсмещения Dxp (х0 , р0 )-Хаусдорфа-Кэмпбелла (А.54).Для фазово-пространственного оператора1 (p X-x jJ)00=е''покажите, что(3.148)Данный результат подразумевает, чтои это согласуется с разницей между ответами в частях (Ь) и (с) упр.Упражнение3.93.3.91.Напишите гамильтониан, который привел бык эволюции, соответствующей фазово-пространственному операторусмещения. Найдите соответствующее преобразование операторовкоординаты и импульса в представлении Гейзенберга.3.9.3.
Эволюция плотностей вероятности*Мы видели, что оператор координаты, эволюционируя под действиемгамильтониана смещения, порождает оператор x(t)' представляющийсобой функцию первоначального х(О) . Подобные ситуации встреча-224ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕются относительно часто. Здесь мы попытаемся разобраться, можно лив такой ситуации использовать инфор:\\1ацию, полученную из представления Гейзенберга, чтобы предсказать эволюцию волновой функциив представлении Шрёдингера. В случае координатного смещения,например, соотношение достаточно прямолинейно (рис.3.12).Но можем ли мы его обобщить?В данном разделе мы, как обычно, считаем гамильтониан стационарным, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
