Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Как и в случае квантового туннелирования, групповая скорость волны в пределах воздушного промежутка бесконечна.а)Ь)ЕЕхаЬ--эванесцентнаяволна,появляющаясяоптическое туннелирование-врезультатеполноговнутреннегоотражения ;аналог туннелирования квантового.Ответ:(3.81а)пропускание:отражение:4~к 2 +(к 2 +~)2 sh 2 (кL)'(З.81Ь)к= ~2M(V0 - Е) / 1i .Мы видим, что частица, встречающая на своем пути конечныйпотенциальный барьер, превышающий по высоте кинетическую энергию самой частицы, имеет ненулевую вероятность «туннелировать»194ГЛАВАсквозь этот барьер (рис.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.6 Ь). Конечно, это явление не имеет аналоговв классической физике. Но еще более удивительно следующее.Упражнение3.53*.Исследуйте прохождение гауссова волновогопакета сквозь потенциал, показанный на рис.виях и допущениях, что в упр.3.6 а,3.51.
Вычислитепри тех же услои постройте графикизависимости координат центров приходящего и прошедшего волновых пакетов (А- и F-волн соответственно) от времени.хаьПеред барьером :t =ОПосле барьера :1111/- 20- 10t =21al/(p/M)х (нм)10х (нм)1020 - 201020- 10 х (нм)10201020с- 20Рис.3. 7. Сверхсветовое туннелирование гауссова волнового пакета3.53): а - схематический график зависимости координаты от времени; Ь - численное моделирование для электрона, начинающего движение от а = -10 нм, с теми же параметрами, что на рис. 3.6; с - численноемоделирование с теми же параметрами, только при L = 5 нм и V0 = 5,66 эВ;часть справа от барьера увеличена в 1023 раз; центр прошедшего волнового(упр.пакета выходит из барьера в то же самое время, когда центр приходящеговолнового пакета входит в него195ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЕсли вы сделали все верно, у вас должна получиться картина, аналогичная той, что изображена на рис.3.
7. То есть туннелирование происходит мгновенно: прошедший волновой пакет появляется за барьеромодновременноспоглощениемпервоначальноговолновогопакета. Волновой пакет не проводит времени непосредственно внутри барьера. Причину этого можно на пальцах объяснить так. Групповая скорость является производнойvgr=dw/dk.Внутри барьера волновая функция состоит из действительных экспонент (С- и D-волнына рис.3.6)и, следовательно, имеет постоянную комплексную фазу.Это означает, что эффективный волновой вектор-константаk= О,а значит, производная по нему бесконечна.В главе2 мы уже встречались с квантовым явлением, разрешавшим,на первый взгляд, сверхсветовую связь, но после тщательного анализавыяснили, что это только иллюзия. В данном же случае вывод о сверхсветовой групповой скорости-верный.
Однако и здесь он не означаетвозможности мгновенной передачи сигнала-по следующей причине.Мы обнаружили, что скорость центра волнового пакета бесконечна. Но зададимся вопросом: в какой момент наблюдатель позадибарьера узнает, что частица попала в барьер? Обязательно ли этодолжно произойти ровно в тот момент, когда из барьера вышла половина волнового пакета? А может быть, четверть? Или десятая часть?В действительности это происходит намного раньше. Из комплексногоанализа нам известно, что функция Гаусса аналитична: любой фрагментэтой функции позволяет восстановить ее поведение на всей комплекснойплоскости. Следовательно, теоретически любой наблюдатель в любойточке пространства и времени знает о присутствии частицы с гауссовойволновой функцией и может предсказать ее эволюцию.
Помня об этом,рассуждать о мгновенной связи бессмысленно.А что, если попробовать другую волновую функцию, напримерв форме прямоугольного импульса(3. 9),которая принимает ненулевые значения только в пределах конечной пространственной области? Трудность с подобными волновыми функциями состоит в том,что в этом случае мы не можем применять приближения, которыеиспользовали для гауссова волнового пакета (см. упр.3.51).У гауссова волнового пакета есть свойство, позволяющее нам использоватьэти аппроксимации,-его импульсное представление тоже гауссовои потому убывает экспоненциально по обе стороны от центральнойточки.
А состояния с пространственно ограниченными волновымипакетами в импульсном представлении не ограничены по ширине:196ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕк примеру, результат Фурье-преобразования импульсной функцииесть кардинальный синусsinc[упр. Г.9f)].Это означает, что такоесостояние будет иметь значительные компоненты, соответствующиесколь угодно высоким энергиям: не просто превышающим потенциальный барьер, но распространяющимся на релятивистские значения.
Из этого следует, что математический аппарат нерелятивистской квантовой механики, которую мы изучаем, неприменим к этойзадаче.Завершая наше исследование потенциального барьера, давайте посмотрим, что происходит, если энергия частицы превышает величинубарьера. Для общности будем считать, чтоV0может быть либо положительным, либо отрицательным, соответствуя случаям либо потенциального барьера, либо потенциальной ямы.УпражнениеОтвет:3.54..пропускание: kJлj=3.52 для Е > О4 z.-2 k2Выполните упр.иЕ"11 1> V0 ••4~k; cos 2 (k 1L)+(k; +~) 2 sin 2 (k1 L)'отражение: _д_ =Jл 4~k;(k12 -L- 2 ) 2 sin 2 (kL)1"11cos 2 (k1 L)+(k; +~) 2 sin 2 (k1 L)'(З.82а)(З.82Ь)где ~ = ~2МЕ / 1i и k 1 = ~2М(Е - V0 ) / 1i .Рис.3.8.Коэффициент пропускания (З.82а) потенциального барьерадля случая, где энергия частицы превышает высоту барьера, а именноk0 L =Зл/2.197ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение3.55.При каких условиях коэффициент пропусканияв предыдущем упражнении равен единице?Ответ:V0 =О (т.
е. k 0 = k 1) или k~ = m:л, где т - положительное целоечисло.Мы видим, что проницаемость потенциального барьера (или ямы,еслиV0 <О), демонстрирует осциллирующее поведение и принимаетзначение единицы, когда толщина барьера соответствует целомуили полуцелому числу укладывающихся в него волн де Бройля.
Этомуопять же можно найти прямую аналогию в оптике: это оптическийрезонатор, известный также как эталон Фабри-Перо. В таком резонаторе оптическая волна заключена между двумя зеркалами, и множественные ее отражения интерферируют друг с другом. Если длинакольцевого маршрута волны в интерферометре составляет целоечисло длин волн (т. е.2L =2ттmт'Л, = - - ) , то интерференция становитсяklконструктивной, а коэффициент пропускания резонатора по отношению к внешней волне принимает значение1.Мы видим также, что ширина каждого резонансного пика уменьшается вместе сk 1• Происходит это благодаря увеличению коэффициента отражения каждого «зеркала», который задается первой частьюуравнений (3.78а) и (З.79Ь) для квантовой механики и оптики соответственно.
Чем ближе этот коэффициент к единице, тем выше резкостьэталона и острее пик резонанса.3.8.Гармонический осцилляторГармонический осциллятор-это физическая система первостепенной важности, области применения которой выходят далеко за рамкичистой механики. Фактически любое колебательное движение управляется гамильтонианом, аналогичным гамильтониану механическогогармонического осциллятора и, таким образом, имеет то же квантовоеописание.
Примеры осцилляторов включают в себя и электромагнитное поле, и колебательные контуры в электронике, и квазичастицыв твердом теле. Даже фотон, о котором мы много говорили в предыдущих двух главах, можно рассматривать как энергетическое собственное состояние квантового гармонического осциллятора, описывающееодну из гармоник светового поля.198ГЛАВАОтступление3.10.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕКлассический гармонический осцилляторНа рис.
а показан простейший гармонический осциллятор- «шарик на пружинке».Когда шарик выводится из положения равновесия хГука, действует на него с силойF=-кх, где к-=О, пружина, согласно законукоэффициент жесткости пружины.Потенциальная энергия напряжения пружины в этом случае равна И (х)= кх2 /2,что соответствует гамильтонианур'кх'.(3.83)Н=-+22МКлассический гармонический осциллятор: а-физическая модель; Ь-движение в фазовомпространствеБез воздействия внешних сил шарик подчиняется уравнениям движения(3.84а)(3.84Ь)что порождает колебания с частотой w = Jк / М :1-p(O)sinwt,x(t) = x(O)coswt + -(3.85а)p(t) = p(O)coswt - Mwx(O)sin wt.(3.85Ь)MwЭто классическое движение осциллятора может быть представлено траекториейв фазовом пространстве, заданном импульсом и координатой, как показанов части Ь рисунка.
Эта траектория имеет форму эллипса, в котором отношение полуосей имеет вид Рт11хУпражнение= М(t)Хтцх"3.56.Убедитесь, что решение классических уравнений (З.84) движения гармонического осциллятора задается уравнениями(3.85).3.8.1. Операторы уничтожения и рожденияПотенциал гармонического осциллятора-типичная потенциальная яма. Поэтому его собственные состояния являются связан-199ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАными и невырожденными (см. упр.3.46).Волновые функции этихсостояний можно найти путем решения стационарного уравненияШрёдингера(3.60)в координатном базисе.
Однако гармоническийосциллятор допускает особый, гораздо более элегантный теоретический подход. Чтобы получить его, для начала перемасштабируемнаблюдаемые координаты и импульса и сделаем их более удобнымидля работы.Упражнение3.57.Найдите коэффициенты пропорциональности Аи В, такие, что наблюдаемые, определенные как Х =Ах, Р = Вр, обладают следующими свойствами:•В новых переменных (Х, Р) траектория в фазовом пространствепредставляет собой окружность, поэтому уравнения(3.85)приобретают вид:X(t) = Х(О) cos wt + Р(О) sin wt ;P(t) =•-Х(О) sin wt + Р(О) cos wt(3.86а)(3.86Ь).Для соответствующих квантовых операторов[X,PJ=i.(3.87)Покажите, что перемасштабированные наблюдаемые Х и Р неимеют размерности.Ответ:х = x~Mw.
Р- рtz '(3.88)- ../ М wtz ·Будучи непрерывными наблюдаемыми, перемасштабированныесобственные состояния координаты и импульса нормированы в соответствии с(XI Х') = &(Х -Х'); (PI Р') = &(Р- Р').Как мы уже знаем из разд.3.2,(3.89)перемасштабирование непрерывНЬJХ наблюдаемых помимо наложения условий типа(3.89)приводит к перенормированию собственных состояний этих наблюдаемых,а также волновых функций и операторов, выраженных через этисобственные состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
