Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теперь же мы говорим,что фотон-это состояние моды электромагнитного гармонического осциллятора.Как можно примирить между собой эти точки зрения?Упомянутые два подхода известны как первичное квантование и вторичноеквантование(first/ secoпdquaпtizatioп) соответственно. При первичном квантовании мы связываем с каждой частицей некоторое гильбертово пространство; элементы (векторы) этого пространства представляют собой различные состояния,в которых может находиться данная частица. Например, для единичного фотонагильбертово пространство образуют различные состояния поляризации.При вторичном квантовании роли векторов состояния и гильбертовых пространствменяются. То, что мы называем базисом гильбертова пространства первичного квантования, при вторичном квантовании рассматривается как множество отдельных гильбертовых пространств. В частности, вертикальная и горизонтальная поляризационныемоды рассматриваются как отдельные гильбертовы пространства.
Фотон в состоянииIH) в первичном квантовании записывается во вторичном как вектор состояния 11) н® 1О).,. Фотон в состоянии 1 +45 °) становится запутанным состояниемКак альтернативный вариант мы можем выбрать в качестве гильбертовых пространств два диагональных типа поляризации; в этом случае диагонально поляризованный фотон представляет собой разделимое состояние, тогда как горизонтальнополяризованный-запутанное.Таким образом, аппарат первичного квантования более компактен и удобен,когда аprioriзнаем, что имеем дело ровно с одной частицей. В случае множестваидентичных частиц первичное квантование порождает сложности. Предположим,например, что у нас имеются два фотона с ортогональными поляризациями. В рамках вторичного квантования в нашем распоряжении один-единственный способзаписать это состояние:1I)н ®l I)v.Если же мы пользуемся первичным квантованием, мы можем записать это состояниевозможными способами: 1Н)®1 V) или-один и тот же физический объект-двумя1v)®1 Н), или в виде любой линейной их комбинации.
Чтобы исключить такую неоднозначность, нужно вводить дополнительные правила, например, о том, какой вектор состояния может считаться физическимв зависимости от того, является ли частица фермионом или бозоном.Подводя итог, скажем, что, хотя оба подхода имеют право на существованиеи могут использоваться для работы с физическими явлениями, один из них можетоказаться более практичным в зависимости от задачи, которую мы пытаемся решить.Полезно сравнить волновые функции фоковских состояний с волновыми функциями энергетических собственных состояний конечной потенциальной ямы (см.
рис.ляютосциллирующееповедение3.2).В обоих случаях они прояввнутри ямыиэкспоненциальноубывают вне ее. Число пересечений оси абсцисс равно номеру энергетического уровня. Разница в том, что энергетические уровни эквидистантны для гармонического осциллятора, но не для прямоугольной207ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАямы. Далее, каждая собственная волновая функция ямы определяетсякусочно [см.(3.66) и (3.67)], тогда как для потенциала гармоническогоосциллятора она представляет собой единую элементарную функцию.Упражнение3.66.Вычислите матрицы операторов координатыи импульса в фоковском базисе.Подсказка: вместо того чтобы интегрировать волновые функции,удобнее воспользоваться уравнениямиУпражнение(Р),(ЛР2 )3.67.(3.100)Для произвольногоln)и(3.104).вычислите (Х), (ЛХ2),и проверьте принцип неопределенности.Ответ:(х)=(Р)=о;(3.112)(лх 2 )=(ЛР 2 )=~(2n+1).(3.113)Мы видим, что произведение неопределенностей координатыи импульса увеличивается с ростом энергии.
Вакуумное состояние-единственное фоковское состояние, для которого это произведениедостигает минимумаУпражнение3.68.(3.95).Рассмотрим шрёдингерову эволюцию lч>произвольного состояния1\jf(O))=L\jf"111n)(t) )под действием гамильтониана гармонического осциллятора. Выведите следующее поведениесредних значений оператора в зависимости от времени:а) (й)Сt) = (й)(О)е-iыr;(й')СО=(й')СО)еiыl;Ь) (Х) (t) = (Х) (О) cos wt + ( Р) (О) sin wt ;( P)(t) = -(Х) (О) sin wt + (P)(O)cos wt .(3.114а)(3.114Ь)(3.115а)(3.115Ь)Сами фоковские состояния стационарны, так что средние значения координаты и импульса у них не меняются во времени.
В этомсмысле они чрезвычайно неклассичны и не стыкуются с привычнымнам представлением о том, что шарик на пружинке должен колебаться (если не находится в покое, т. е. в состоянии с минимальнойэнергией). А во всех других состояниях средние значения координатыи импульса действительно меняются. Примечательно, что в любом208ГЛАВАОтступление3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.12. Измерение координаты гармонического осциллятора: экспериментВ то время, когда ведется работа над этой рукописью, физикам еще не удается приготовлять и измерять произвольные квантовы е состояния механических гармонических осцилляторов. Они гораздо лучше справляются с их оптической реализацией.
В частности , исследователи могут приготовить некоторые из низких числовыхсостояний и их суперпозиций с высокой степенью достоверности.В оптической реализации гармонического осциллятора координата и импульссоответствуют абсолютным величинам электрического поля в электромагнитнойволне в определенных фазах. Фазочувствительные измерения электромагнитногополя выполняются с использованием так называемого оптического гомодинногодетектора(optica\ homodyпe detector). Яне буду подробно описывать эту технологию, но ее можно найти во многих учебниках по квантовой оптике.На представленном здесь рисунке показаны экспериментальные данные множественных измерений координаты в вакуумном состоянии (вверху) и одноквантовом состоянии (внизу) оптической волны.
Вакуумное состояние получается простым блокированием света ; объявленный единичный фотон приготовляется с использованием параметрического рассеяния (отступление1.6).Теоретически можно было бы ожидать, что гистограммы (справа) необработанныхэкспериментальных данных (слева) должны соответствовать плотностям вероятностирг0 . 1 =иl'i'o. 1 (Х) 12 ,где волновые функции410 . 1(Х) зада ются уравнениями (3.107а)(3.108) соответственно.10)ХОЕ-----------+- \-2Экспериментальные точки'11 )2х 111-------~---- \-2Экспериментальные точки-3-2-\хДанные взяты из А. 1.Lvovsky and S.
А. Bablchev, Synthesis and tomographic characterization of thedisplaced Fock state oflight, Physical Review А 66, 011801 (2002).Мы можем видеть, что если для вакуумного состояния теория и экспериментсогласуются почти идеально, то данные для однофотонного состояния лучше всегосоотносятся со смешанным состоянием единичного фотона с вероятностьюи вакуума с вероятностью0,38.0,62Дело в том, что создать идеальное однофотонноесостояние невозможно. Достоверность наблюдаемого нами состояния неизбежноснижается из-за потерь на оптическом пути, неидеальной эффективности регистрации и других причин.209ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАквантовом состоянии они эволюционируют точно так же, как координата и импульс классического гармонического осциллятора [см.(3.86)].Мы обобщим это наблюдение в разд.3.8.3.Когерентные состояния3.9.Когерентное состояние является наиболее точным приближениемклассического гармонического колебательного движения.
Мы ужевидели, что средние значения координаты и импульса в любом квантовом состоянии (кроме фоковских) ведут себя во времени точнотак же, как и у классического шарика на пружинке. Особенностькогерентного состояния в том, что в то время, как амплитуда такихколебаний может быть сколь угодно высокой, неопределенностикоординаты и импульса остаются такими же низкими, как в вакуумном состоянии. Из-за поведения, схожего с классическим, когерентные состояния часто наблюдаются в природе, причем не тольков механике, но и в других «воплощениях» гармонического осциллятора, таких как световое поле в лазерном импульсе.Когерентное состояние (состояние Глаубера)la) есть собственное состояние оператора уничтожения с собственным значением а:йlа) = aia).(3.116)Поскольку йне эрмитов оператор, его собственное значение а-может быть комплексным.
Абсолютная величина 1а1 этого оператораназывается амплитудой, а комплексный аргумент Агg а-когерентной фазой нашего когерентного состояния./(а)1/'\\\/_,,,,\/\/\' _......о'\х(с)Рис.3.10.Волновые функции когерентных состояний: адой а= О (вакуумное состояние); Ьа=2105 + 4i (действительная часть)-с амплитудой а=5;с--с амплитус амплитудойГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕМы начнем изучение когерентного состояния с его волновой функции. Она может быть определена путем решения(3.116)как дифференциального уравнения в координатном базисе, аналогично упр.3.64.Во избежание этих довольно утомительных расчетов в следующемупражнении я просто сразу выпишу ответ и попрошу вас его проверить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
