Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Это оставляет нам трипараметра и два уравнения;следовательно, для каждого значенияэнергии существует два линейно независимых набора решений. Найдем их, введя в систему дополнительное уравнение.188ГЛАВАА ik 0 x~еС.еik 1x3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ~--------------------------------------------------____________.хРис.3.4................. .ЕооРешение стационарного уравнения Ш рёдингера для потенциала-ступеньки (упр.3.47 и 3.51)Упражнение3.48§.Решите уравнения(3.77) для В иС, если дополнительное уравнение:а)D=О,Ь) А= О.Ответ:а) В=А ko-k1 ; С=А~.(3.78а)ko +klko +klЬ) B=D~;~) +klC=Dk1 -ko.~) +kl(3.78Ь)Разумеется, любая линейная комбинация этих решений такжеявляется решением.ВыборD=Оили А=Ов упражнении выше диктуется следующимсоображением. Как мы выяснили в разд.Бройля видаeikxс положительнымk3.4,эволюция волны десоответствует распространениюв направлении отрицательв направлении положительного х, аe-ikx -ного х.
Следовательно, случайО соответствует волне де БройляD =с амплитудой А (назовем ее А-волной), идущей слева и встречающейна своем пути барьер. Часть этой волны преодолевает барьер и становится С-волной; другая ее часть отражается в виде В-волны. Случай А= Осоответствует частице, приходящей справа (D-волна) и порождающейВ- и С-волны в прохождении и отражении соответственно.В этом рассуждении несколько контринтуитивным является, возможно, то, что мы рассматриваем столкновение частицы с барьеромкак стационарное состояние, т.
е. событие бесконечной длительности. Это связано с бесконечной пространственной протяженностью волны де Бройля, о которой мы говорили в разд.3.2.Непло-189ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3.8.Формулы ФренеляРассмотрим оптическую волну амплитуды Е 0 , распространяющуюся в веществес коэффициентом преломления п 0 • Падая на границу одного вещества с другим,коэффициент преломления которого п,, волна частично проходит сквозь эту границу, а частично отражается от нее. Формулы Френеля связывают амплитуды прошедшей и отраженной волн (Е, и Е" соответственно) с Е 0 в зависимости от угла падения и поляризации. Для нормального падения эти уравнения принимают вид:(З.79а)(З.79Ь)Е,~~Е"Отметим, что для п 0>п, мы имеем Е,> Е0 •Однако здесь нет нарушения законасохранения энергии.
Дело в том, что интенсивность (плотность потока мощности)оптической волны пропорциональна не только квадрату ее амплитуды, но и коэффициенту преломления:I= 2пcc0 IEl 2 •Прошедшая в вещество волна движется с меньшей скоростью, так что потокэнергии, переносимый этой волной, также ниже. Сумма интенсивностей отраженной и прошедшей волнI, + I"= 2с€ 0 ( п, 1Е, 1' +п 0 1Е,. 1') = 2с€ 11 n11 1Е11 1' = / 11 ,равна интенсивности падающей волны.хай аналогией этого эффекта может служить непрерывный лазерныйлуч, переходящий из воздуха в стекло и претерпевающий частичное отражение в соответствии с формулами Френеля (отступление3.8).Подобно ситуации с квантовой частицей, отражение здесьпредставляет собой не мгновенное событие, но стационарный процесс.
Интересно, что если мы сравниваем уравнения Френелядля амплитуд поля с уравнениями(3.78)(3. 79)и учитываем обратнуюпропорциональность оптического волнового числа фазовой скорости, а вследствие этого прямую пропорциональность коэффициенту190ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕпреломления, то мы обнаруживаем, что эти две системы уравненийпочти идентичны!Примечательная особенность результата (3.78а) заключается в том,что амплитуда С прошедшей волны де Бройля выше, чем амплитудаА падающей.
Аналогично оптическому случаю (отступление3.8),этоне противоречит закону сохранения вещества, поскольку поток вещества пропорционален как плотности вероятности, связанной с волновой функцией, так и фазовой (или групповой) скорости данной волновой функции. Приняв это во внимание, мы обнаружим, что законсохранения вещества соблюдается в точности.Упражнение3.49.Определив поток плотности вероятностиволны де Бройля как j =vph1\j/(X)12 , найдите потоки плотности вероятности для А-, В- и С-волн в (3.78а). Найдите коэффициенты отражения и пропускания для этих потоков, т.е. }8 /jл и icliл· Покажите,что их сумма равна единице. Как ведут себя эти коэффициенты приЕ~ V0 иЕ~оо?Упражнение3.50.Выполните упр.3.47 дляэнергий нижеV0 •Убедитесь, что коэффициент отражения равен единице.Если вам по-прежнему не нравятся столкновения бесконечной длительности, попробуйте сделать следующее.
Начните с гауссова волнового пакета, движущегося на барьер, разложите его на множество волнде Бройля и исследуйте его эволюцию аналогично тому, как это делалось в упр.3.29.Упражнение3.51 ".Найдите эволюцию состояния, начальная волновая функция которого представляет собой гауссов пакет, описанныйв(3.51)с положительным импульсом р 0 и отрицательной координатой центра а в поле потенциала-ступеньки (рис.3.4).Считайте, что:• lal » d , поэтому волновой пакет первоначально целиком находится слева от ступеньки;•d 2 » Ы / М, поэтому расширением волнового пакета (упр. 3.29)можно пренебречь;• начальная средняя энергия частицы Е = р; / 2М больше, чем V0 ;• неопределенность импульса волнового пакета h/2D малапо сравнению со средними импульсами nko и nkl падающейи прошедшей волн де Бройля.191ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАаДо столкновенияПосле столкновениях=Ох = аЬ До столкновения: t = ОВо время столкновения: 1= lal/(po/М)После столкновения: 1 = 2lal/(pj М)/\- 10 х (nm)- 20Рис.3.5.- 10 х (nm)1020 - 20- 10 х (nm)1020Гауссов волновой пакет, взаимодействующий с потенциаломступенькой (упр .Ь20 - 20103.47и3.51):а-схематическая диаграмма эволюции;-численное моделировани е для электрона с а = -1 О нм , начальной энергией Е = 3,78 эВ (соответствующей k 0 = 10 10 м - 1 ) и высотой потенциальной ступенькиV0 = 2,42эВ (соответствующейk, = 0,6 х10 10 м - 1 ) .
Осцилляции, видимые во время столкновения, возникают от интерференции падающей и отраженной волн. На крайнем правом графике видно, что прошедший волновойпакет движется медленнее, чем отраженный .Решение представлено графически на рис.3.5.Столкнувшисьс потенциальной ступенькой, первоначальный волновой пакет расщепляется. Часть его продолжает распространяться и после этого,но с меньшей групповой скоростью, тогда как другая часть отражается от ступеньки и начинает двигаться в обратном направлении. Удивительно , но все это сложное движение проистекает от простого поворота фаз составляющих волн де Бройля!В качестве заключительного комментария к задаче потенциальнойступеньки отметим, что ненулевая вероятность отражения частицыот потенциальной ступеньки, которая уступает по величине энергиичастицы или даже отрицательна [как в случае, описываемом в (З.78Ь)],представляет собой строго квантовое явление.
Любая классическаячастица просто «пролетит над» такой потенциальной ступенькой,снизив или увеличив свою скорость, но ни в коем случае не поменяетнаправление движения на обратное.Еще более неклассическим является эффект, который мы будемобсуждать сейчас.192ГЛАВАОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.3.7.2. Квантовое туннелированиеа.....-------. Vo17 ik0 (x- L)ге•---------------•Gе.________х=ОьРис.3.6.(произвольные едини цы)Туннельный проход сквозь барьер (упр.-оx=LRe\jl(x)компонентных волн де Бройля; ЬЕ- ik0 (x- L )3.52):а-обозначениядействительная часть численного решения для электрона с начальной энергией Е = 0,95 эВ (соответствующейk 0 =0,5 х 10 10 м- 1 ) и высотой потенциального барьера V0 = 1,51 эВ (соответствующей k 0 = 0,39 х 1О 10 м- 1 ).
Барьер длины L = 1 нм показан серым. Видны тричасти волновой функции: осциллирующая перед туннелем, экспоненциальноубывающая в пределах туннеля и снова осциллирующая, но с меньшей амплитудой, после туннеля.УпражнениеV(x)=3.52.Рассмотрим потенциал на рис.3.6 а, т. е.{ О при х ~О или х > LV0(З.80)приО<х~Lи частицу с энергией, удовлетворяющей условию О< Е < V0 •а) Каково вырождение энергетических уровней?Ь) Найдите решение стационарного уравнения Шрёдингера, которое соответствует волне де Бройля, приходящей слева.с) Найдите коэффициенты пропускания и отражения для потокавероятности. Равна ли их сумма единице?193ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3. 9. Оптическийаналог туннелированияЯвление квантового туннелирования также имеет аналог в оптике.
Когда оптическая волна претерпевает полное внугреннее отражение, например на границе стеклаи воздуха, с противоположной стороны границы (в воздухе) появляется эванесцентная волна. Как правило, она затухает экспоненциально на масштабе расстояния,сравнимом с длиной волны, и не несет никакой энергии. Ситуация здесь аналогичнатой, что исследовалась в упр.3.50. Однако если вблизи описываемой границы находится другой стеклянный объект, то эванесцентная волна войдет в него и будет распространяться дальше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
