Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Предположим, что мы приготовили частицу массой Мв координатном собственном состоянииlx =О)в момент времениt=О. Поскольку координата частицыизвестна точно, ее импульс имеет совершенно неопределенную величину. Мы позволяем этому состоянию свободно эволюционировать некоторое время t0 , а затем производим измерение наблюдаемой х получая при этом некоторую величину х 0 •,Теперь координата частицы непосредственно перед измерением нам точно известна.Но и импульс точно известен! Действительно, поскольку известно, что в моментt =хО координата была в точности хО, а в момент=t = t0она в точности равна=х0 , мы заключаем, что скорость перед измерением была равна в точности v =х0 / t0 ,из чего следует, что импульс должен был быть равен р 0 = тх0 / t0 •Естественно, этот пример не противоречит принципу неопределенности в томвиде, в каком он определен уравнением(3.50).
Это уравнение утверждает, что измерения х и р проявляют некоторую степень случайности, но не утверждается,что они не могут коррелировать друг с другом. Именно так обстоит дело с нашейчастицей: поскольку в начальном состоянии она имеет совершенно неопределенныйимпульс, величины х0 и р 0 , которые могло бы дать измерение в момент t 0 , полностьюнепредсказуемы. Однако они взаимосвязаны-пропорциональны друг другу.Наш пример показывает, что можно узнать координату и импульс частицыpostfactuт, т. е. после измерения.
Однако невозможно приготовить частицу так, чтобыее координата и импульс были известны аpriori,т. е. до измерения.Я хотел бы также пояснить, что здесь нет никакого противоречия с нашей дискус1.9.3, где говорилось, что некоммутирующие наблюдаемые не могутбыть измерены одновременно. Там речь шла о возможности построения прибора,который выдавал бы точную информацию о координате и импульсе для каждогосией в подразд.состояния.
А в данном примере одновременная информация об этих наблюдаемыхполучается для одного конкретного состояния, специально построенного намидля создания парадоксальной ситуации.• W. Heisenberg, ЙЬеr den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Кinematik und Mechanik,Zeitschrift fiir Physik 43, 172 (1927).** Гейзенберг В. О наглядном содержании квантовотеоретической кинематики и механики//Успехи физических наук.
Т. 122. Вып. 8 (1977). С. 654. - Прим. ред.••• Пример предоставлен А.В. Белинским и В.Б. Лапшиным.Ответ:а) 'i'(рл,Рв) = 8(рА + Рв);Ь)с)lx0 );l-P0 ).Мы видим, что, если Алиса решает измерить координату своейчастицы, она тем самым удаленно приготавливает частицу Боба169ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАв состоянии с точно определенной координатой и неопределеннымимпульсом. В то же время если Алиса измеряет импульс, то Боб получает состояние с определенным импульсом и неопределенной координатой. Таким способом Алиса может удаленно, без всякого взаимодействия с Бобом, выбрать и приготовить в его локации одну из двухвзаимоисключающих реальностей.Можно возразить, что такое рассуждение требует использования сингулярных волновых функций, которые, как уже подчеркивалось, нефизичны.
Это серьезное возражение. Однако парадокс ЭПРможно без труда переформулировать для физически возможного гауссова состояния, в котором корреляция координат и антикорреляцияимпульсов почти, но не совершенно, точны. При этом состояние становится физически допустимым, а нарушение локального реализманикуда не девается. Мы убедимся в этом в подразд.3.10.3.Здесь важно подчеркнуть, что в исходном виде парадокс ЭПРне демонстрирует нелокальность природы в той же степени, что и эксперимент Белла.
Неравенство Белла выполняется для любого локальнореалистичного эксперимента, передняя панель которого соответствуетрис.2.2,так что необязательно верить в квантовую механику, чтобыубедиться в нелокальности, наблюдая нарушение неравенства Беллав эксперименте. А вотGedankenexperimentЭПР в первоначальномварианте человеку, который не верит в квантовую механику и, в частности, в принцип неопределенности, парадоксальным не покажется.Действительно, если частицам позволяется одновременно иметь определенные координату и импульс, то наблюдаемые корреляции можнолегко объяснить так: частицы Алисы и Боба каждый раз приготовляются с одними и теми же (но случайными) координатами и противоположными (но случайными) значениями импульса. На языке Беллаэто означает, что оригинальный эксперимент ЭПР, в отличие от эксперимента Белла, может быть объяснен в рамках модели с локальнойскрытой переменной.З.t..
Потенциал свободного пространстваДо сих пор мы обсуждали статические, не зависящие от времени свойства волны де Бройля. Теперь давайте посмотрим, как эта волна эволюционирует во времени. В разд.1.10постулировалось, что квантовая эволюция определяется гамильтонианом, который представляет170ГЛАВАОтступлениеУравнение(3.55)3.4.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПросто добавьте крышечки?мы получили, приписав крышечки над переменными в соответствующем классическом выражении. Эта операция не слишком сильно влияетна внешний вид выражения, а вот его физическую суть меняет кардинально: переменные превращаются в операторы. По какому праву мы производим такие изменения?В качестве примера рассмотрим взаимоотношения между импульсом и кинетической энергией. Наблюдаемое импульса равнои это означает, согласно определению, данному в подразд.кет-векторовIP)1.9.1, что множество всехобразует ортонормальный базис гильбертова пространства, а каждый из этих кет-векторов обозначает состояние частицы с определенным значениемимпульсар.Далее, каждое такое состояние характеризуется также определенной кинетической энергией К = р' /2М.
Следовательно, наблюдаемое кинетической энергиидолжно записываться, согласно тому же определению, как:f-·2К= _p__IP)(pictp·~2МНо, согласно определению А.25 для операторных функций, это выражениеможет быть записано просто как:л2k=L.2Мсобой сумму кинетической и потенциальной энергий. Эти энергииявляются функциями координаты и импульса частицы:л2Н = V(x)+_p_.(3.55)2МЭтот гамильтониан идентичен классическому, за исключениемтого, что канонические наблюдаемые здесь записываются как операторы (обсуждение того, почему мы можем это делать, см.
в отступлении 3.4). Здесь М - это масса частицы, р 2 /2М - оператор кинетической энергии, а V ( х) - потенциальная энергия, которая являетсяфункцией наблюдаемого оператора координаты.Движение частицы и эволюция ее состояния зависят от конкретного вида потенциала V (х) . Давайте начнем с простейшего случаяV (х)=О (эволюция в свободном пространстве).
При этом условиилюбое собственное состояниеIP)оператора импульса с собственнымчислом р является также собственным состоянием гамильтониана(3.55)с собственным значением (энергией) Е = р 2 /2М.171ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение3.28.Покажите, что волновая функция, описывающая эволюцию состоянияIP)под действием гамильтониана(3.55)приV(x) =О, задается выражением1il'x-i_JJ t'V (x,t)=--e h 2мh2р(3.56).J2ттпСогласно этому результату, поведение волновой функции собственного состояния импульса во времени аналогично поведению движущейся волны с волновым числомР2k = p/hи угловой частотойпk2(3.57)О)=--=--.2М2MfiЭволюция этой волны представляет собой равномерное движениес фазовой скоростью (отступлениеТ = 2л/ w-3.5)ирь= Лdв/Т = ro/k = р/2М,гдепериод, связанный с волновым движением.Удивительным образом данная фазовая скорость отличаетсяот величины р / М, которая ожидалась бы в классическом случае.
Объясняется это тем, что в (нефизичном) собственном состоянии импульсакоордината полностьюнеопределенна, а вероятность нахождениячастицы одинакова по всей одномерной вселенной. Эта вероятностьне меняется во времени. Соответственно, фазовая скорость волны деБройля не соответствует непосредственно движению вещества.Чтобы понять, как эволюция Шрёдингера переходит в движение,нам нужно изучить состояние, волновая функция которого локализована до некоторой степени в пространстве (для таких волновых функций мы используем термин волновой пакет). Движение этих волнуправляется групповой скоростью:dro (з,s7) nkР(3.58)=- = -=-иgrМdkМ'в точном соответствии с классическими ожиданиями 1 •1На самом деле фазовая скорость волны де Бройля-вопрос скорее договоренности, чем физики.
Предположим, мы сдвигаем точку начала отсчета потенциальнойэнергии на-V0 ,так что частица теперь имеет постоянный потенциалфизическое состояние, что и в(3.56),V(x) = V0 • То же+ V0 , так чтотеперь будет обладать энергией Еего волновая функция приобретет следующую зависимость от времени:1lj/iE_~-1E+Vof"(xt)=--e', fiitii'·Пространственное поведение этой волновой функции такое же, как в(3.56),потому что оно определяется импульсом, а последний связан с кинетической энергией,172ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПосмотрим, например, на гауссово состояние с ненулевым среднимимпульсом. В упр.3.25 мы узнали, что его можно разложить на множество волн де Бройля.
Каждая из этих волн эволюционирует в соответствии с(3.28).Как эта эволюция повлияет на волновой пакет в целом?Упражнение3.29*.Рассмотрим волновую функцию, котораяв момент времени t =О имеет гауссов вид(3.51).а) Найдите соответствующую волновую функциюволнового числа.
Найдите эволюцию\jl(k,t)\jl(k,0)в базисепод действиемгамильтониана свободного пространства.Ь) Используйте обратное преобразование Фурье, чтобы найти волновую функцию\jl(x,t)в координатном базисе.Подсказка: для прямого и обратного преобразований Фурьевоспользуйтесь свойствами (Г.13) и (Г.14).с) Найдите среднее значение (х) и дисперсию (Лх 2 ) координатыв зависимости от времени.Ответ:(х)=а+(р0/d 2 ( 1+fi 22-t 2 4 )M)t, (Лх 2 )=м2d;Как и ожидалось, волновой пакет движется с эффективной групповой скоростью и gr = р 0 / М. Но помимо этого он расширяется со временем. Это явление, известное как расплывание волнового пакета(spreading of the wavepacket),является следствием дисперсии групповой скорости, т.
е. того факта, что групповая скоростьнакова для разных значенийk.(3.58)неодиВ результате простое описание движения волновой функции на языке фазовой и групповой скоростей,как в отступлении3.5,верно лишь приближенно.Полезно сравнить это поведение с поведением лазерных импульсов. Такие импульсы могут распространяться на большие расстоянияв вакууме безо всякого расплывания, потому что групповая скоростьсвета в вакууме постоянна; она не зависит от частоты или волновогочисла. Но, если распространение происходит в преломляющей средес сильной дисперсией, где коэффициент преломлениякоторая не изменилась.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
