Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Найдите вероятность каждого результата и удаленноприготовленное состояние фотона Боба после этого измерения.Примените каждую из двух альтернативных методик для реше­ния данной задачи в каждом базисе:••используйте частичное скалярное произведение;разложите начальное состояние в соответствии с(2.15).с) Предположим, что Боб не знает результата Алисы. На основаниичасти Ь) опишите состояние фотона Боба, которое образовалосьпосле измерения Алисы, как ансамбль.d)Убедитесь, что вероятности, найденные в частях а) и Ь), согласу­ются между собой.Решите эту задачу для всех измерений, проведенных вческом и(2)Задача2. 7.(1) канони­круговом базисах.Алиса и Боб производят измерения над множествомкопий некоторого двусоставного состояния 1 Ч1) и обнаруживают сле­дующее:•если Алиса измеряет в диагональном базисе, то:всякий раз, когда Алиса получает1всякий раз, когда Алиса получает1-), Боб получает 1V);+), Боб получает 1Н);149ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАесли Алиса измеряет в каноническом базисе, то:•всякий раз, когда Алиса получает••всякий раз, когда Алиса получаетIH), Боб получает IL);1V), Боб получает 1R).Чему равно IЧТ)?ЗадачаСостояние Гринбергера2.8.-Хорна-Цайлингера рас­пределено между Алисой, Бобом и Чарли.

Алиса и Боб производятсовместное измерение на своих фотонах. Чему для них равна вероят­ность обнаружить:а) 1чт-),Ь)IHR),с) 10) = (ЗIНН) + 4IVV))/5и на какое состояние спроецируется частица Чарли? Для каждогоиз вышеперечисленных состояний примите любой базис измерения,содержащий искомое состояние.Задача2.9. Алиса, Боб и Чарли располагают запутанным состояниемтрех фотонов:IЧТ)= (31+- +) + 41- +-))/5.(2.49)Алиса и Боб измеряют свои фотоны в каноническом базисе. Алисаобнаруживает горизонтальную поляризацию, а Боб-вертикальную.а) Какова вероятность этого события?Ь) На какое состояние спроецируется фотон Чарли?Задача2.10.Видоизменитенаблюдаемые Мл, М 8 , Nл,N8такимобразом, чтобы нарушить неравенство Белла для состояния, получен­ного при начальном состоянии IЧТ+), IФ+) или IФ-).Задача2.11.Воспроизведите рассуждения Гринбергера- Хорна 1Цайлингера для IЧ1~нz)=-(IHHH)+IHW)+IWH)+IVHV)) и опера2торов&z@&y@&y& @& z @&у&у @&уу@&z&z@&,@&z150ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬ2.12.

Измерение фон Неймана состояния поляризации1Ч') = а 1Н) + Р 1V) производится в диагональном базисе.Задачафотонаа) Напишите совместное состояние системы и прибора после изме­рения.Ь) Дайте ансамблевое описание состояния фотона после изме­рения.2.13. Фотон= (3IH) + 4IV))/5.ЗадачаIЧ')первоначальнонаходитсявсостоянииОпишите в виде ансамбля состояние этогофотона после его декогеренции в каждом из следующих предпочти­тельных для декогеренции базисов:а) каноническом;Ь) круговом.Задача2.14.Атом имеет два энергетических собственных состояния3/lro соответственно, где ro >О.Первоначально атом находится в состоянии lv 1 ).

В момент~= Олвкл1?­lv 1 ), lv2 )чаетсягдес собственными значениями О иполе,которое делает гамильтониан равнымV = 2inwlv )(v l-2ilirolvz)(v11 1·2Н= Н0 + V,Атом испытывает декогеренцию,для которой собственный базис нового гамильтониана является пред­почтительным. Напишите ансамбль, определяющий состояние атомапосле декогеренции.Задача2.15.Проверка неравенства Белла, описанная в разд.2.3,производится с дефектным запутанным состоянием, которое пред­ставляет собой статистическую смесь состояния 1чт-) с вероятностьюflи IЧ'+) с вероятностью1 - fl·Каков диапазон величинfl, длякоторыхнеравенство Белла нарушается?Задача2.16.Покажите, что телепортация будет работать не толькос 1чт-), но и с другими белловскими состояниями в качестве запутан­ного ресурса.

Для каждого белловского состояния определите локаль­ные операции, которые Бобу необходимо будет произвести наV3 послеполучения классического послания от Алисы.2.17. Протокол квантовой телепортации реализуетсяс состоянием 1Ч1) = (1HV)-21 VH)) / J5 в качестве запутанного ресурсавместо 1чт-). Исходное состояние Алисы - lx> = alH) + PIV). Опре­Задачаделите:151ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа) состояние, в котором фотон Боба будет приготовлен в случаекаждого из четырех возможных результатов измерения Алисыи Боба;Ь) вероятность каждого результата.Задача2.18*.В квантовом повторителе, описанном в упр.2.71,при­сутствует один из следующих дефектов:а) прибор измерения в базисе Белла способен распознавать толькосостоянияIW±), но не IФ±);Ь) для каждого фотона, сохраненного в квантовой памяти, эффек­тивность извлечения равна ТJм =0,75.Для каждого случая найдите новое времяt,необходимое для полу­чения запутанности между ячейками памяти Алисы и Боба с вероят­ностью по крайней мере1 /2.ГЛАВА ЗОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕОно не то чтоб Цыбuн бъиz с двойным натура дном:Когда в натуре бездна, речи нет об дне двойном.Теперь мы готовы ввести в квантовую механику собственно «меха­нику».

В этой главе мы изучим основы квантовой физики простейшейдвижущейся системы: точечной частицы с одной-единственной степе­нью свободы. Хотя на первый взгляд такая система может показатьсячем-то вроде «сферического коня в вакууме», эта модель оказываетсявполне релевантной для многих практических физических ситуаций,удивительно хорошо описывая их свойства.

Более того, квантовая тео­рия одномерного движения снабдит нас теоретическими инструмен­тами для изучения в следующей главе более сложного трехмерногодвижения. Эту теорию можно непосредственно применить к движе­нию электронов в атомах при расчете, скажем, атомных спектров излу­чения и поглощения. Затем эти спектры можно сравнить с результа­тами экспериментов, обеспечив таким образом базу для подтвержде­ния или опровержения квантовой теории.

Замечательное совпадениеэтих результатов стало основным фактором триумфа квантовой тео­рии в начале ХХ в.3.1.Непрерывные наблюдаемыеВ классической механике одномерное движение описывается двумяканоническими переменными: координатой и импульсом. Соответ­ственно, в квантовом варианте мы тоже вводим два наблюдаемых опе­ратора: координату х и импульс р11•Если вы не знакомы с дельта-функцией Дирака и преобразованием Фурье, то, пре­жде чем продолжить, просмотрите, пожалуйста, разделы Г.1 и Г.2 в соответствующемприложении.153ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАХотя геометрическое пространство, содержащее интересующуюнас частицу, одномерно, связанное с ним гильбертово пространствообладает бесконечной размерностью: существует бесконечное мно­жество координатных собственных состоянийlx), и все эти собствен­ные состояния ортогональны 1 • Более того, координатные собственныесостояния образуют континуум: для каждого действительного зна­чениях существует связанное с ним собственное состояниеlx).То жеможно сказать и об импульсном наблюдаемом.Мы знаем (см.

упр.1.30),что множество собственных состоянийлюбого физического наблюдаемого образует ортонормальный базис.-Координата и импульсне исключение. Однако непрерывность этихнаблюдаемых подразумевает, что большая часть математических пра­вил (разложение состояния и оператора, нормирование, преобразова­ние базиса и т. п.), выведенных для гильбертовых пространств конеч­ной размерности, нуждается в модификации: суммирование придетсязаменить интегрированием. Это и есть наша задача в данном разделе.Чтобы воспроизвести упомянутые правила в виде, близком к тому,что мы наблюдаем для дискретного случая, нам нужно определитьспециальное соглашение о нормировании для собственных состоя­ний непрерывных наблюдаемых.

Вместо нормирования этих состо­яний к единице, как мы сделали бы в дискретном случае, мы пишем:<х1<Рlp') =8(р-р').х') =8 (х -х');(3.la)(3.lb)Поначалу это может показаться странным. Согласно(3.la),лярное произведение координатного собственного состоянияна самого себя есть <х1х)= 8 (О),ска­lx)так что такое состояние имеет бес­конечную норму. Как это согласуется с аксиомой гильбертова про­странства квантовой механики, которая гласит, что все физическиесостояния должны иметь норму1?Вот что мы на это ответим: соб­ственные состояния непрерывных наблюдаемых нефизичны-невоз­можно поместить частицу в абсолютно точную позицию или заставитьее двигаться с абсолютно точной скоростью. Поэтому правило норми­рования для физических состояний не применимо к1lx>илиlp);этиПочему континуум координатных собственных состояний порождает гильбертовопространство бесконечной размерности, тогда как континуум линейно поляризован­ных состояний-всего лишь двумерное гильбертово пространство? Если не помнитеответа, загляните в разд.1541.3.ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕсостояния представляют собой всего лишь математическую абстрак­цию1.

Все физически реалистичные состояния, имеющие некоторуюнеопределенность в значении как координаты, так и импульса, дей­ствительно имеют единичную норму согласно постулату.Любое квантовое состояние IЧJ) может быть разложено по базису,связанному с непрерывным наблюдаемым:-1'1')= J\jl(x)lx)dx.(3.2)Это уравнение заменяет уравнение (А.1) для разложения состо­яния по дискретному базису: сумму здесь сменяет интеграл. Функ­ция ЧJ (х) называется волновой функцией состояния IЧJ) в х-базисе(или х-представлении) и является аналогом, в случае непрерывногонаблюдаемого, столбцового представления вектора в гильбертовомпространстве конечной размерности. Взяв сопряженные величиныот обеих сторон-(3.2),а именно('1'1= J 'l''(x)(xldx'(3.3)мы обнаруживаем также, что волновая функция вектора (ЧJI равна ЧJ.

Характеристики

Список файлов книги