Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но эволюция во времени будет зависеть отстота волны теперь равняется (Етоже будет зависеть от+ V0 )/1i,а неE/h.-а следова-V0 ,поскольку чаТаким образом, фазовая скоростьV0 •Групповая же скорость пропорциональна производной энергии и потому не зависит от выбора точки отсчета потенциала.173ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3.5. ФазоваяФазовая и групповая скоростии групповая скорости(phase and group velocities) -это фундаментальныепонятия волновой механики.
Разберем их здесь коротко. Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль осиz:Конкретная природа волны не имеет значения: она может быть оптической, акустической или квантовой волной де Бройля. Приведенное выше уравнение можнопереписать как:гдеv,, = w / kесть фазовая скорость. Из приведенного выше уравнения ясно, что этоскорость, с которой движутся точки постоянной фазы (волновые фронты). Определяется она функциейk (w),известной как дисперсионное соотношение .
Эта функция зависит от физики волны и /или среды, в которой она распространяется.огибающаяv9 ,Теперь предположим, что волна промодулирована, как показано на рисунке.В момент времениt=О она имеет вид:W(z,0) =W,,Re[e'"' ]cosЛkz =~W0 Re[e"'"·"'' + е'"-'"''']'где лk «kописывает огибающую модуляции . Найдем скорость движения этой огибающей. Подставив ненулевое время в уравнение выше, находим:W(z,t) = ~ w.Re[ei(k<дkJ•-•(••"ЛW)I +ei(k-.\k)l-il<,->w)•] == W,,Re[e'"-'"" ]cos(Лkz-Лwt) == W0 Re[e"( ' -"~ 0 ]cos[Лk(z-v"t)],где Лwаv,, =-приращение частоты, соответствующее приращению Лk волнового числа,Лw/ Лk-групповая скорость, т.
е . скорость, с которой распространяется огибающая .Групповая скорость определяет, например, скорость сигналов, переносимых волной. В системах, где волновое число пропорционально частоте (к примеру, электромагнитные волны в вакууме), фазовая и групповая скорости равны. Если соотношение между этими двумя величинами более сложное, эти скорости моrут сильно различаться, порождая множество занятных явлений.174ГЛАВАтельно, и групповая скорость-3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕизменяется в зависимости от частоты,импульсы будут расплываться.Исходя из приведенных выше результатов, мы знаем, что расширением можно пренебречь, еслиn-2 t « 1 ; в этом случае форма гауссоваMdволнового пакета не меняется: он движется как единое целое, копируяклассическое движение точечной частицы.
Это условие для микроскопических объектов почти всегда выполняется.Но даже для микроскопических объектов эффект расширения весьматрудно наблюдать экспериментально. Это связано, в частности, со взаимодействием частицы с другими объектами. Как обсуждалось в подразд.2.4.2,такое взаимодействие приводит к декогеренции, котораявызывает коллапс состояния на координатное собственное состояниеили смесь таких состояний, таким образом «заново запуская» расширение. Расширение подавляется также в том случае, если частица находится в потенциальной яме, изучением которой мы вскоре займемся.Упражнение3.30.Оцените время, которое потребуется, чтобы:а) волновой пакет, описывающий единичный электрон с координатной неопределенностью порядка lA, расширился на 1 мм;Ь) волновой пакет, описывающий металлический шарик массой1 гс координатной неопределенностью порядка lA, расширилсяна lмм;с) волновой пакет, описывающий 40-килограммовое зеркало интерферометра в гравитационном волновом проектената которого известна с точностьюd =10- 18LIGO,коордим, расширилсяв такой степени, чтобы дисперсия его координаты удвоилась.Упражнение3.31.Покажите, что если среднее значение импульсанамного превосходит неопределенность импульса первоначальноговолнового пакета, то расстояние, пройденное центром волновогопакета за времяt, много больше величины, на которую он расширится.3.5.
Стационарное уравнение ШрёдингераВ оставшейся части этой главы мы будем изучать квантовое поведениеточечной частицы в поле некоторой консервативной силы. Мы знаем,что это поведение управляется уравнением Шрёдингера. Вместо того175ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАчтобы искать его общее решение, мы сначала научимся выполнятьболее скромное задание: находить множество энергетических собственных значений и собственных состояний для определенногопотенциала.
Если мы успешно справимся с этой задачей, то сможемопределить и динамику во времени. С этой целью достаточно разложить начальное состояние на энергетические собственные состояния, а затем применить уравнение эволюции(1.25)к каждому из этихсостояний.Энергетические собственные состояния не только полезны длявычисления эволюции, но и физически значимы, поскольку частообразуют предпочтительный для декогеренции базис (см. подразд.2.4.2).Это означает, что такие состояния и их статистическиесмеси возникают намного чаще, чем их же когерентные суперпозиции.Кроме того, энергетические собственные состояния можно наблюдать экспериментально при помощи света. Переход между этимисостояниями в атомах или молекулах связан с поглощением или излучением фотона, энергия которогоtzw равняется разнице соответствующих энергий в веществе.
С помощью спектроскопии-измеряя длиныволн, на которых происходит поглощение или излучение,-можноопределить соответствующие энергии и тем самым проверить квантовые расчеты экспериментально.Таким образом, наша задача-найти состояния IЧJ), такие что(3.59)Это уравнение называют стационарным уравнением Шрёдингера(time-independent Schrodinger equation).Как правило, мы будем работать в координатном базисе и искать волновую функцию ЧJ (х) состояния 1ЧJ).
С этой целью мы берем скалярное произведение обеих сторонуравнения(3.59)и бра-вектора(xl.Упражнениение3.32. Покажите, что в х-базисеШрёдингера (3.59) принимает вид:22Jd -2 \jl(x)=E\jl(x).[ V ( x 11) - 2Mdxстационарное уравне(3.60)Это обычное дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно решить и аналитически, и численно. Прежде чем перейти176ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕк поиску решений для конкретных потенциалов, разберем некоторыеих общие свойства.УпражнениеV(x)3.33.Найдите общие решения уравнения (З.60) для= V0 • Рассмотрите следующие случаи:а) Е> V0 ;Ь) Е< V0 •Ответ:а) Ae kx + Be-ikx, где k = ~2М(Е -V0 ) / 1i;1Ь) Аекх + Ве-кх, где к= ~2M(V0 -Е)/1i,где А и Впроизвольные коэффициенты.-Мы видим, что эти решения принципиально различны для энергий выше и ниже уровня потенциала.
В первом случае мы получаемпространственные осцилляции, как у волны де Бройля. Во втором случае решения возрастают или убывают экспоненциально в зависимостиот координаты. При х ~ ±оо такое решение подразумевает бесконечные вероятности, поэтому оно не может существовать в каком-либофизическом состоянии (или даже в приближении такового).Следующее упражнение обобщает это наблюдение на произвольные потенциалы.Упражнение3.34.Покажите, что гамильтониан(3.55)не можетиметь собственные значения меньшие, чем минимум функцииV (х)по действительной оси.Иными словами, не может быть энергетических собственных значений, таких что Е< V (х) длявсех х.
Однако ситуации, в которых энергияниже потенциала на части оси х, возможны, как в случае, например,с квантовым туннелированием (которое мы вскоре начнем изучать).Упражнение3.35.Покажите, что если \jJ (х) есть решение стационарного уравнения Шрёдингера, то и \jJ (х), инепрерывны в точках, где потенциалV (х)d\j) (x)/dx должныбытьконечен.Этот результат окажется чрезвычайно полезен при решении многих задач, в которых потенциал задается кусочной функцией, т. е.набором различных элементарных функций, каждая из которых определена в собственном интервале координат.
Найти решение для каж-177ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАдого из этих интервалов относительно легко, но затем эти решениянеобходимо «сшить», чтобы они образовали физически осмысленную волновую функцию. Упражнение3.35 дает нам лекало для такого«сшивания».Упражнение3.36.Рассмотрите множествоSE,состоящее из всехсобственных состояний гамильтониана с собственным значениемэнергии Е. Покажите, что существует остов множестваSE,состоящийтолько из состояний с действительными волновыми функциями.Например, волна де Бройля;1"::1'l'r(x)= ~е",v2nh(3.61)связанная с импульсным собственным состояниемIP), является решением стационарного уравнения Ш рёдингера с собственным значениемэнергии Е = р 2 / 2М.
Это же верно для волновой функции1'lf _ (х)=--еr,J2nti-ii"::(3.62)"которая представляет собой волну де Бройля для собственного состояния импульса 1-р). МножествоSЕсостоит из состоянийl±p) и их линейных комбинаций. В частности, действительные волновые функции(3.63)и(3.64)также представляют энергетические собственные состояния с тем жесобственным значением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
