Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(х).Упражнение3.1. Покажите, что можно построить следующие непрерывные аналоги основных дискретных соотношений:а) вместо (А.6):ЧJ (х)= (х 1ЧJ);(3.4)Ь) вместо (А.26):-Jlx)(xJdx=l;(3.5)с) вместо (А.4):+=('1' 1 l'1' 2 )= J '1'; (х)'1' 2 (x)dx.1(3.6)Для более строгого рассмотрения этого вопроса вводится специальная конструкция,разработанная И.М. Гельфандом и Н.
Я. Виленкиным и именуемая оснащенным гильбертовым пространством (rigged Hilbert space). Подробности в: R. de !а Madrid, The role ofthe rigged Hilbert space in quantum mechanics, European Journal of Physics 26, 287 (2005).155ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3.1.Если использоватьправило нормированиядля конечной размерностиЧто если мы захотим избежать использования обобщенных функций и попробуемприменить правила нормирования для конечных размерностей к гильбертову пространству непрерывной переменной? К сожалению, при этом не получится разработать непротиворечивый набор отношений между состояниями, волновыми функциями и наблюдаемыми.
Например, пусть(xl х') = { 1, если х = х',(3.7)о, если Х*Х.Тогда, подставив(3.2)в(3.4),получим:'V(x) = (фv) = J'V(x')(xjx')dx' ·Последнее выражение в строке выше содержит интеграл функции, котораяимеет ненулевое конечное значение всего в одной точке х' = х и потому обращаетсяв нуль. Таким образом, в предположении (3.7) волновые функции всех физическихсостояний будут равны нулю.Упражнение3.2.Покажите, что для физических состояний(3.8)Упражнение3.3.Вычислите нормирующий множитель А для состояний со следующими волновыми функциями:а) прямоугольная функция\jl (х ) ={ 0,еслих<аили х>ЬА,если а~х~Ь;(3.9)Ь) гауссова функциях''l'(x) = АеУпражнениеzd' .(3.10)3.4.Найдите волновую функцию состояния с определенной координатойjx0 )в координатном базисе.Как и в дискретном случае, операторы, связанные с непрерывныминаблюдаемыми, задаются как-х= Jxlx)(xldx.156(3.11)ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕФункции операторов, естественно, определяются как-f(x)= J f(x)lx)(xldx.(3.12)Для произвольного оператора А двумерная функцияА (х, х1 = (хIAI х')(3.13)называется матричным элементом этого оператора.Как мы увидим далее, по аналогии со случаем дискретной переменной,матричный элемент (хIAI х'), будучи функцией х и х', содержиг полнуюинформацию об операторе.
В более общем случае мы можем производитьоперации с состояниями и операторами, представленными одно- и двумерными функциями соответственно, так же как мы оперируем с матрицами в дискретном случае, но заменяя суммирование интегрированием.Упражнение 3.5. Покажите, чтоУпражнение3.6. Докажите,xlx) = xlx).что:а) любой оператор А можно записать в виде--А= J J A(x,x')lx)(x'ldxdx',где А (х, х1 задается уравнением(3.14)(3.13);Ь) для любой операторной функции х(3.15)с) для любого оператора.А и любых двух состояний IЧJ), lч»(<plAl\lf J=77 <р' (x)A(x,x')<p(x')dxdx';(3.16)d) волновая функция состояния А 1 ЧJ) равна(3.17)е) волновая функция состояния (ЧJ 1А равна(3.18)157ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАf) матричные элементы оператора А и сопряженного с ним оператора .А t связаны соотношением(At)(х, х') =А* (х', х);(3.19)g) произведение операторов А и В может быть записано черезих «матрицы» как(xlAВlx')=f A(x,x")B(x",x')dx".(3.20)А теперь давайте переформулируем постулат квантовой механикиоб измерениях для случая непрерывного наблюдаемого.
Предположим, что наблюдаемое х измерено в квантовом состоянии IЧJ> с волновой функцией (х1 ЧJ) =ЧJ (х). Каково распределение вероятностейдля возможных результатов этого измерения? В разд. Б.4 мы ввелипонятие плотности вероятностиpr(х) непрерывной переменной,такой что вероятность обнаружения х в определенном интервале[х',x'jравнах"РЧх',х"] = J pr(x)dx.(3.21)х'Выразимpr (х)через ЧJ (х).Согласно постулату об измерениях для дискретного случая, вероятность проецирования на какой-то конкретный элементизмерений равна 1(и"1 ЧJ)12 • Для1 и)базисанепрерывного случая это правилоне годится, поскольку вероятность обнаружить частицу в точностив точке х бесконечно мала. Разумно, однако, сказать, что допустимаямера вероятности, связанная с координатой х,ности--плотность ее вероятдолжна быть пропорциональна 1(х1 ЧJ)образом, мы имеемpr (х) =IЧJ (х)12 = IЧJ(х)12 • Таким12•-JЧтобы найти коэффициент пропорциональности, вспомнимдля начала, чтоpr(x)dx= 1, согласно свойствам плотности вероят--ностей [ер.
с (Б.12)]. Помимо этого для нормированного состояния мыимеем такжеJ j'Jl(x)j =('Jll'JI)=1, как в (3.6). Сравнивая эти два усло2вия, обнаруживаем:pr (х) = IЧJ158(х)12 •(3.22)ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕНа какое состояние спроецируется 1Ч') после измерения? Как ужеобсуждалось, очевидный ответlx)нефизичен. Тем не менее он полезен в качестве приближения для многих теоретических рассуждений-только нужно не забывать о нормировании. Более реалистичный с физической точки зрения ответ будет зависеть от конкретных особенностейизмерительной аппаратуры; в общем случае будет получена некотораясуперпозиция или статистическая смесь множества координатных собственных состояний в пределах определенной близкой окрестности х.Упражнение3.7. Используя выражения (Б.13)и (Б.14) для среднегозначения и дисперсии непрерывной случайной переменной, покажите, что для непрерывного квантового наблюдаемого Х, измеренного в состоянии lчi>:а) математическое ожидание задается формулой(х) =('l'lxl\\f);(3.23)Ь) §дисперсия задается формулой(лх2) =\\\fl(x-(x))2l\\f) =('l'lx21'1')-('1'1xl'1')2.(3.24)Полученные в этом разделе данные суммированы в табл.Таблица3.1.3.1.Сравнение правил работы с дискретно- и непрерывнопеременными базисамиДискретный базисНепрерывный базис {\х)}{\v,)}Ортонормальность(v;\v) = 5и(х\ х') =Разложениеl\\f)= L'l';lv;)1'1') = J \\f(x)lx)состояния5 (х --iх)~'V; =<и;\ ЧJ>v;I ljl)'V(х) = (х\ ЧJ)Постулатpr;об измерениях(вероятность)= l<xl ljl)\ 2(плотность вероятности)РазложениеАи= (v;\A 1 и)А (х,х) = (xl А 1 х')=1(pr(x)12оператораА= IA ulv;)(vJ1.)Разложение1i = I 1V;) (и, 1Произведение(AB)ijА=--J J A(x,x')lx)(x'ldxdx'~-1операторов1=IA;kBkjk·-i = J lx)(xldx--(АВ)(х,х')=-J A(x,x")B(x",x')dx''-159ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА3.2.Волна де БройляВ предыдущем разделе мы разобрали математический аппаратдля работы с гильбертовыми пространствами, натянутыми на собственные состояния некоторого непрерывного наблюдаемого, например координаты или импульса.
Но координата и импульс представляют собой операторы в одном и том же физическом гильбертовом пространстве, связанном с движением частицы. Свяжем эти дванаблюдаемых друг с другом, постулируя отношение между их собственными состояниями:1.рх(xlp)=-e't;(3.25)-./2ттпФормула(3.25)утверждает, что волновая функция состоянияс определенным значением импульса представляет собой бесконечную волну, известную как волна де Бройля.
Эта волна-проявлениекорпускулярно-волнового дуализма, т. е. способности всей квантовой материи демонстрировать свойства как частицы, так и волны (ер.:разд.1.5).Волна де Бройля не может быть выведена из квантово-механических постулатов, которые мы изучали до сих пор. Она, скорее, являетсяобобщением множества экспериментальных наблюдений и теоретических озарений. История того, как ученые пришли к волне де Бройля,кратко описана в отступлении3.2.Может показаться странным, что в уравнении(3.25) отсутствует зависимость от времени, хотя само понятие волны подразумевает, что такаязависимость должна там быть. И действительно, применяя в разд.3.4уравнение Шрёдингера, мы получим движущуюся волну. Однакопока же давайте абстрагируемся от этого движения и рассмотрим связьмежду базисами, образованными собственными состояниями координаты и импульса, которые определяются как независимые от времени.Упражнениеуравнением'А=dB3.8.
Покажите, что длина волны де Бройля, заданной(3.25), связана со значением импульса выражением2ттn(3.26)рт. е. точно так же, как связаны импульс фотона и оптическая длинаволны (отступление1601.1).ГЛАВАУпражнение3.9.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.Оцените длину волны де Бройля для:а) автомобиля;Ь) молекул воздуха при комнатной температуре;с) электронов с кинетической энергией100кэВ в электронноммикроскопе;d)атомов рубидия в конденсате Бозетуре-Эйнштейна при темпера100 нК.Упражнение3.10.Покажите, что, согласно(3.25),собственныесостояния координаты и импульса могут быть выражены одно черездругое следующим образом:(3.27а)(3.27Ь)Волна де Бройля имеет бесконечную протяженность в пространстве.
Это согласуется с принципом неопределенности: волновая функция состояния с определенным импульсом имеет бесконечную неопределенность по координате. Однако интерпретация квадрата абсолютной величины волновой функции де Бройляl(xlp)l21=-2лtz-константыкак плотности вероятности абсурдна, ибо ее интеграл-по всему пространству равен бесконечности.Здесь опять же играет роль нефизичность собственного состояния импульса, которая означает, что плотность вероятности для негоне имеет смысла. Физически реалистичные состояния представляютсобой линейные комбинации собственных состояний импульса, такчто неопределенность координаты для них может быть ограниченной.Мы вскоре рассмотрим это более детальнокогда будем обсуждать-гауссовы волновые пакеты.Рассуждения де Бройля объясняют экспонеmу в(3.25), но не нормирующий множитель.
Следующее упражнение показывает, откуда он берется.Упражнениения импульсаи пользуясь (х3.11.IP)1их')Выразив два произвольных собственных состояIP)' какволны де Бройля в соответствии с (3.27а)= 8 (х- х'), вычислите(р1р') и убедитесь, что вашрезультат согласуется с условием ортонормальности (р 1 р')= 8 (р -р').161ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтсгуплениеВ19133.2. История открытия деБройляг. Нилъс Бор, воспользовавшись концепцией Планка, разработал собственную модель атома, согласно которой орбиталь электрона стабильна, если его моментимпульса в целое число раз большеh .
Однакомодель Бора была чисто эмпирической. Хотя она, казалось, объясняла экспериментальные результаты, стоящие за нейфизические принципы оставались загадкой.Луи де Бройль предложил концепцию своей волны в1924г. в диссертациина соискание докторской степени. К этому моменту Планк и Эйнштейн уже определили отношения между длиной волны фотона, его частотой, энергией и импульсом, а Комптон подтвердил их экспериментально (отступлениепредположил, что соотношение Е=hro1.1).Де Бройльне ограничивается световыми частицами.Напротив, любую частицу с определенной энергией можно связать с волной,частота которой задается формулой Планка.
Затем де Бройль при помощи специальной теории относительности Эйнштейна показал, что длина этой волны должназадаваться уравнением(3.26),т. е. тем же выражением,что и для фотона.Де Бройль использовал свое предположение, чтобы переформулировать модель атома Нильса Бора (отступление4.2).Он выдвинул гипотезу о том, что орбиталь электрона стабильна, если в длину ее окружности укладывается целое число пдлин волны де Бройля:2лr =Луи де Бройльгде r -(3.28)n\8 ,радиус орбитали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
