Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если предоставить всю систему самой себе на час, то затемможно сказать, что кошка все еще жива, если за это время не распалось ни одногоатома. На пси-функции всей системы это отразится тем, что мертвая и живаякошка в ней (простите за выражение) смешаны, или размазаны, в равных пропорциях».На современном языке квантовые состояния кошки и атома запутаны и описываются уравнением1'11) = _1_ (!атом не распался) 181 !кошка жива ) + !атом распался ) 181 !кошка мертва ) ).J2С субъективной точки зрения кошки в ящике квантовая суперпозиция коллапсирует, как только эта запутанность образуется (подразд.2.4.1).Однако экспериментатор снаружи ящика, обладающий бесконечными техническими воз можностями, в принципе способен подтвердить присутствие суперпозиции, спроецировави кошку, и атом на диагональные базисы.* Е.
Schrodinger, Die gegeпwaгtige807-812, 823-828, 844-849 (1935).Иллюстрация Р. Казарян.126Sihюtioп iп dег Qиantemпechaпik,Naturwissenschaften 23,ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬной, существует «вселенная», в которой данное событие или событияимели место.Это называется многомировой интерпретацией квантовой механики. Предложил ее Хью Эверетт в1957г. Хотя эта интерпретацияи разрешает логические противоречия копенгагенской, вывод о существованиимножественныхвселенныхчистоспекулятивенвтомсмысле, что его невозможно проверить экспериментально.
Как ужеговорилось, став частью запутанного состояния суперпозиции, мытеряем всякую возможность оценивать и измерять его.Более того, этот вывод верен только в том случае, если считать,что квантовая физика представляет собой окончательную, универсальную теорию мира. Хотя все эксперименты до сих пор показывают,что дело обстоит именно так, следует учитывать, что они ограниченынашей способностью изолировать квантовую систему от окружающей среды. Самыми крупными объектами, для которых наблюдалиськвантовые суперпозиции, являются органические молекулы, состоящие из нескольких тысяч атомов. Можно было бы предположить,что при достижении определенного уровня сложностиквантовыесуперпозиции прекращают существование по каким-то фундаментальным причинам; мало того, к этому ведут некоторые аргументы,проистекающие из общей теории относительности.
Поэтому вопрос-о пределах применимости квантовой физикиодин из важныхоткрытых вопросов современной науки. Чтобы ответить на него, намнужно строить все более макроскопические состояния суперпозициии проверять, сохраняют ли они при таких размерах свои свойства.Шокирующая природа многомировой интерпретации часто рассматривается как самый сильный аргумент против нее. Однако следуетпомнить, что копенгагенская интерпретация тоже полна парадоксов,с некоторыми из которых мы уже встречались на страницах даннойкниги.
Эти парадоксы возникают исключительно из-за представленияо коллапсе квантовых состояний, связанном с измерениями, и исчезают в многомировой картине, где никаких коллапсов нет.Рассмотрим, к примеру, парадокс Элицурабой» (отступление1.4).-Вайдмана с «бомВ рамках многомировой интерпретации мысказали бы, что фотон, находившийся первоначально в локализованном состоянии суперпозиции1+) =lн)+iv)J2 '127ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАпретерпевает эволюцию по мере своего продвижения сквозь интерферометр и в какой-то момент запутывается с бомбой. После произошедшего состояние обоих объектов становится~[IH,+ 1 V,нижний путь) (8) !бомба взорвалась)+верхний путь) (8) 1 бомба не взорвалась)].Эта запутанность изменяет состояние фотона, поэтому неудивительно,что он будет продолжать эволюционировать, проходя через интерферометр, иначе, чем делал бы это в случае отсутствия бомбы.
Со временем его поглотит один из двух детекторов, и состояние станет 11Гn lбомба взорвалась) (8) !детектор«+» не сработал) (8)~21(8) 1детектор« - » не сработал) + 21 бомбане взорвалась) (8)(8) !детектор«+» сработал) (8) !детектор«-» не сработал)1+ 2+!бомба не взорвалась) (8) !детектор«+» не сработал) (8)(8) 1детектор«- » сработал).Таким образом, неверно говорить, что щелчок в детекторе«-» звучитв отсутствие контакта фотона с бомбой.
На самом деле их взаимодействие имело место и породило приведенную выше запутанную суперпозицию, в которой событие в детекторе«-» представляет только одиниз членов. Но, поскольку эта суперпозиция включает в себя макроскопические объекты, она быстро охватит собой всю Вселенную, включаяи наблюдателей. Поэтому у наблюдателей во «вселенной», где щелкнулдетектор«-», не будет возможности увидеть остальные члены суперпозиции. С их точки зрения, остальных членов не существует и, следовательно, бомба была обнаружена без взаимодействия.Упражнение2.56.Два фотона в состоянии Белла 1чт-) раздаютсяАлисе и Бобу.
Они проводят над своими фотонами неразрушающееизмерение по фон Нейману в базисах:{10),1~+0)} и{IН), IV)}соответственно.1Состояние фотона я опустил для краткости.128ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬКаково состояние двух фотонов и двух измерительных приборов послеэтого измерения? Для обозначения релевантных элементов базисав гильбертовых пространствах приборов Алисы и Боба используйте{lwл 1 ), lwл 2 )} и {lw 81 ), lw82 )} соответственно.Подсказка: примените уравнение (2.6 ).2.4.4.Дерево суперпозиции*Прежде чем завершить разговор о многомировой интерпретации,мы должны решить следующий вопрос. Мы утверждаем, что коллапсквантового состояния есть субъективное явление, которое происходит только с точки зрения наблюдателя в момент, когда тот становится частью запутанного состояния.
Но тогда из этого должно следовать, что постулат квантовой механики об измерениях на самом делене постулат: он должен быть следствием постулата о гильбертовомпространстве. То есть, по идее, мы должны иметь возможность вывести правило Борна-что полученная в результате измерения вероятность, какой ее видит наблюдатель, равна квадрату абсолютнойвеличины амплитуды. Это и есть наша цель в данном разделе.Прежде чем начать, я хотел бы предупредить читателя: этот раздел довольно сложен (пожалуй, сложнее, чем остальные части книги)и не входит в мейнстрим квантовой механики.
Я рекомендовал быпропустить его при первом прочтении.Не пытаясь добиться полной строгости, попробуем обосновать правило Борна для состояния(2.32).Как наблюдатель Алиса определяетвероятность? Она повторяет эксперимент много раз и считает, сколькораз какой из результатов при этом наблюдался. Но проблема в том,что сама Алиса тоже является частью суперпозиционного состояния,так что эти видимые вероятности различны в каждом члене суперпозиции. Например, существует «вселенная», в которой Алиса повторила свой эксперимент тысячу раз и каждый раз получила 1Н).
В этойвселенной Алиса придет к выводу, что вероятность обнаружитьIH)равна единице, что прямо противоречит правилу Борна.Однако мы можем доказать, что правило Борна действует в подавляющем большинстве вселенных.Начнем с упрощенного случая равных вероятностей для двухрезультатов измерения, так что а=~= 1/J2. Предположим, что Алисапроизводитизмерениянамножественныхкопияхсуперпозиции(1Н)+1 V)) / J2 в каноническом базисе. После первого измерения она129ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАстановится частью запуганного состояния, в которое входят два слагаемых:l\JI) = ~ (IН)®iАлиса увидела Н)®IАлиса увидела v) ).(2.38)После второго измерения слагаемых будет уже четыре:(2.39)IЧТ) =IАлисаувиделаНв 1-м измерении, Нво 2-м измерении)+CIHH)@+ IHV) @ !Алиса увидела Н в 1-м измерении, V во 2-м измерении) ++ 1VH) @ !Алиса увидела V в 1-м измерении, Н во 2-м измерении) ++ IVV)@ !Алиса увидела Vв 1-м измерении, Vво 2-м измерении)),= 1/2и т.
д. Эту суперпозицию можно представить в виде древовиднойструктуры, где каждое измерение удваивает число членов в суперпозиции и ветвей дерева (рис.2.5 а).После п и~ений их число станетравно 2". Каждый член имеет амплитуду .,/1/2" и соответствует уникальному пуrи вниз по ветвям дерева.а1-е измерение2-е измерение3-е измерениеIHHH)IHHV) IHVH)1нw) 1vнн >IVHV) IWH)IVW)ь1-е измерение2-е измерениеРис.2.5.Дерево суперпозиции.
Сплошные линии соответствуют наблю- вертикальной. а -дениям горизонтальной поляризации, а пунктирныеIH) и 1 V) каждое измерение удваивает число ветдля неравных суперпозиций мы используем множественное ветвление, чтобы уравнять амплитуды ветвейдля равной суперпозициивей; Ь130-ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬВ каком бы слагаемом суперпозиции Алиса ни находилась, онане может видеть остальные слагаемые, но зато знает всю историю результатов измерений, имевших место в пределах ее ветви развития событий.Соответственно, она может вычислить частоту встречаемости для каждогоиз своих результатов и интерпретировать эти статистические результатыкак вероятности. А именно: если Алиса наблюдалаIH) k раз, а 1 V) - п - kIH) равна k/n.раз, то она сделает вывод, что вероятность обнаружитьУпражнение2.57.
Предположим, что Алиса производит большоечисло п измерений на копиях состояния (1Н)+1 V) )/ J2.. Вычислитедолю путей по дереву суперпозиции, содержащих k результатов IH)и п - k результатов 1 V).Подсказка: загляните в упр. Б.8.Ответ:n!r1 (n)k =r1 k!(n-k)!.Упражнение2.58§.(2.40)Получите результат предыдущего упражнениячисленно и постройте график его зависимости отОтвет: см. рис.Упражнениеk дляп =100.2.6 а.2.59*. Покажите, что дляп» 1уравнение(2.40) можетбыть аппроксимировано гауссовой функциейА(п)ехр [ -2(k- ~2 )2]п(2.41),где А (п) зависит только от п.Подсказка: этот известный математический результат можно получить с использованием следующих приближений:1.Аппроксимируйте натуральный логарифм ~) с использованием формулы Стирлинга как2.(Приравняйтеk = 1+8ln х! ""х (ln х- 1).8 « п .
Затем аппроксимируйтеи считайтеln (1±8) при помощи разложения Тейлора второго порядка.Из этих упражнений мы можем увидеть, что для подавляющегобольшинства путей на дереве суперпозицииприблизительно равное число событий Ниk ""1,V сот. е. они содержатстандартными отклонениями, пропорциональными корню из числа измерений (рис.2.6 а).131ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОпыт наблюдателей на этих пугях согласуется с правилом Борна. Хотя,как уже говорилось, существуют «девиантные» вселенные, в которыхправило Борна не действует, их число невообразимо мало.Рис.2.6.Число пуrей на дереве суперпозиции, содержащихружения горизонтальной поляризации при п =(а) иа2= t,~2k событий обна100 измерений для а.,2 = ~ 2 =t= %(Ь)Теперь давайте повторим вывод для более сложных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
