Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Каждый из них работает с устройством, аналогичным установке Белла,но кнопки на них помечены а и аху.При каждом событии источникавтоматически посылает три частицы на устройства Алисы, Бобаи Чарли, где наблюдатели измеряют их, нажимая одну из кнопок.После проведения множества измерений все участники встречаютсяи обсуждают результаты.Известно, что эта установка обладает следующим свойством (которое Алиса, Боб и Чарли проверяют, анализируя статистику результатов своих измерений): всякий раз, когда двое из них нажимают кнопкуа у' а третий-ахл аув аускнопку ах' произведение этих трех результатов равно= -1;-1.(2.ЗОа)(2.ЗОЬ)(2.ЗОс)Теоретическая идея: D.M.
Greenberger, М.А. Horne, А. Shimony, А. Zeilinger, inBell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe (М. Kafatos, ed.), р. 73(Юuwer Academic, Dordrecht, 1989). Эксперимент: J.W. Рап, D. Bouwmeester, М. Daniell,Н. Weinfurter and А. Zeilinger, Experimental test of quantum nonlocality in three-photonGHZ entanglement, Nature 403, 515 (2000).1115ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАБобАлисаecrxecr~~8рvЧарлиecrx[!!]ecryРис.2.4.
Установка дляУпражнениеэксперимента Гринбергера2.53.-Хорнаможноопределитьpr"xA·"•A•"x••"••·"xe·"•c,ЦайлингераПринимая гипотезу локального реализмаи используя скрытые параметры, как в подразд.что-общее2.3.2,распределениепокажите,вероятностейуправляющее одновременно всеми возможныминаблюдениями, которые можно сделать в эксперименте ГХЦ. Покажите, что эти вероятности всегда неотрицательны и в сумме дают единицу.Мы здесь следуем той же логике, что и при выводе неравенстваБелла.
Поскольку возможные наборы результатов (aiA, aJB' akc) (гдекаждый из индексовi,j и kможет принимать значениях и у) подчиняются общему распределению вероятностей, можно построить альтернативный эксперимент, в котором на трех устройствах нет никаких кнопок, но на экране они для каждого события показывают значения и ах, и ау. Такой альтернативный эксперимент демонстрировал быте же самые статистические свойства, что и первоначальный. В частности,(2.30)выполнялись бы для каждого события.Перемножим левые и правые части этих трех уравнений и заключим, что для любой тройки частиц верно следующее равенство:116'ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬ(2.31)Поскольку данный результат верен для альтернативного эксперимента, он должен быть верен и для его первоначального варианта.То есть всякий раз, когда все три наблюдателя нажимают кнопку «О/>,произведение показываемых величин принимает значение-1. Такойвывод следует из локального реализма.Теперь проведем квантовые рассуждения.
Источник посылаетАлисе, Бобу и Чарли три фотона в состоянииКогда каждый из наблюдателей нажимает одну из кнопок, наблюдаемое, соответствующее оператору Паули, написанному на этойкнопке, измеряется на фотоне этого наблюдателя. Результат измерения, соответствующий одному из собственных значений этого наблюдаемого, появляется на экране.Упражнение2.54.ние операторов:а) ах А ®ау 11 ®ау счениемПокажите, что IЧ1снz> есть собственное состоя, а".:н®а,... н ®а Ус,аУл®ау в ®а хе ссобственнымзна--1;Ь) ах ®ах 11 ®ахАСс собственным значением+ 1.Часть а) данного упражнения означает, что каждый раз, когда двоеиз трех наблюдателей измеряют ау, а третий-ах у своих частейIЧ1Gнz>, произведение результатов их измерений будет равноупр.2.24).-1(см.Из этого следует, что установка соответствует данномувыше описанию передней панели.Часть Ь), в свою очередь, доказывает, что, когда все трое наблюда,телей все время измеряют ах произведение их результатов равно+ 1.Этот результат прямо противоречит предсказанию в условиях локального реализма(2.31).В отличие от неравенства Белла, где нарушениелокального реализма фиксируется путем собирания большого количества данных и вычисления средних значений, установка эксперимента ГХЦ показывает несовпадение каждый раз, когда наблюдателипроизводят измерение.
Отсутствие статистической неопределенности117ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАделает рассуждение ГХЦ особенно элегантной демонстрацией квантовой нелокальности.2.4.Взгляд на квантовые измерения2.4.1.Измерения фон НейманаВ конце предыдущей главы мы узнали, что любой квантовый процесс описывается некоторым унитарным оператором. В то же времяпостулат об измерениях гласит, что измерение превращает квантовую суперпозицию в статистическую смесь элементов измерительногобазиса 1 • Этот процесс не может быть описан линейным оператором,поскольку тот по определению обратимо отображает любой элементгильбертова пространства на другой элемент того же гильбертова пространства.
Как можно разрешить данное противоречие?Если этот вопрос кажется вам слишком абстрактным, переформулируем его более конкретно. Предположим, что наблюдатель Алисаизмеряет диагонально поляризованный фотон(2.32)(где а и р действительны и положительны) в каноническом базисе(рис.1.2а). Этот фотон проходит черезPBSили отражается, затемпопадает на сенсор одного из фотодетекторов (отступление1.2),гдезапускает лавинообразный процесс, производящий, в свою очередь,громкий щелчок, который Алиса может услышать.
В какой моментсуперпозиция(2.32)фотон походит черезколлапсирует в множество вероятностей? КогдаPBS? Иликогда в одном из детекторов возникаетлавина? Или когда звучит щелчок?Для ответа на эти вопросы расскажу о модели квантовых измерений, предложенную Джоном фон Нейманом. В этой модели и квантовая система, которую предполагается измерять, и измерительный прибор рассматриваются как два гильбертовых пространства, становящихся в ходе измерения запутанными.
Предположим, что изначальносистема находится в состоянии IЧJ) = ~; ЧJ; lv), где1{lv;)}:1 -базисЭтот стандартный подход к квантовым измерениям называют копенгагенской интерпретацией в честь Нильса Бора.118ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬизмерения. Начальным состоянием прибора является1ш 1 )-один из элементов ортонормального базиса{1 wi)} : 1 (где М > N) в гильбертовом пространстве прибора. Во время измерения система взаимодействуетс измерительным прибором и запутывается с нимпосредством унитарной эволюции, порождая состояние1Джонфон НейманNO(i'l')®lw1))= L 'l'ilvi)®jwi) ·(2.33)i=-1Состоянияlw1 ), ••• , lw) макроскопически различны (например, включаются разные лампочки или стрелка занимает разные положения).Наблюдатель имеет доС1)'П к прибору и может узнать его состояние.В конкретном случае измерения поляризации фотона запутанностьсистемы с прибором порождает состояние 2l 'P sл) = а 1Н) ® !лавина в детекторе 1) ++ PI V) ® !лавина в детекторе 2).СуперпозицияWegиз разд.(2.34)1.5.
Даже(2.34)соответствует ситуации измеренияWelcherесли рядом нет наблюдателя, который мог бысчитывать результат измерения, одинокий фотон уже не может демонстрировать интерференцию, поскольку в состояние суперпозициитеперь вовлечен дополнительный объект-прибор.Теперь предположим, что эксперимент проводит наблюдательАлиса, которая может повторять его много раз. Теоретически у Алисыесть возможность убедиться в запутанной природе суперпозиции(2.34)путем измерений.
С этой целью она должна будет сначала произвестимножество измерений фотона в каноническом базисе и соотнести полученные результаты с показаниями детекторов1Может показаться, чторазд.2.1.3),(2.33)-что позволит ей опре-эквивалентно квантовому клонированию (подпотому что для каждого элемента базиса системы прибор эволюционирует в соответствующий элемент базиса своего гильбертова пространства. На самомделе это не так . Настоящая операция клонирования клонировала бы также и состояния суперпозиции, т.
е. переводила бы правую сторону уравнения(I:,ljl,lv,))®(I:,ljl,IW:)).(2.33)в видПреобразование (2.33) этого не делает и, следовательно, непротиворечит теореме о запрете клонирования.2Для удобства будем предполагать, что фотон не уничтожается в ходе обнаружения,и не будем учитывать тот факт, что горизонтальные и вертикальные фотоны следуютпо разным пространственным траекториям.119ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАделить абсолютные значения а и р для двух слагаемых в(2.34).Крометого, Алиса должна получить статистику измерений как для фотона, таки для детекторов в диагональном базисе [для детекторов это {(!лавинав детекторе 1 ) ± 1лавина в детекторе 2)) / J2 }] и определить фазовоесоотношение между членами суперпозиции (см. упр.
2.11). Конечно,в настоящее время такие измерения выходят далеко за пределы нашихтехнических возможностей, но теоретически они вполне допустимы.Но что, если Алиса ничего подобного не делает и слышит щелчокодного из детекторов в состоянии(2.34)? Поскольку сама она -тоже квантовый объект, мы можем продолжить нашу линию рассуждений и сказать,что Алиса становится частью все той же запутанной суперпозиции:IЧ1sлol= alH)в детекторе® !лавина в детекторе 1) ® !Алиса слышит щелчок1 )+PI V)®щелчок в детекторе!лавина в детекторе2) ®!Алиса слышит2).Этот момент отмечает принципиальную перемену для Алисыкак наблюдателя.
Какими бы интеллектуальными и техническимиресурсами Алиса ни обладала, она не может спроецировать себяна диагональный базис даже в принципе. В результате у Алисы нетвозможности узнать, что она находится в состоянии суперпозиции.Для нее всякий раз, когда фотон горизонтален, слышится щелчокв детекторенет1,а когда вертикаленвозможностивыяснить-в детекторе2.экспериментально,У Алисы такжечтосуществуети другая часть суперпозиции, поскольку все, что она может наблюдать (фотон и детектор), согласовано с ее собственным состоянием.Для Алисы картина выглядит так, будто квантовое состояние фотонасхлопнулось и случайным образом возник один из двух возможныхрезультатов.Другой наблюдатель-Боб-находится вне лаборатории Алисыи пока не стал частью суперпозиции; он еще может убедиться в еесуществовании посредством измерения фотона, детектора и Алисыв их диагональных базисах.
Здесь опять же я говорю лишь о теоретической возможности такого измерения, абстрагируясь от его практической реализации (которая невообразимо сложна) 1 •1Эта процедура известна как мысленный эксперимент Юджина Вигнера, которыйпоставил себя на позицию Боба, а своего гипотетического друга120-на позицию Алисы.ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬМы видим, что модель фон Неймана отвечает на вопрос, заданныйв начале этого раздела. Коллапс суперпозиции необязательно долженбыть частью квантовой теории-это субъективное явление, котороекажется наблюдателю, когда он сам становится частью суперпозиции.В реальности или по крайней мере в теоретической реальности, которуюпредставляет квантовая механика, суперпозиция никогда не схлопывается, но продолжает жить, вовлекая в себя все большую часть Вселенной.С этой точки зрения убежденность Эйнштейна в том, что Богне играет в кости, оказывается вполне оправданной.
Эволюция волновой функции Вселенной носит детерминистский характер. Квантоваяслучайность-всего лишь иллюзия, следствие ограниченности нашихнаблюдательных возможностей.Такая интерпретация, конечно, устраняет многие логические нестыковки, отмеченные в начале раздела, но при этом она в высшей степенинеудобна с практической точки зрения. Если наша цель утилитарна-предсказывать при помощи квантовой механики экспериментальныерезультаты, важные для нас как наблюдателей,-то рассуждать об измерениях, возможных только в теории, бессмысленно. Вместо этого намследует принять копенгагенскую интерпретацию, анализируя физический мир в том виде, в каком его видит макроскопический наблюдатель, то есть считать, что состояние коллапсирует, как только уровень егомакроскопичности повышается настолько, что мы уже не можем измерить фазу между двумя членами суперпозиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
