Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 18
Текст из файла (страница 18)
По статистике этих измерений он может восстановитьискомое состояние при помощи квантовой томографии (см. упр.1.15)со сколь угодно высокой точностью.За последнюю четверть века физики исследовали самые разныеварианты эффекта удаленного приготовления состояния. Некоторыеиз экспериментов были организованы так, что лаборатории Алисыи Боба разделялись несколькими километрами, а измерения происходили гарантированно в пределах пространственноподобного интервала, чтобы исключить даже теоретическую возможность для Алисыповлиять на состояние Боба посредством каких бы то ни было известных в природе взаимодействий.
Все эти эксперименты недвусмысленно подтверждают верность квантовых предсказаний.Но как же примирить полученные данные с причинностью? Чтобыответить на данный вопрос, дадим сначала формальное описаниелокального измерения.2.2.2. Частичное скалярное произведениеПредположим, что Алиса и Боб располагают некоторым запутаннымсостоянием и что Алиса проводит локальное измерение своей частиэтого состояния в некотором базисе.
Каковы вероятности возможныхрезультатов и какое состояние будет удаленно подготовлено в локации Боба в случае каждого результата? Прежде чем ответить на этотвопрос в общем случае, рассмотрим пример. Пусть общее состояние1'11) = !(1 НН)-21нv)+2IW) ),3(2.12)и предположим, что Алиса проводит измерение в диагональном базисе.95ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение2.28.Перепишите состояние(2.12),выразив векторысостояния, соответствующие фотону Алисы, в диагональном базисе.Ответ:(2.13)где1ь+)= 1н), 1ь_) = ~ (lн)-4lv))v17суть нормированные векторы в гильбертовом пространстве Боба.Поскольку векторы1+) ® lb)и1+)1-)иортогональны, ортогональны такжеIЪJ всоответствиисуравнением(2.4).Эгоозначает,1-) ®что мы можем построить вVA ® V 8ортонормальный базис, содержащийупомянутые состояния в качестве элементов.
Если мы измерим IЧ')в этом базисе, т~ ;олучим 1+) ® 1Ь) с вероятностьюс вероятностью- . Но18118 и 1-) ® 1Ь _)это, в свою очередь, означает, что если толькоАлиса будет проводить измерение на своем фотоне, то она увидит состо-яние 1+) с вероятностью__!__18если Алиса наблюдает у себяи 1-) с вероятностью117 . Действительно,18+), то состояние фотона Боба с определен-1ностью становится Ь), а если Алиса наблюдает1-), оно становится 1Ь _).Мы видим, что для ответа на вопрос, поставленный в начале этогоподраздела, достаточно переписать начальное запутанное состояниев виде линейной комбинации таких тензорных произведений, в каждом из которых компонент Алисы представляет собой элемент ее измерительного базиса. Проведем то же рассуждение в более общем виде.Предположим, начальное состояние1гдеЧ') =L.
Ч'{ 1и)} -ij1U;) ®1Wj) ,(2.14)ортонормальный базис, в котором Алиса будет проводитьсвое измерение, а{lw.)}1некоторый ортонормальный базис в гиль-бертовом пространстве Боба. Перепишем это в виде:(2.15)где 1 Ь;) = N;L Ч'jij1w j) есть вектор в гильбертовом пространстве Боба иГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬ(2.16)есть нормирующий множитель, такой что(в сумме (2.15) мы опускаем слагаемые с11 lb)ll = 1 для любого iL jЧ1 ij w j) = О , так что все N;1конечны).Таким образом, мы выразили состояние, которое предстоит измерить, в виде суммы ортогональных компонентовтуды этих компонентов равны1 / N;,lv) ®IЬ). Амплитак что вероятность, с которойАлиса увидит соответствующий 1v.),равна1prA .
= 1 / N.2 •,!1Всякий раз,когда это происходит, система Боба принимает соответствующеесостояние IЬ).Упражнениечтов(2.15)2.29.Для физического состоянияl'P)покажите,L;(1/Nn=1.Упражнение2.30. Дляа) найдите множительсостоянияN такой,l'P) = N(IRV) + IH+) ):при котором 1Ч1) нормировано;Ь) представьте это состояние в виде(2.15),где{lv)} -канонический базис;с) найдите вероятности возможных результатов при проведенииАлисой локального измерения в каноническом базисе и напишите удаленно приготовленное состояние фотона Боба для каждого из результатов Алисы.Мы разработали метод предсказания результатов локальныхизмерений на запутанном состоянии. Этот метод функционален,но несколько неуклюж, так что мы сейчас введем понятие, котороепозволит нам существенно упростить процедуру.Частичное скалярное произведение(partial inner / scalar product)локального состояния 1а) в гильбертовом пространственого состояния 1 Ч1) =VA ® V 8(гдеL ii Ч1 и 1V;)1 w j)VА и двусоставв гильбертовом пространстве{lv;)} и {lw)}- ортонормальные базисы в VA и V 8 соответственно) есть состояние в гильбертовом пространствеV8,заданное(а1Ч1) =L Ч1ij (alv; )lwj);(2.17а)(Ч11а) = ~ чiij· (v; la)(wj(2.17Ь)ij1 ·97ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОпределение для частичного скалярного произведенияи локального состояния в пространствеV8IЧТ)дается аналогично.УпражнениеЧJ) А' гдеIV) ),2.31.
Для IЧJ) = 2 IH) + i IV) найдите 8 (ЧJ 1 fl) и (П 1lfl) = 2 IHH) + 3 IНV) + 4 IVH), IП) = (2 IH) + i IV)) ® (i IH) -а индексы А и В на состоянии IЧJ) указывают, что оно локализовано в пространстве Алисы или Боба соответственно.Упражнениенияlab)(а'Е Vл1аЬ)2.32. Покажите, что для любого® V 8 и любого состояния la') Е Vл=(а'Упражнениеразделимого состоя1а) lb).2.33.(2.18)Предположим, что IЧТ)стве тензорных произведений, а 1а) и 1Ь)--состояние в пространсостояния в пространствахАлисы и Боба соответственно. Покажите, что(а 1((Ь1 ЧТ))=(Ь 1((а1 ЧТ))=(аЬ1ЧТ).(2.19)Упражнение2.34.
Покажите, что для любых двух ортонормальныхбазисов {lv)} ® {lw)} и {lv')} ® {lw)} в Vл ® V 8 локального состояния 1а) Е Vл и двусоставного состоянияjЧ1)= L,чiiilvi)®lwj)=L,чi'ulv;)®lw;)ij..(2.20)частичное скалярное произведение (а 1 Ч1) не зависит от выборабазиса, т.
е.L, Ч1и (alv;)lwj) = L, Ч1~ (alv;)lw;).ij(2.21)ijУпражнение2.35. Покажите,а) lb) = N; (v; 1 ЧТ);что в уравнении(2.15):Ь) 11(v;1ЧТ)11=1/N;.Последнее упражнение предлагает прямолинейный способ вычислитьразложение(2.15)для заданного состояния и базиса измерения Алисыи, следовательно, вычислить также результаты локальных измерений.И в самом деле, частичное скалярное произведение дает не только состояние1bi), которое будет приготовлено удаленно в локации Боба, но и веро1/Nl 2 на стороне Алисы.ятность каждого результата рrл ,l. =98ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬМы можем рассматривать этот результат как обобщение постулатаквантовой физики об измерениях на локальные измерения.
Резюмируем его. Локальное измерение Алисы на двусоставном состоянии 1ЧJ)в базисе {lv,.)} вызовет коллапс IЧ1) на одно из случайно выбранныхсостояний ~ 1 и,.> ® (и i 1Ч1) с вероятностью(2.22)Это можно переформулировать на языке проекционных операторов (разд.измерение Алисы превращает состояние IЧ1) в множе1.8):1\ = 1V;) (vi 1, а квадратство ненормированных состояний {1\ 1Ч1)} , гденормы каждого состояния в этом множестве есть вероятность соответствующего результата.После локального измерения запутанное двусоставное состояниеколлапсирует в разделимое состояние.
Если Алиса разрушит в процессе измерения свою систему, то результирующее состояние~ (и; 1 ЧJ)будет локализовано у Боба.Упражнение2.36. Выполните упр. 2.30 с)с использованием частичных скалярных произведений.Упражнение2.37.Для каждого белловского состояния покажите,что локальное измерение Алисы в любом ортонормальном базисевыдаст тот или иной результат с вероятностьюУпражнение2.38§.1/2.Предположим, Алиса измеряетIЧ1-)= ~(lнv)-lvн))в базисе круговой поляризации. На какое состояние проецируетсяфотон Боба для каждого из результатов Алисы?Упражнение2.39.Предположим, что Алиса и Боб располагаютсостоянием IЧJ-).
Алиса хочет удаленно приготовить в локации Бобанекоторую линейную суперпозициювольны, ноlal2+1Pl2=1alH)+PIV),где а и Р произ(т. е. результирующее состояние нормировано). В каком базисе ей следует измерять? Какова вероятностьуспеха?99ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА2.2.3.Локальные измерения и причинностьВернемся теперь к нашему недавнему обсуждению того, противоречит ли эффект удаленного приготовления принципу причинности.Тот факт, что измерение Алисы влияет на состояние фотона Боба, сампо себе не содержит такого противоречия, ибо квантовое состояние-понятие вполне абстрактное.
Вопрос, которым нам следует задаться,звучит так: изменятся ли физические свойства фотона Бобаповедение при измерениях--т. е. егопосле измерения Алисы?Налицо искушение дать положительный ответ. И в самом деле,до измерения состояние Боба было частью полностью изотропногодвусоставного состояния; после измерения это уже состояние с определенным углом поляризации-т.
е. с кардинально другими физическими свойствами.Однако при таком ответе упускается один важный момент. Локальное измерение Алисы не всегда приготавливает одно и то же состояние в локации Боба: иногда это1е ), а иногда 1л/2 +е). Чтобы узнать,какое именно возникло состояние, Бобу нужно принять от Алисыклассическое сообщение о результате, полученном ею при измерении.До этого момента Боб знает лишь, что у него имеется одно из двухвозможных состояний-и благодаря этой неопределенности измеряемые свойства фотона Боба остаются полностью идентичными тем,что были до измерения. Прежде чем доказать это утверждение строго,рассмотрим пример.Упражнение2.40.В условиях упр.2.27 Боб измеряет поляризациюсвоего фотона в каноническом базисе после измерения Алисы. Каковавероятность каждого результата при условии, что Боб не знает результата измерения Алисы?Ответ: рrБоб,н = рrБоб,v =1/2 независимо от базиса,который использовала Алиса.Упражнение2.41.Алиса и Боб выполняют измерения на своих1частях двусоставного состояния чr) в базисах{ 1v)}и{ 1w)}соответственно.
Эти измерения могут проходить по трем альтернативнымсценариям:1.Алиса и Боб выполняют свои измерения одновременно, так1что к проективному измерению состояния чr) в базисе {применим оригинальный постулат об измерениях.1001v) ® 1w)}ГЛАВА2.2.ЗАПУТАННОСТЬАлиса выполняет свое измерение первой, а затем Боб измеряетудаленно приготовленное состояние.3.Боб выполняет свое измерение первым, а затем Алиса измеряетудаленно приготовленное состояние.Покажите, что вероятность ситуации, в которой Алиса обнаружитprii =а Боб- lw.),)1(uiwj1'11)12.lu.),1Упражнение2.42.одинакова для каждого из этих сценариев:Проверьте утверждение из предыдущего упражнения на примере состояния1'11)из упр.2.30 иизмерений, проведенных обеими сторонами в канонических базисах:а) Найдите вероятностиpr нн• prнV' pr vниpr wдля случая, когдаАлиса и Боб производят свои измерения одновременно.Ь) Считая, что Алиса производит свое измерение первой, найдитевероятности и удаленно приготовленные состояния фотона Бобадля каждого из ее результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
