Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Утверждения о том, что у Аписы и Боба «имеется» фотон, относятся, как правило, к моменту времени непосредственно перед измерением.2Три эквивалентные части соотношения(2.1)представляют собой альтернативныеварианты записи для состояний, представляющих собой тензорные произведения; мыбудем считать эти варианты взаимозаменяемыми и использовать попеременно.
Обратите внимание: индекс А (Аписа) или В (Боб), отмечающий принадлежность гильбертова пространства, помещается снаружи от кет-скобки. Если эти индексы опущены, тосчитается, что первый компонент тензорного произведения всегда относится к Аписе,а второй-к Бобу.83ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОднако совместное гильбертово пространство содержит не толькотензорные произведения. Так, поскольку оно включает в себя состоянияIHV)и1VH)и является линейным, то должно также содержатьсостояние, к примеру,(1 HV)-1 VH) )/ J2 . Это физическое состояние,поскольку его норма равна единице. Но его уже нельзя интерпретировать как тензорное произведение, т.
е. комбинацию фотона Алисыв одном состоянии и фотона Боба в другом. Это уже нелокальнаясуперпозиция, или запутанное(entangled) состояние. А именно квантовая суперпозиция двух ситуаций: в одной из них у Алисы горизонтальный фотон, а у Боба вертикальный, в другой-наоборот. Если ониизмерят поляризацию своих фотонов в каноническом базисе, то обнаружат ортогональные поляризации.Мы видим, что объединение двух гильбертовых пространств порождает совершенно новый класс состояний, который дает начало новойфизике-физике нелокальных квантовых явлений.
Это основнаятема настоящей главы. Некоторые из таких явлений не только немыслимы с точки зрения классической физики, но и выглядят противоречащими фундаментальному здравому смыслу.Прежде чем мы начнем изучать эту новую физику, нам придетсязаточить карандаши и обновить наш теоретический аппарат, чтобыего можно было применять к таким составным пространствам. Мыбудем все рассуждения проводить для двусоставных (Ьipartite) пространств, но они могут быть расширены прямолинейным образомна системы с тремя и более частями.Пространство тензорных произведений (мы также будем применять термин «составное пространство»)странств Vл и'V 8тов(гдеla) ® lb)VА® Vв гильбертовых проесть гильбертово пространство, состоящее из элеменla)Е Vл иlb)ЕV8 )и их линейных комбинаций. Вотправила, которым подчиняются операции в этом пространстве:1.Умножение на число:Л2.3.Cla> ® lb)) = (Лlа)) ®= la>® (ЛIЬ)).(2.2)Распределительный закон:Cla 1 ) + la 2 )) ® lb)=la 1 ) ® lb) + la 2 ) ® lb);(2.За)la> ® СIЬ 1 > + IЬ 2 ))=la> ® IЬ 1 ) + la) ® IЬ 2 ).(2.ЗЬ)Скалярное произведение двух состоянийвla) ® lb)иla') ® ib')Vл ® Vв задается формулой( abl84IЬ>а'Ь') = (а 1а') ( ЬI Ь').(2.4)ГЛАВАЭлементы Vл® V8,2.ЗАПУТАННОСТЬкоторые могуг быть представлены в виде тензорного произведения 1а) ®1Ь),называют разделимыми, или сепарабельными (separaЬle).
Остальные запутаны.Упражнение 2.1.Длялюбыхдвухвекторовжите, чтоJa)Е Vл иJb)Е V 8 пока[zero)v ®[b)=[a)®[zero)v =[zero)v ®v .АВАВУпражнение 2.2. Если заданы ортонормальные базисы {1 V;)} ;~ и{1 ш j)} ;~ в Vл и V8 соответственно, постройте ортонормальный базисв Vл ® V8 • Какова размерность Vл ® V/Ответ: множество тензорных произведений { 1 v;) ® 1шj)} есть ортонормальный базис. Размерность составного пространства есть произведение NM размерностей его компонентов.Например, гильбертово пространство, представляющее поляризации двух фотонов, четырехмерно. Канонический ортонормальныйбазис в этом пространстве таков:Упражнение2.3.{JHH), JHV), 1VH), 1VV) }.Найдите разложение в каноническом базиседля состояния, в котором Алиса имеет фотон, поляризованныйпод30°,а фотон Боба находится в состоянии правой круговой поляризации. Напишите матричное представление для этого состояния.Разделимое оно или запутанное?Упражнение2.4.Найдите скалярное произведение (ПJil), где:а) JП) =5 JHH) + бi JR - ) и Jil)Ь) IП) =i (2 IH) + i IV>) ® IR)Упражнение2.5§.и=2 l+L) + 3 IRR);Jil)=(2i IH) -ЗiIV)) ® 1+).Образуют ли множестваа){1+ +), 1- +), 1+ -), 1- -)},Ь){IRR), IRL), ILR), JLL)},с){IH-),JH+),JV-),JV+)} ,d) {JH-), JH+), JVR), JVL)},е){JH - ), JHH), JVR), JVL)}базисы в двухфотонном гильбертовом пространстве? Ортонормальны ли эти базисы?85ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтвет: все пять множеств образуют базисы; все они, кроме последнего, ортонормальны.Упражнение2.6.Покажите, что белловские состоянияIЧ1+)= ~(IHV)+IVH))(2.Sa)IЧ1-)= ~(IHV)-IVH))(2.Sb)IФ+)= ~(lнн)+lw))(2.Sc)1Ф-)= ~(IHH)-lw))(2.Sd)запутаны.Упражнение2.
7.Покажите, что эти четыре белловских состоянияобразуют ортонормальный базис.Упражнение2.8.Перепишите белловские состояния(2.5)в диагональном базисе.Упражнениепод углом8к2.9.Пусть1е) -состояние линейной поляризациигоризонтали. Покажите, что для любого8состояние11Ч1-) = J2 (1 нv)-1 vн)) может быть выражено в виде:IЧ1-) = ~ (le)®l~+e )-l~+e)®le)).(2.б)Это означает, что состояние 1чт-) изотропно, т. е.
остается неизменным вне зависимости от того, какое направление мы определимкак горизонтальное (при условии что оно перпендикулярно направлению движения фотонов, разумеется). Этим свойством из всех белловских состояний обладает только 1чт-).2.1.2.Измерения в составных пространствахПостулат о квантовых измерениях применим к тензорным произведениям гильбертовых пространств в обычном режиме. Базис измерения может состоять как из разделимых, так и из запутанных состо-86ГЛАВАОтступление2.1.2.ЗАПУТАННОСТЬКак создать запутанное состояние?Рассмотрим параметрическое рассеяние(отступлениеФотон1на последовательности1.6)двух нелинейных кристаллов, как показано на рисунке*. Кристаллы построенытаким образом, что первый из них выдаетпарытолькогоризонтальнованных фотоновIH ) 18> IH>.поляризоа второй-только пары вертикально поляризованных1 V) 18> 1 V).
Вероятность появления парымала в обоих кристаллах. Тогда любаяФотон 2пара, если она есть, может находиться либов состоянии 1НН), либо в состоянии1VV).Поскольку расстояние между кристалламипостоянно, постоянна и оптическая фаза между этими двумя парами. Так что состояние двух фотонов, выданных кристаллами, естьIHH) + e'-jVV).Выбирая величину qJ, можно получить любое из белловских состояний IФ')или 1ф - ) . Чтобы превратить эти состояния в 1'Р") или l Ч'- ),достаточно поместитьв один из выходных каналов полуволновую пластинку.• В первый раз эта схема была предложена и реализована в: Р.
G. Kwiat, Е. Waks, А. G. White, \.Appelbaum, and Р. Н. Eberhard, Ultrabright source of polarization-entang/ed photons, PhysicalReview А 60, R773 (R) (1999).яний. Если базис построен в виде тензорного произведения базисоввVАиV8 ,как в упр.2.2, то Алисе иБобу нужно просто провести измерения в этих базисах в своих гильбертовых пространствах (рис.Упражнение1ч~- ) =а)..12.10. Для двух фотонов,2.1).приготовленных в состоянии(1 HV)-1 VH)) , найдите вероятность обнаружить состояние:IR) ® 1-30°);Ь) .!_3CIHV) + 2 IVH) + 2 IVV)).Считаем, что измерение выполняется в некотором ортонормальномбазисе, в который входит интересующее нас состояние.Упражнение2.11. Алиса иБоб имеют общее состояниеIЧ1)= .,1(1нv)+e-iq>1vн)) .87ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа) Найдите вероятности всех результатов, если Алиса и Боб измерят 1Ч1) в(1) каноническом и (2) диагональном { 1+ +), 1+ - ) ,1- + ), 1- -) }базисах.Ь) Алиса и Боб имеют общую единственную копию одного из белловских состояний, IЧJ-) или IЧJ+), но не знают, какого именно.Могут ли они выяснить это при помощи измерений в каноническом базисе? А в диагональном?АлисаБобИсточник запутанностиРис.2.1.Измерение поляризованной запутанной фотонной пары в базисе,состоящем из тензорных произведений.
Устройства и у Алисы, и у Боба включают в себя волновые пластинки (одну или две) , поляризующий светоделительи два детектора единичных фотонов.Важный вывод, который мы можем сделать из этого упражнения,состоит в том, что, хотя запутанные состояния могут возникать толькопри взаимодействии двух физических систем, их измерение (например, с целью отличить одно от другого) не требует не только взаимодействия, но даже проекции на запутанные состояния.
Более того,можно провести полную квантовую томографию квантового состояния в составном гильбертовом пространстве при помощи измеренийв базисах, содержащих только разделимые состояния. Мы покажемэто строго в конце основного текста (упр.5.78).Упражнение2.12*. Предложите процедуру выполнения измеренияв базисе {IH- ), IH+ ), 1VR), 1VL) }.Подсказка: считайте, что Алиса и Боб связаны классическим каналом связи.88ГЛАВА2.1.3.2.ЗАПУТАННОСТЬТензорное произведение операторовРасширим понятие тензорного произведения на операторы. Это расширениеотносительнопрямолинейно:воператоре А ®® В компонент А действует на гильбертово пространство Алисы,а компонент В - на гильбертово пространство Боба.
Приведем формальное определение и выполним несколько упражнений.Тензорное произведение оператора.А, который действует на Vл, и оператора В , который действует на V8 , определяется как линейный оператор А® В на Vл ® V 8 , такой, что для любого вектора IЧТ) = L)\ la) ® lb)(А® в)l 'Р) = LAj (Ala ;) )®( в1ь;)).(2.7)1Упражнение2.13. Выразите матрицу тензорного произведения оператора С=А®В вбазисе{ju.)® jш.)}черезматрицыоператоров.Аи1)В в соответствующих базисах { 1 и;)} и { 1wj)}.лОтвет: для каждого элемента матрицы 1(2.8)Упражнение2.14.Найдите математическое ожидание и неопределенность оператора cr х ® crУ в состоянии 'Р -) = ~ (1 HV)-1 VH)) .1Упражнение2.15§. Предположим, что lv) и lw) - собственныесостояния операторов А и В с собственными значениями и и ш соответственно.
Покажите, что состояние 1и) ® 1w) является собственнымсостоянием оператора.А® В с собственным значением vw.~пражнение 2.16. Покажите, что для операторов .Al' .А. 2 в Vл и В1 ,В 2 вV 81Как правило, мы будем использовать интуитивно понятные двухиндексные обозначения для матриц состояний и операторов в составных гильбертовых пространствах.То есть каждый элемент 1и) ® 1ш) базиса тензорного произведения идентифицируется парой индексов(i,J),как в(2.8).Это означает, в частности, что матрица оператораимеет четыре, а не два, индекса.89ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение2.17§.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
