Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 12
Текст из файла (страница 12)
....Частотаотфильтрованных~///..4:r 10 Критический•••••.уровень Частоть1·...... ;- · - ·102 ~~~~~~~ия фотонов ••••••теМновых сраоаТhiвЭниИ100о200300400Расстояние, кмРис.1.5.Производительность установки квантового распределения ключав зависимости от расстояния между Алисой и Бобом в условиях упр.Упражнение1.21.1.21Полагая, что у Алисы есть идеальный источникединичных фотонов, постройте примерный график количества фотонов, получаемых Бобом, а также количества отфильтрованных битовсекретного ключа в секунду в зависимости от расстояния передачи.На основании этого оцените максимальное возможное расстояние безопасной связи при следующих параметрах:••потери фотонов в оптоволоконной линии: ~ =0,05 км- 1 ;частота эмиссии фотонов источником Алисы: n0 = 2 х 10 7 и 2 х 10 10фотонов в секунду;••квантовая эффективность фотонных детекторов:fJ= 0,1;частота темновых срабатываний, синхронизированных с фотонами Алисы1, в каждом из детекторов Боба:fdОтвет: см.
рис.= 10 с- 1 •1.5.Дальность защищенной квантовой связи можно улучшить, повысивпроизводительность источника фотонов на стороне Алисы или сни-1На самом деле частота темновых срабатываний может быть выше. Но, посколькуБоб знает точные моменты передачи фотонов Алисой, на частоту ошибки будут влиятьтолько те темновые события, которые произойдут синхронно с щелчками, ожидаемыми от фотонов Алисы.58ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫзив частоту темновых срабатываний детектора.
Однако это не приведет к принципиальному улучшению ситуации: экспоненциальнаяприрода закона Бугера-Ламберта-Бера в любом случае ограничивает квантовую связь расстояниями, не превышающими несколькосотен километров. В условиях упр.1.21 повышение производительности источника на три порядка позволит увеличить дистанцию всегов1,7 раза (рис.
1.5).Чтобы преодолеть этот предел-и создать «квантовый интернет»,который пересек бы океаны и со временем покрыл бы своей сетьювсю планету,-нам потребуется принципиально иная технология.Про эту технологию, известную как квантовый повторитель, речь пойдет в конце главы1. 7.2.Операторы в квантовой механикеТеперь мы переходим к обсуждению линейных операторов, представляющих собой ключевой элемент квантовой физики 1 • Они играют двоякую роль. Прежде всего операторы описывают эволюцию: с течениемвремени квантовые состояния изменяются, и это изменение математически выражается операторами.
Второе, несколько менее очевидное,приложение линейных операторов состоит в формальном описанииквантовых измерений. В этом разделе мы начнем с первой их роли.Упражнение1.22.Найдите матрицу оператора1+) ( -1в каноническом базисе и базисе{IR), IL)}.УпражнениеНайдите в каноническом базисе матрицу линей1.23.ного оператора А, отображающегоа)Ь)IH) на IR) и 1V)на2IH);1+) на IR) и 1-) на IH).Примером физической операции, которую можно связать с квантовым оператором, может служить волновая пластинка, изменяющая состояние поляризации фотона. Чтобы рассчитать этот оператор,мы должны принять некоторое соглашение. Как сказано в разд.
В.3,1Более полное введение в линейные операторы и матрицы можно найти в разд. А.5иА.6.59ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАволновая пластинка изменяет относительную фазу необыкновенной(параллельной оптической оси) и обыкновенной (перпендикулярнойоптической оси) поляризаций на угол Лq>, который равен :л для полуволновой пластинки и :л/2 для четвертьволновой. Кроме того, она вводит общий сдвиг фазы для всей волны.Эти оптические фазовые сдвиги в применении к единичному фотонупревращаются в квантовые фазовые сдвиги.
Общим фазовым сдвигом,одинаковым для всех компонентов поляризации, можно пренебречь(см. разд.1.3). Мы, однако, должны договориться, как с ним обращатьсяв наших выкладках. Будем считать, что волновая пластинка не дает фазового сдвига на обыкновенный компонент поляризации, тогда как необыкновенный ее компонент претерпевает фазовый сдвиг Лq>. Инымисловами, волновая пластинка с оптической осью, ориентированнойпод углом е к горизонтали, производит следующие преобразования:(1.4а)(1.4Ь)Упражнение1.24. Найдите в каноническом базисе матрицы операторов, связанных с полуволновой и четвертьволновой пластинкамис оптической осью, ориентированной под углом а к горизонтали,при помощи следующего пошагового алгоритма:а) Напишите оператор .Ал<Р' связанный с преобразованием (1.4),в виде уравнения (А.25).Ь) Выразите каждый бра- и кет-вектор в ответе пункта а) в матричной форме в каноническом базисе и вычислите матрицу результирующего оператора.с) Подставьте значения Лq> для полуволновой и четвертьволновойпластинок.Оrвет:лАА(нWР)а=(-cos2a -sin2a);-sin2a cos2a(a)=(sin 2 a+icos 2 a (i-l)sinacosa)·QWP(i- l)sin а cos а i sin 2 а+ cos 2 аУпражнение1.25.(1.Sb)Пользуясь результатом предыдущего упражнения, убедитесь в верности следующих утверждений:60(1.5а)ГЛАВАОтступление1.6.1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫКак получить фотон?Вот самый очевидный, но неверный ответ на этот вопрос: использовать ослабленныйсигнал лазера.
Предположим, у нас есть импульсный лазер со средней мощностью Ри частотой повторения импульсовR.Тогда каждый импульс лазера содержит= Р/ Rhroфотонов, где w - частота излучения лазера. Поэтому можно, казалось бы,разместить на пути лазерного луча ослабитель (темное стекло), который уменьшал быего мощность в п раз, так чтобы каждый импульс содержал ровно один фотон .пОслабительв .... 1-vvv--,ЗL~0.t;;0.2~01"'012345Число фотоновЭти рассуждения ошибочны, поскольку не учитывают, что реальное число фотонов в импульсах, проходящих через ослабитель, будет стохастическим в соответствии с распределением Пуассона (см. разд.
Б.З). Хотя в среднем, возможно, действительно получится один фотон на импульс, это не означает, что каждый импульсбудет содержать ровно один фотон. Иногда фотонов в импульсе вообще не окажется,иногда там будет один фотон, иногда два или больше.Несмотря на это возражение, в некоторых случаях ослабленный лазер служитполезной заменой настоящего источника фотонов. В частности, в практическойквантовой криптографии лазер ослабляется до чрезвычайно низкого уровня, такчтобы вероятность того, что каждый импульс содержит хотя бы один фотон, сталавесьма малой .
Тогда вероятность содержания в импульсе более одного фотона пренебрежимо мала, и безопасность связи не страдает.АтомЧтобы гарантировать генерацию единичного фотона «по требованию», нужныболее хитроумные схемы. Например, единичный двухуровневый атом, будучи возбужденным, автоматически вернется в основное состояние, излучив при этом ровноодин фотон. Практическая реализация такого источника, однако, представляетсерьезные трудности.
Во-первых, необходимо поймать единичный атом и неподвижно удерживать его в ходе всего эксперимента. Во-вторых, фотон будет излучен в случайном направлении. Чтобы заставить атом излучать в каком-то конкретном направлении, физики иногда окружают его резонатором Фабри-Перо. Этотметод развился в целое научное направление, называемое квантовой электродинамикой в резонаторе.Чтобы обойти необходимость в захвате атома, эксперименты проводят с твердотельными атомоподобными источниками, такими как единичные дефектьr кристаллической решетки или квантовые точки. Идея та же: взять объект, в которомвозможен только один квант возбуждения с определенной энергией. Пока я пишуэту книгу, подобные эксперименты стремительно развиваются в сторону большейэффективности и лучшей воспроизводимости получаемых фотонов.61ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОбъявляющий детектор",,,,~~...
о~ _,.., Сигнальный"'~фотонМногие физики используюr мощный альтернативный подход к приrоrовлению единичных фотонов- спонтанное параметрическое рассеяние (spontaneous parametricdown-conversion). Это нелинейный квантово-оптический процесс, который происходит,когда сильный лазерный луч проходит сквозь кристалл с нелинейными оIПИческимисвойствами. Каждый фотон луча может при этом спонтанно расщепиться на два менееэнергичных фотона. Данное собьrrие имеет очень низкую вероятность. Однако у негоесrь фундаментальное свойство: в нем каждый раз рождается именно пара фотонов. Такчто если мы зарегистрируем один из этих фотонов, то будем знать наверняка, что появилась также и его копия,- и можем с ней экспериментировать.Такое устройство называется источником объявленных одиночных фотонов(heralded siпgle photon source), потому что обнаружение одного фотона «объявляет»о присутствии второго.
Этот источник не способен производить фотоны «по требованию»; он только сигнализирует о появлении спонтанно испущенного фотона, не разрушая его. Поэтому его применение в квантовых технологиях ограничено. Однако,поскольку у нас пока нет надежного способа приготовления единичных фотоновпо заказу, источники объявленных фотонов широко используются в экспериментальных квантово-оптических исследованиях.а) при применении к фотону, линейно поляризованному под углом 8,полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированнойпод углом а, дает фотон, линейно поляризованный под углом2а- 0,в соответствии с рис.
В.4;Ь) четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально, превращает фотон с круговой поляризацией в фотон с поляризацией под±45° инаоборотв соответствии с упр. В.9.Упражнение1.26.Операторы Паули 1 определяются как0-х =IH)(vl+lv)(HI;(1.ба)&у= -ilH)(VI+ ilV)(HI;(1 .бЬ)О-, =IH)(нl-IV)(vl,(1.бс)Значение индексов х, у иние момента импульса.62z прояснится в главе 4,когда мы будем изучать квантоваГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫили в матричной записи1лл (о -i) ·cr=1) ·cr=' ,-л (оcr=х- 1у-о'i(1.7)(ооПредложите реализацию этих операторов средствами волновыхпластинок.Подсказка: найдите состояния, на которые операторы Паули отображаютIH)иIV),затем используйтеупр.1.24.Упражнение 1.27.
Матрица оператора Адамара Й в каноническомбазисе равна:1 (1J21)1 -1 .а) Выразите этот оператор в нотации Дирака.Ь) На какие состояния Й отображает 1Н) и 1 V)?с) Как можно реализовать этот оператор с помощью волновых пластинок?1.8.Проекционные операторы и ненормированныесостоянияРанее мы постулировали, что физические квантовые состояния имеютнорму1.Давайте теперь расширим это соглашение. Норма векторасостояния la) может быть меньше единицы; это означает, что состояниеla) существует не точно, а с вероятностью, равной квадрату его нормы:РГ 0= 11 la) 11 2 = (ala).(1.8)Такие состояния называют ненормированными.Рассмотрим проективное измерение состояния IЧJ) в базисе{lv)}.Каноническая формулировка постулата об измерениях гласит,что измерение превращает IЧJ) в одно изпользовавшисьрасширеннымlv)с вероятностьюсоглашением,мы(1.3).можемВоссказать,что это измерение превращает IЧJ) в набор ненормированных состояний l'l';)=(v,l'l')lиi).
Каждое1'1';)пропорционально lи,.), но вероятность его существования равна квадрату его нормы:2 (1.3)('1'; 1'1'') = I\ иi 1'1' )1 = РГ; ·(1.9)63ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЭто можно записать иначе:1'1';) = fI i 1'1') =(ui 1'1')1 ui) 'гдеилимыввели(1.10)проекционныйоператор(projection operatorprojector):(1.11)Например,неразрушающее1'1') =(21Н)+1 V) )/ .JSизмерениесостоянияв каноническом базисе дает следующие ненормированные состояния:1'1'~) =fiн 1'1')=1 H)(HI '1') =21 н)/ .JS;'"'~) = fiv 1'1')=1 v)(VI '1') =IV)/ .JS.Состояние 1 '1'~) представляет горизонтально поляризованныйфотон, существующий с вероятностью pr н = 4 / 5, а состояние '1'~) 1вертикально поляризованный фотон, существующий с вероятностьюprv = 1/5.Интерпретировать измерения на языке проекционных операторовчасто оказывается удобным, как мы увидим позже.Упражнение1.28.Найдите матрицу проекционного оператора, связанного с базисным состояниемпространства размерности1.9.lv2 )в базисе{iv)}для гильбертоваN = 4.Квантовые наблюдаемые1.9.1.Наблюдаемые операторыПостулат квантовой физики об измерениях, определенный намив разд.1.4,гласит, что квантовое измерение выполняется в ортонормальном базисе, а результат этого измерения есть случайный элементэтого базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
