Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 14
Текст из файла (страница 14)
А.9.2Этонеозначает,однако,чтолюбоесобственноемого А даст определенный результат при измерениирожденныесобственныевеличины,егосостояниенаблюдаеВ. Если у А есть высобственныйбазиснеявляетсяединственным (см. разд. А.8), так что не каждый собственный вектор оператора А гарантированно является также собственным вектором В. К примеру, если А= i , а В= cr 2 ,состояние 1+) является собственным состоянием А, но не В, так что наблюдаемоеВ при измерении в этом состоянии будет проявлять неопределенность, несмотряна то что [ А,в]=о.3Даже если А и В не коммутируют, это не означает, что измерение наблюдаемого Вв собственном состоянии наблюдаемого А всегда дает случайный результат.ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение1.37.
Покажите, что для любых эрмитовых операторовЛив({Л,в})=2Rе\АВ);(1.17)([А, в ]J = 2i Im ( АВ) ;(1.18)1([ л,вJ/12 ~41\Лв)12,(1.19)где квантовое среднее вычисляется в произвольном состоянииli.v).Упражнение 1.38. Покажите, что для любых двух эрмитовых операторов А, В и любого состояния li.v)(1.20)Подсказка: введите la)=Al'Jf) и IЬ) = Bl'JI) и примените неравенство- Буняковского.КошиУпражнение1.39. Докажите принцип неопределенности Гейзенберга (Heisenberg uncertainty principle): для эрмитовыхА, В и любогосостоянияli.v)(1.21)считая для простоты, что (А)= (В)= О.Упражнение(1.22).1.40.(1.22)Повторите доказательство без предположенияОстался бы принцип неопределенности(1.21)в силе, если быправая часть уравнения равнялась ±1({А, В} /1 или 1\ АВ )122?Упражнение 1.41.
Покажите, что если [ A,B]=E·l, то правая частьнеравенства неопределенностей не зависит отli.v):(1.23)Упражнение 1.42. Для А=&х и В=&У:а) найдите <i.vlAli.v), <i.vlM 2 li.v), <i.vl В li.v), <i.vl лfз 2 li.v> и <i.vl [А, В] li.v>для70li.v> =IH);ГЛАВАКВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ1.Ь) убедитесь, что принцип неопределенности действует для А , Ви IЧJ) = IH);с) приведите пример состояния IЧJ), для которого произведениенеопределенностей наблюдаемых А и В равно нулю.Принцип неопределенности Гейзенберга-одно из важнейших следствий квантовой физики и одно из главных ее отличийот физики классической.
В те времена, когда квантовая механикатолько зарождалась, этот принцип был одной из самых противоречивых идей. Как и постулат об измерениях, принцип неопределенности прямо противоречил детерминистской картине мира, принятой тогда в классической физике. Согласно этой картине, любаянеопределенность, полученная в ходе измерений, являлась следствием несовершенства измерительной техники, и путем усовершенствования этой техники ее можно было снижать до бесконечности.В рамках квантовой механики это не так: если создать устройство,способное точно измерить одно наблюдаемое в каком-то конкретномсостоянии системы, то эта установка, какой бы замечательной онани была, обязательно покажет плохой результат при измерении другого наблюдаемого.Особенно интересен случай из упр.1.41.Если коммутатор двухнаблюдаемых пропорционален единичному оператору, то произведение их неопределенностей имеет нижнюю границу для всех состояний.
Пример такой парыизучать в главе3.-координата и импульс, которые мы будемИх коммутатор равенili, из чего следует, что произведение н~еделенностей для любого состояния не может бытьменьше1.1 О..J li2/4 = li/2 .Квантовая эволюцияНаша цель в этом разделе-выяснить, как меняются (эволюционируют) квантовые состояния со временем: при заданном начальномсостоянии IЧ' (О)) физической системы нам нужно определить ее состояние IЧJ(t))в произвольный момент времени. В классической физикеполный набор уравнений движения можно получить из гамильтониана (полной энергии) системы. В гамильтониане заключена всяинформация о зависящем от времени поведении системы, для любого71ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАее начального состояния.
Как мы увидим, это верно и для квантовойфизики.Правила квантовой эволюции невозможно вывести из тех постулатов, которые мы изучали до сих пор. Поэтому применим здесьту же тактику, которую использовали при выработке постулатаоб измерениях. Сначала проведем интуитивные физические рассуждения об эволюции конкретной физической системы-фотона.Затем обобщим их на остальные системы и придадим им строгийвид.Посмотрим еще раз на уравнение(1.2).
Эволюция состояния фотоназдесь заключена в общем фазовом множителе e-iwr:(1.24)До сих пор мы не обращали на него внимания, потому что,согласно нашим рассуждениям, он никак не влияет на физическиесвойства состояния. Но теперь давайте рассмотрим этот множительподробнее.Вспомнив, что энергия фотона равна Е(1.24)= tzw , мыможем записатьв виде(1.25)где индекс Е напоминает нам, что мы имеем дело с состоянием определенной энергии (в данном случае с фотоном определенной частоты).Следующий наш шаг заключается в привлечении гипотезы деБройля; согласно ей, не только фотоны, но и все свободно движущиесячастицы мoryr быть связаны с волнами, пространственно-временноеповедение которых описывается множителемВ главеeikr'e-*E1 ,3 мы обсудим данную гипотезу несколько глубже;где k= p/tz.пока же заметим лишь, что зависимость от времени у волны де Бройля такая же,как в уравнении(1.25). Это приводит нас к выводу о том, что (1.25) справедливо не только для фотонов, но и для всех свободно движущихсяквантовых частиц.
Мы постулируем, что такое поведение даже болееуниверсально, т. е. что оно верно для всех нерелятивистских квантовыхобъектов во Вселенной, при условии что они находятся в состояниис определенной энергией-т. е. в одном из собственных состояний оператора энергии (гамильтониана).72ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫПоговорим об этом операторе подробнее. Поскольку он соответствует некоторому физическому наблюдаемому, он эрмитов и потомудопускает спектральное разложение(1.26)где собственные состояния с определенной энергией{IE)}образуют базис, в котором может быть разложено любое произвольноесостояние:(1.27)Каждый компонент данного разложения меняется во времени согласно(1.25).Поскольку эта эволюция линейна, мы можем записать:(1.28)Мы постулируем, что это уравнение универсально и применимо к эволюции всех квантовых состояний.Упражнение1.43.Пусть начальное состояние некоторой системыесть суперпозиция двух энергетических собственных состоянийIЧJ (О))= CIE 1 ) + IE2 ) ) / J2.
Найдите наименьшее положительное значение момента времениски эквивалентным CIE1 )t,-в который состояние lч>(t)) будет физичеIE2 ))/ J2.Мы видим, что в то время как для энергетических собственныхсостояний (например, в случае состояний поляризации фотона определенной частоты) квантовая эволюция соразмеряется с нефизичнымфазовым множителем, другие состояния все же меняют со временемсвои физические свойства.Поскольку энергетические собственные состояния физическине меняются, их называют стационарными.
Еще один пример стационарных состояний-атом в рамках модели Бора. Согласно этоймодели, если электрон находится на «орбитали», соответствующейопределенной величине энергии, то он может оставаться на ней в течение долгого времени.Уравнение(1.28)можно использовать для вычисления эволюцииквантового состояния непосредственно. Однако иногда практичнее73ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАбывает представить эволюцию в более компактном виде оператораэволюции, отображающего любое начальное состояние на его изменившийся вариант:(1.29)Получим оператор эволюции в явном виде.Упражнение1.44.Пользуясь уравнениями(1.27)и(1.28):а) получите матрицу оператора эволюции в собственном базисегамильтониана;Ь) покажите, что'л1iftU(t) =е -"(1.30).Убедитесь, что этот оператор является унитарным.Унитарность оператора эволюции неудивительна.
Данный оператор должен отображать одно физическое состояние на другое физическое состояние, а это означает, что он должен сохранять норму.Упражнение1.45§. Убедитесь, что операторыпреобразования(1.5),задаваемые волновыми пластинками, унитарные.Как мы знаем (упр. А.82), все унитарные операторы обратимы и оператор, обратный унитарному, также является унитарным. У этого естьодно глубокое следствие. Если мы знаем оператор эволюции и состояние, которое является результатом этой эволюции, то мы можем воспроизвести начальное состояние, применив оператор, обратный оператору эволюции, к конечному состоянию.Уравнение(1.30) показывает нам в явном виде, как применять этуинверсию. Замена fI на -Н в (1.30) эквивалентна замене t на -t, т.е.она обращает эволюцию вспять во времени, в конечном итоге приводясистему к ее начальному состоянию. Это явление, известное как обратимость времени(time reversibility)в квантовой механике, имеет множество интересных приложений, например спиновое эхо (подразд.4.7.4).В ходе эволюции замкнутой квантовой системы никогда не теряется никакая информация.
На языке статистической физики это означает, что энтропия физической системы не увеличивается в ходе ееэволюции.174О функциях операторов см. разд. А.11.ГЛАВАУпражнение1.46. Для любого состояния1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫl'V (t))покажите, что(1.31)Уравнение(1.31) называется уравнением Шрёдuнгера. Этоеще один способ описать закон эволюции квантовой системы, причемисторически этот способ был первым.Наша следующая задача-попрактиковаться в нахождениивременной эволюции квантовых состояний. Физическая система,которую мы использовали до сих пор,-поляризация фотона-не слишком подходит для этой цели, поскольку энергия фотонаfi.mравнавне зависимости от его поляризации.
Однако для тренировки (пока мы не познакомимся с другими физическими системами с невырожденным энергетическим спектром) будем предполагать, что при определенных условиях энергия фотона может статьзависимой от поляризации, и посмотрим, как меняется эта поляризация.Предположим, нам дано начальное состояниеl'V (О)) системы и еегамильтониан fI и нужно предсказать состояние этой системы IЧJ (t) )в произвольный момент времени. Для этой цели мы можем воспользоваться тремя методами:1.Разложить IЧJ (О)) в энергетический собственный базис в соответствии с уравнениемнение эволюции(1.27),а затем применять простое урав(1.28) к каждому элементу базиса, чтобынайтиIЧJCt) ).11.Вычислить оператор эволюции из(1.30)с помощью приемов, освоенных в разд. А.11, а затем применить этот операторк начальному состоянию в соответствии с111.(1.29).Решить задачу Коши, состоящую из дифференциального уравнения Шрёдингера(1.31) и начального состоянияl'V (О)).
В этомподходе уравнение Шрёдингера можно записать в матричнойформе(1.32)и решить как систему из двух дифференциальных уравненийдля пары функций (ЧJн(t), 'Vv (t)).75ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение1.47.Напишите уравнение Шрёдингера для следующих гамильтонианов:а)Ь)fI = поЮ z'·fI = пrо&х.Для каждого случая найдите состояние поляризации фотона в момент t,если его начальное состояние равно либо IЧ' (О)IЧ' (О)) = 1±45°),) = IH), либос использованием каждого из трех перечисленныхвыше методов. Выразите ответ в каноническом базисе.Упражнение1.48. Найдите величины tв упр.1.47, длякоторых действие оператора эволюции эквивалентно действию полуволновой и четвертьволновой пластинок на угле0° длячасти (а) и45° длячасти (Ь)соответственно.Мы видим, что эволюция фотонов, исследованная в упр.1.47,эквивалентна тому, что происходит в двулучепреломляющих материалах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
