Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Мы разберем этот мысленныйэксперимент в следующей главе и увидим, как квантовую случайностьможно объяснить тем, что сами наблюдатели тоже являются кванто­выми объектами, но не могут экспериментально убедиться в своейквантовой природе. Давайте, однако, пока примем квантовую случай­ность как постулат, который подтверждается большим объемом экс­периментальных данных.Упражнение1.6.Покажите математически, что для состояния IЧJ)сумма вероятностей регистрации(1.3)для всех элементов базисасоставляет (ЧJIЧJ), т.е. равна единице, если состояние физическое.142«Мысленный эксперимент» (нем.).ГЛАВАУпражнение1.

7.1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫПокажите, что применение общего фазовогомножителя к квантовому состоянию не меняет вероятностей резуль­татов его измеренияв согласии с тем фактом, что фаза никак-не влияет на физику состояния, о чем говорилось в предыдущемразделе.Измерения поляризации1.4.2.Выше мы говорили о возможности повернутьв результате этого прибор на рис.1.2PBSи изменитьа так, что он будет измерятьполяризацию в неканоническом, линейно поляризованном базисе.Однако фотон, отраженныйPBS,не станет распространяться в гори­зонтальном направлении, а это неудобно при проведении прак­тического лабораторного эксперимента (отступление1.3).Поэ­тому большинство экспериментаторов пользуется оптическим эле­ментом, известным как волновая пластинка 1 , который переводитполяризованные состояния фотона одно в другое.

Вот несколькопримеров.Упражнение1.8.Покажите, что:а) устройство на рис.1.2фотона в диагональномЬ) устройство на рис.С{IR),IL) })Ь выполняет измерение поляризации( 1±45°)) базисе;1.2 с выполняет это же измерение в круговомбазисе.Подсказка: когда устройство, описанное в постулате об изме­рениях, измеряет одно из своих собственных базисных состоя­нийlv),ностьюто результат измерения укажет на это состояние с вероят­1.Верно и обратное: если это устройство способно строгоразличить некий конкретный ортонормальный набор состоя­ний, то мы можем сделать вывод, что этот набор является изме­рительным базисом данного устройства. Следовательно, чтобывыполнить это упражнение, достаточно показать, чтоные состояния [т.е.после1PBS дадутбазис­1±45°) в варианте а) и IR), IL) в варианте Ь)]щелчки на разных фотонных детекторах.Сейчас подходящий момент, чтобы прочитать в приложении разд.

В.3.43ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление1.3. Оптический столНа этой фотографии вы видите типичный квантово-оптический эксперимент. Онвыполняется на оптическом столе-массивной металлической плите, на кото­рую устанавливаются различные оптические элементы, такие как линзы, зер­кала, лазеры, кристаллы и детекторы. Лучи, как правило, проходят горизонтально,на одном уровне по всей длине стола.Упражнение1.9.§Каждое из состояний1+ ), 1-),IH), IV),IR), IL)измеряется ва) каноническом,Ь) диагональном,с) круговом базисах.Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.Ответ: для каждого состояния, когда измерение производитсяв базисе, к которому принадлежит это состояние, вероятности состав­ляют О и1.Если же состояние не принадлежит к измерительномубазису, то вероятность обоих результатов равняетсяЬ Полу-аПоляризующийсволноваясветоделительпластинкаГоризонтальнаяnоляризацияDпод углом22.s•12Четверть-Полу-волноваяволноваяпластинкапластинкаnод углом о• nод углом22.s•---lt---+-'lr-+--fДетекторы--фотоновРис.1.2.

Измерение поляризации фотона в каноническом { 1Н ) , 1 V)} (а), диа­гональном44{1+ ) , 1-) } (Ь) и круговом {IR ) , IL)} (с) базисахГЛАВА{IR), IL)},КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫсхему для квантового измерения1.10. Предложите1tв базисе {18),1-+8 )}.2Упражнение 1.11. ПредложитеУпражнениев базисе1.схему для квантового измеренияв которой использовалась бы только одна волно­вая пластинка.Упражнение1.12.Рассмотрим фотон, который находится в состоя­нии не суперпозиции, а случайной статистической смеси, или ансам­бля1 (statisticalmixture/ensemЬle):либoс вероятностьюIH) с вероятностью 1/2,либо IV)1/2.

Поляризация этого фотона измеряется в:а) каноническом,Ь) диагональном,с) круговом базисах.Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.Упражнение1.13.30° к горизонтали.Фотон приготовлен с линейной поляризациейНайдите вероятность каждого результата, если егополяризация измеряется в:а) каноническом,Ь) диагональном ис) круговом базисах.Упражнение 1.14. Фотон в состоянииl'V)=(IH)+e;'PIV))/.J2изме­ряется в диагональном базисе. Найдите вероятность каждого резуль­тата как функцию от <р.Это упражнение, так же как и упр.1. 7, еще раз демонстрирует важнуюразницу между фазовым множителем, примененным к части квантовогосостояния или к квантовому состоянию целиком.

В первом случае доба­вочная фаза влияет на измеряемые свойства объекта, во втором-нет.Хотя одиночное измерение дает нам некоторую информацию о началь­ном состоянии квантовой системы, информация эта очень ограничена.Предположим, например, что мы измерили фотон в каноническомбазисе и обнаружили, что он прошел черезPBS.Можем ли мы из этогосделать вывод, что первоначальный фотон находился в состоянии1IH)?Такие смешанные состояния не являются элементами квантового гильбертова про­странства.

Подробнее об этом см. подразд.2.2.4.45ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАНет, не можем. Он мог находиться в любом состоянии ЧJ н 1Н)коль скоро Ч'н+ Ч'v 1 V);* О, существует некоторая вероятность получения щелчкав пропускающем канале. Поэтому единственное, что мы узнаем из дан­ного измерения,это то, что фотон не бьm вертикально поляризован.-Теперь предположим, что мы провели одно и то же измере­ние неоднократно, каждый раз приготавливая наш фотон в оди­наковом состоянии 1 • Теперь мы знаем намного больше! Мы знаем,сколькощелчкова сколько-полученонамиот«горизонтального»детектора,от «вертикального», т.е. у нас появилась статистика изме­рений. По этим данным мы можем рассчитать, с некоторой ошибкой,рrн= IЧ'нl 2 и prv=IЧJvl 2 , т.е. узнать кое-что об абсолютных величинах ком­понентов состояния.

Но и ЧJН' и Ч'v -комплексные числа, и их аргументы(углы на комплексной плоскости) по-прежнему неизвестны. К примеру,еслимынаблюдаемрrн=рrv= 1/2,тосостояние IЧJ) можетбытьилиилиIL),илиIR),1+), или 1-), или еще каким-нибудь из множества вариан­тов. Что нам с этим делать?Как видно из следующего упражнения, надлежит провести допол­нительные серии измерений в других базисах.

Полученная статистикадаст новые уравнения, которые можно решить и найти Ч'н и Ч'v с точно­стью до неопределенности, связанной с общим фазовым множителем.Упражнение1.15.Предположим, что множественные измере­ния поляризации фотонов, идентично приготовленных в состоянии1 ЧJ),проводятся в каноническом, диагональном и круговом базисахи при этом определяются все шесть соответствующих вероятностей(рrн,prV' pr+, pr _, prR, prJ.Покажите, что этой информации доста­точно, чтобы полностью определить IЧJ) и выразить его разложениев каноническом базисе черезprн' pr+ и prR"Приведите пример, показы­вающий, что измерений только в каноническом и диагональном бази­сах для этого было бы недостаточно,состояния,- т.

е. найдитекоторые дадут одинаковые pr н и pr +.два различныхМетод получения полной информации о квантовом состояниипутем проведения серий измерений в нескольких разных базисахна множестве идентичных копий измеряемого состояния называетсятомографией квантового состояния1(quantum state tomography).Хотя мы не знаем, каково это состояние, мы можем многократно приготавливать фо­тон в одном и том же состоянии пугем сохранения постоянных условий эксперимента.46ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫЕго можно обобщить на другие квантовые системы, включая системыболее высокой размерности.

Мы подробнее поговорим о квантовойтомографии в конце основного текста (разд.Упражнение5.7).1.16. Предположим, вам дан единственный экземплярквантовой системы, находящейся в одном из двух неортогональныхсостоянийla)иlb).Вам известно, что это за состояния, но вы не зна­ете, в каком именно из них находится система.а) Покажите, что невозможно построить устройство, которое всегдадостоверно определяло бы состояние системы.Ь) *Покажите, что можно сконструировать измерительное устрой­ство, которое будет выдавать, с некоторой вероятностью, резуль­таты трех типов: «определенноla)»,«определенноlb)»и «не уве­рен», причем результаты первых двух типов всегда будут верными.Подсказка: попробуйте использовать неполяризующий светодели­тель-оптический элемент, который случайным образом либо про­пускает, либо отражает фотон вне зависимости от его поляризации.1.5.Квантовая интерференцияи дополнительностьРассмотрим эксперимент, показанный на рис.1.3.Единичный фотон,находившийся первоначально в диагонально поляризованном состоя­нии1+) = (1Н)+1 V)) / J2 , попадает в устройство, известное как интерфе­рометр1.

СначалаPBS пропускает горизонтальныйкомпонент состоя­ния и отражает вертикальный. Затем отраженный компонент проходитчерез варьируемую линию задержки 2 , и оба компонента вновь соединя­ются при помощи еще одногоPBS.После этого состояние на выходеинтерферометра подвергается измерению в диагональном базисе.Линия задержки вводит разницу между оптической длиной путивертикального и горизонтального компонентов. Если длина этойлинии равна<р =l,то вертикальный компонент получит сдвиг фазы наkl по отношению к горизонтальному, где k = 2л/Л есть волновое число.В результате фотон, выходя из интерферометра, будет в состоянииЦендера.1Конкретнее, интерферометр Маха2Считаем, что линия задержки много короче, чем длина светового импульса, так что-изменение задержки не влияет на видность интерференции.47ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАФотон в состоянииl+)JH)+IV).fiДлина линии задержкиПоляризующийсветоделитель---------,Измерение в диагональном базисе1Фотон в состоянииIH)+e''IV)1 nолуволновая1 пластинкаI подуглом22,5".fi111111_ - - - - - - - _ 1Рис.1.3.Эксперимент по однофотонной интерференции.

Вставка: зависи­мости вероятности срабатывания двух детекторов от разности длин пугейв интерферометре.Мы изучили измерение этого состояния в упр.1.14и выяснили,что вероятности срабатывания детекторов «+» и «-» составляют1pr± ="2(1±cosq>) соответственно. При изменении длины линиизадержки вероятности меняются синусоидально. Иными словами, мыувидим интерференционные полосы-такие же, какие в таком опти­ческом устройстве образовала бы макроскопическая волна.Что в этом выводе поистине замечательно (и, разумеется, целикоми полностью подтверждено экспериментально), так это то, что интер­ференционные полосы порождает один-единственный фотон. Эторешительнопротиворечит нашиминтуитивнымпредставлениям.Действительно, в классическом эксперименте интерференция воз­никает потому, что две волны, проходящие по двум путям интерфе­рометра, получают разные фазы и затем складываются когерентнона фотодетекторах.

Но в нашем эксперименте присутствует всего одинфотон! Фотон-неделимая элементарная частица света, поэтому онне может расщепиться 1 в интерферометре и породить две волны, необ­ходимые для образования интерференционных полос. Он должен дви-1Позже мы увидим, что на самом деле фотон может расщепиться на два фотонас меньшей энергией при нелинейном оптическом явлении, известном как параме­трическое рассеяние. Однако этот довольно экзотический эффект возникает с низкойвероятностью и только в особых условиях. Наш интерферометр не содержит нелиней­ных оптических элементов, так что параметрическое рассеяние здесь ни при чем.48ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫгаться в одиночестве либо по верхнему, либо по нижнему пути интер­ферометра-но не по двум путям одновременно.Эти разумные и интуитивно понятные доводы противоречати нашим расчетам, и экспериментальным наблюдениям.

Характеристики

Список файлов книги