Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 6
Текст из файла (страница 6)
я преподавал200 студентам, и многие из них внесли в книгу важный вклад. Вот их имена: Рассел Бейт,Данте Бенчивенга, Трэвис Брэннан, Артур Бери-Джоунз, Авик Чандра, Хосе да Коста, Иш Дханд, Стефан Донса, Марк Жирар, Крис Хили,Катаня Кунтц, Кимберли Оуэн, Адарш Прасад, Мэтью Ричардс, СтивенРоговски, Мэттью Таунли-Смит, Раджу Валивартхи. Помощь студентов состояла не только в построении решений; они постоянно искалиошибки и задавали многочисленные вопросы, которые позволяли мне27ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАувидеть, какие части текста недостаточно понятны и требуют пояснений. Опять же, я не смогу назвать всех, кто мне помогал, поэтому должен попросить прощения у тех, кого не упомянул.Поскольку вдохновением для создания данного метода обученияво многом послужил мой собственный опыт в старшей школе, я всегдахотел опробовать его в той же обстановке.
Мне это удалось в2013г.,когда я взял академический отпуск в своем университете, чтобыпомочь в создании Российского квантового центра в Москве. Я организовал кружок по квантовой физике для московских школьников. Вместе с командой преподавателей-энтузиастов во главе с Алексеем Федоровым мы еженедельно встречались с учащимися, чтобы выслушать,как они решили задачи из конспекта (решений мы им не давали),исправить их ошибки, объяснить тонкости и-что не менее важно-обсудить сам конспект. Отзывы, полученные в ходе этих дискуссий,сыграли важную роль в формировании настоящего текста, а несколькоучастников кружка, включая Алексея, теперь стали профессиональными учеными, занимающимися исследованиями квантовых технологий на постоянной основе.Я хотел бы поблагодарить Стефана Лайла за тщательную вычиткукниги и множество разумных замечаний.Но самую свою горячую благодарность я выражаю своей жене Бхавии Равал.
Сейчас, когда я пишу эти строки, она в пути-едет забирать нашу дочку Софи от дедушки. Это лишь одна из многих сотенситуаций, в которых мне следовало бы, по идее, быть с семьей,а не прятаться за монитором, выводя на экране странные закорючки.Но теперь даже бесконечное терпение Бхавии, кажется, истощается.Вчера мы по ее совету посмотрели фильм «Париж подождет», в котором жена одного парня, который слишком много работает, позволяет соблазнить себя его коллеге-французу. Дорогая, намек понят.Париж больше не может ждать.
И это последнее предложение, которое я добавляю в книгу!Калгари,1 О декабря 2017 г.ГЛАВА1КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫА дальше-стоп.А дальше, извини, стена.1.1.Предмет квантовой механикиПожалуй, первое, что нужно понять о квантовой механике,-это то,что к механике она имеет такое же отношение, как, скажем, к электродинамике, оптике, физике конденсированного состояния или высокихэнергий. Квантовая механика, по существу, не описывает какой-то конкретный класс физических явлений; скорее, она обеспечивает универсальную теоретическую основу, которую можно использовать во всехобластях физики,-так операционная система компьютера обеспечивает базу, на которой могут исполняться другие приложения.
Употребление термина «квантовая механика» сложилось исторически,поскольку впервые квантовую основу удалось успешно применитьпри исследовании механического движения электронов в атоме. Болееудачными терминами были бы «квантовая физика» или «квантоваятеория».Так что предмет квантовой механики (квантовой физики) глобален: она охватывает все физические явления во Вселенной. Однакоприменять квантовый подход имеет смысл только в случае оченьмаленьких (микроскопических) физических систем. Поведение болеекрупных систем очень хорошо аппроксимируется законами классической физики, намного более простыми и интуитивно понятными,по крайней мере для существ, эволюция которых проходила именнона этом масштабе величин.Проиллюстрируем это примером.
Вы, вероятно, слышали о принципе неопределенности Гейзенберга: ЛрЛХ ~ h/2 . То есть координатуи импульс частицы невозможно измерить точно и одновременно: произведениенеопределенностейсоставляетпокрайнеймереh/2==5х10-35 кг·м 2 /с. Чтобы макроскопический объект с массойпорядка килограмма достиг предела неопределенности, потребова-29ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАлось бы измерить и координату объекта с точностью порядкаи скорость с точностью-- 10- 17 м10- 17 м/с.
Это, разумеется, нереально, такчто для всех практических целей мы можем просто забыть о принципенеопределенности и рассматривать координату и импульс как точныевеличины. Но для электрона массой-1О- 30 кг произведение неопределенностей координаты и скорости составит около5х10-s м 2 /с,что вполне укладывается в экспериментально доступную точностьизмерений и должно приниматься во внимание.Таким образом, предсказания квантовой теории отличаютсяот классических только для относительно простых, микроскопическихобъектов. Это объясняет, почему квантовая механика была открыталишь в начале ХХ в.
До того времени мы (сами представляющие собоймакроскопические тела) имели дело исключительно с макроскопическими предметами. Но стоило нам изобрести инструменты, позволяющие достаточно глубоко проникать в микроскопический мир,как сразу же проявились квантовые явления.Это пример принципа соответствия-философской максимы,согласно которой любая новая, более современная теория должна воспроизводить результаты более старых, устоявшихся теорий в тех областях, где эти теории были проверены. Вот еще один пример для иллюстрации этого принципа. Пока мы имели дело только с объектами,движущимися намного медленнее света, для описания окружающегонас мира достаточно бьшо ньютоновой механики.
Но стоило нам получить возможность наблюдать тела, которые движутся быстро (например, Земля вокруг Солнца в эксперименте Майкельсона-Морли),мы начали замечать несоответствия и вынуждены были разработатьтеорию относительности. Эта теория заметно отличается от ньютоновой механики-но тем не менее согласуется с ней в предельном случае низких скоростей. Было бы неразумно использовать специальнуютеорию относительности для описания, например, трансмиссии трактора, потому что классическое приближение в данном случае и вполнедостаточное, и многократно более простое в применении. Аналогичным образом использование квантовой физики для описания макроскопических явлений в большинстве случаев было бы переусложненным и ненужным.В классической физике мы имеем дело с величинами: скоростьюполета камня 10м/с, силой протекающего по электрическому контуру тока0,2А и т. д.
Даже если мы не знаем точного значениякакой-то физической величины, мы можем работать над улучшезаГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫнием нашей теории и эксперимента, чтобы предсказать и измеритьэту величину со все более высокой точностью. Иными словами, классический мир бесконечно познаваем. В квантовой физике ситуацияиная: некоторые знания (например, одновременные значения координаты и импульса) могут быть «священными»: их в принципе невозможно получить.
И эту ситуацию уже нельзя описывать в терминаходних только величин. Вместо этого мы должны использовать концепцию квантового состояния физической системы. Как мы увидим, эта концепция содержит в себе границу между знанием, которое можно получить, и знанием, которое получить невозможно. Мыможем узнать точно, в каком состоянии находится система, но каждоесостояние связано с фундаментальными ограничениями на точность,с которой физические величины могут быть определены.Поскольку квантовая механика играет уже упомянутую рольобщей основы, мы изучаем ее с известной степенью математическойстрогости. Я буду вводить определения и аксиомы, потом описыватьявления, которые из них проистекают, а затем иллюстрировать этиявления примерами из разных областей физики, преимущественноиз оптики.Основной математический инструмент квантовой механики-линейная алгебра.
В приложении А приводятся концепции этой дисциплины, важные для квантовой физики. Так что, если вы знакомыс линейной алгеброй и свободно себя в ней чувствуете, переходитесразу к следующему разделу. В противном случае я рекомендовал бывам, прежде чем двигаться дальше, изучить первые четыре разделаприложения А.1.2.Постулат гильбертова пространстваЯ сначала сформулирую этот постулат 1 , а затем объясню его смыслболее подробно.а) Возможные состояния физической системы образуют гильбертово пространство над полем комплексных чисел.1Общепринятых постулатов квантовой механики не существует. Если вы скажете«Это следует из второго закона Ньютона», вас поймут, но утверждения «Это следуетиз первого постулата квантовой механики» никто не поймет.
Вместо этого следует сказать, к примеру, «Это следует из линейности квантового гильбертова пространства».31ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЬ) Несовместимые квантовые состояния соответствуют ортогональным векторам.с) Все векторы, представляющие физические квантовые состояния,нормированы.Данный постулат содержит два понятия, которые мы еще не определили: квантовое состояние и физическая система. Понятия этинастолько фундаментальны, что строгое определение им дать трудно 1 •Поэтому я проиллюстрирую их интуитивно, на примерах.Физическая система-это объект или даже одна либо несколько степеней свободы объекта, которые можно изучать независимо от остальных степеней свободы и других объектов.
Например, если наш объект атом, то квантовая механика может изучать его движение как целого(одна физическая система), а может исследовать движение его электронов вокруг ядра (другая физическая система). Но если мы хотим изучать образование из двух атомов молекулы, то нам следует учитывать,что динамические состояния обоих атомов и электронов в них влияютдруг на друга, поэтому мы должны рассматривать все эти степени свободы как единую физическую систему. Если же речь идето самой молекуле, то квантовая механика может изучать движение ее центра масс(одна физическая система), вращательное движение (другая физическая система), колебания ее атомов (третья система) или квантовыесостояния ее электронов (четвертая система) и т.д.Чтобы разобраться в понятии состояния, рассмотрим следующуюфизическую систему: массивную частицу, которая может двигатьсявдоль координатной оси х.
С одной стороны, возможно определитьее квантовое состояние, сказав, что «координата частицыности х= 5 м».такое состояние какобозначить как 1х == 3 м) = О),потому что «несовместимы»: если достоверно известно,в состоянии х =3 м.5 м,она не может быть обнаруженаЕще один пример допустимого квантового состояния, в котором частица может находиться,1в точlx = 5 м). Еще одно допустимое состояние можно3 м).
Эти состояния ортогональны ((х = Sмl х =что координата частицы равнастью v-Это допустимое определение; мы будем обозначать-это «движется со скоро= 4 м/ с». Поскольку в таком состоянии импульс частицы известенКак в геометрии, которая представляет собой чрезвычайно строrую науку, несмотря на то что первичные понятия в ней, такие как точка, прямая и плоскость, не определены.32ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫточно, ее координата остается полностью неопределеннойт.е. дан-ная частица может быть с некоторой вероятностью обнаружена в точкех = Sм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
