Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Диагональные и недиагональные элементы ............... 3165.1.3. Эволюция ......................................................................... 3205.2. След ............................................................................................. 3225.3. Частичный след ......................................................................... 3255.4.
Матрица плотности и вектор Блоха ........................................ 3285.5. Матрица плотности и магнитный резонанс ........................... 3305.5.1. Декогеренция ................................................................... 3305.5.2. Термализация .................................................................. 3315.5.3.
Релаксация и вектор Блоха ............................................ 3335.6. Обобщенные измерения ........................................................... 3375.6.1. Реалистичный детектор ..................................................
3375.6.2. Положительная операторнозначная мера (РОVМ) .... 3395.7. Квантовая томография ............................................................. 3435.7.1. Томография квантового состояния ............................... 3435.7.2. Томография квантового процесса ................................. 3455.7.3. Томография квантового детектора ...............................
3515.8. Задачи ......................................................................................... 352ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫА.1. Линейные пространства ........................................................... 359.................................................................
361А.3. Скалярное произведение ......................................................... 363А.4. Ортонормальный базис ............................................................ 365А.5. Сопряженное пространство ..................................................... 367А.6. Линейные операторы ............................................................... 369А.6.1. Операции с линейными операторами .......................... 369А.6.2. Матрицы ...........................................................................
371А.6.3. Внешние произведения .................................................. 373А.7. Сопряженные и самосопряженные операторы ..................... 376А.8. Спектральное разложение ....................................................... 379А.9. Коммутаторы ............................................................................. 382А.10. Унитарные операторы ............................................................
383А.11. Функции операторов ............................................................... 385А.2. Базис и размерностьПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДF..ЛЕНИЯБ.1. Математическое ожидание и дисперсия ................................ 389Б.2. Условные вероятности .............................................................. 390Б.3. Биномиальное распределение и распределение Пуассона...
392Б.4. Плотности вероятности ............................................................ 395ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИВ.1. Поляризация света .................................................................... 399В.2. Поляризующий светоделитель ............................................... .402В.3. Волновые пластинки................................................................ 403ПРИЛОЖЕНИЕ Г.
ДF..ЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКАИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕГ.1. Дельта-функция Дирака .......................................................... .407Г.2. Преобразование ФурьеОБ АВТОРЕ............................................................ .409..........................................................................................
413ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТF..ЛЬ .................................... 415ПРЕДИСЛОВИЕПочему я написал эту книгу?Впервые строгое определение квантовой механики (КМ) предложили Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер почти век назад. С техпор эта область науки претерпела громадные изменения. Направленная изначально на объяснение атомных спектров, сегодня квантоваямеханика является одной из основ почти всех разделов физики. Соответственно, КМ-неотъемлемая часть программы обучения любогостудента-физика: какую бы специализацию ни избрали выпускникипосле окончания вуза, квантовая механика им почти наверняка потребуется в дальнейшей работе.В то же время методы обучения студентов квантовой механикес годами почти не меняются. Мы начинаем с понятия волновой функции и пишем сначала стационарное, а затем временное уравнениеШрёдингера в координатном представлении.
Мы определяем энергетические спектры и соответствующие им волновые функции в простых потенциальных ямах и рассматриваем эволюцию волновых пакетов, связанную с потенциальными барьерами. Наконец, мы вводимоператор момента импульса ивычисляем спектр атома водорода.Последние три четверти века именно так, с небольшими вариациями,выглядела программа первого семестра вузовского курса квантовоймеханики.У этой традиции множество положительных сторон.
Она работаетс физической системой, с которой студент уже разобрался в курсеклассической физики и которую ему нетрудно себе представить. Онапозволяет увидеть различия между поведением классической и квантовой частицы и привлекает внимание к некоторым фундаментальным явлениям, характерным для квантового мира: туннелированию,квантованию и принципу неопределенности. Она снабжает студентаинструментами длярешенияэкспериментальнозначимыхзадач,с которыми невозможно справиться классическими методами: рассчитав в аудитории спектр водорода, студент отправляется в лабораторию и измеряет его!Однако такой подход неидеален. Он дает студенту алгоритмдля анализа конкретной физической системы, но не раскрывает внутреннего устройства квантовой физики и ее концептуальной логики.11ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАМы знакомим студентов с многочисленными фактами и преподаемвычислительные подходы, связанные с волновыми функциями, операторами и измерениями, но не выстраиваем жесткой логическойсвязи между ними и не объясняем, какие из этих фактов являютсяпостулатами, а какие-их следствиями и в какой именно логическойпоследовательности эти следствия выводятся.В результате студент - по крайней мере думающий студент - основательно запутывается.
Почему достаточно всего лишь поставить над буквами крышечки, чтобы превратить классическую формулу в квантовую?Почему действие оператора импульса на волновую функцию эквивалентно взятию производной? Почему мы никогда не встречаем собственных состояний импульса (и кошек Шрёдингера) в практическойреальности? Почему атомы, которые мы наблюдаем, переходят междуэнергетическими собственными состояниями, а не какими-нибудь другими? Как проективное измерение связано с измерением наблюдаемогооператора? Почему одни состояния описываются волновыми функциями, а другие-столбцами чисел? Если все состояния имеют норму1,то как мы нормируем волны де Бройля? Если наблюдаемые представляют собой матрицы, то как выглядит матрица импульса?На вершине всего этого-самый подлый вопрос.
Если рассматривать квантовую физику как более общую теорию, чем физика классическая, то почему нужно обращаться к классическим представлениям, чтобы разобраться в концепции измерения? Почему это самоеизмерение, в отличие от всех прочих физических процессов, не описывается унитарной эволюцией? Если квантовые системы действительно в какой-то момент измерения становятся классическими,то в какой же именно момент это происходит?Основополагаюiций образ мышления, который мы стараемся привить нашим студентам за годы обучения физике, можно сформулировать так: «Подвергай все сомнению!» В курсах квантовой физикинаше послание студентам звучит, кажется, с точностью до наоборот:«Заткнись и считай!» 1Поскольку я тоже когда-то был студентом и изучал квантовую механику, то со временем нашел ответы на эти вопросы, но во многих случаях это произошло через много лет после получения ученой степени.
Когда же я пытался задавать подобные вопросы, будучи студен-112Подробнее об этом лозунге, ошибочно приписываемом Фейнману, см. в разд.2.4.ПРЕДИСЛОВИЕтом, вокруг не было никого, кто мог бы не то что ответить мне на них,но хотя бы помочь правильно сформулировать.Моя задача при написании этой книги состояла в том, чтобы изменить сложившуюся ситуацию. Я попытался выстроить ясную логическую структуру, в которой осталось бы как можно меньше дыр, которая позволила бы читателю по логической цепочке отследить любоезаявление назад, до самых основ ... Которая не оставила бы вопросовбез ответов.Итак, в определенном смысле я написал эту книгу для себя. Ноне для сегодняшнего себя, а для того, каким я был в18лет. Такуюкнигу, которую я счастлив был бы на третьем курсе иметь в своейбиблиотеке и которая избавила бы меня от многолетних мучительных поисков истины.Естественно спросить:«Насколько реалистична такая цель?Некоторые из поставленных выше вопросов представляются достаточно сложными.
Может быть, без научной степени в них и не разобраться?»Я дам двойной ответ. Во-первых, с педагогической точки зрения:механика с ее гильбертовым пространством бесконечной размерностиедва ли оптимальна для иллюстрации квантовых принципов. Во многих приведенных выше вопросах можно разобраться, если использовать вместо механической более простую физическую систему;чуть позже я расскажу об этом подробнее.
Во-вторых, большую частьнестыковок и парадоксов вполне реально устранить, если правильноввести понятие запутанности. Это понятие лежит в основе двух важных взаимосвязанных концепций: измерения фон Неймана и декогеренции. Первая из них обеспечивает способ избежать превращенияизмерения в некое исключительное явление в мире квантовой физикии таким образом устраняет логическую бутылку Клейна, характерную для копенгагенской интерпретации. Вторая описывает происходящие естественным образом «самопроизвольные» измерения, благодаря которым квантовый мир предстает перед макроскопическими наблюдателями вроде нас в том виде, который мы знаем под именем«классическая физика».Эти концепции не слишком сложны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
