Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Следовательно, скалярное произведение (х = Sмlv= 4м/с)не равно нулю; эти состояния не являются несовместимыми.lx = 5 м) и lx = 3 м) - допустимые квантовые состояния, то состояние (lx = 5 м) + lx = 3 м)) / J2(где 1/J2 - нормирующий множитель, объяснение см. в упр. 1.1)Данный постулат гласит также, что еслитакже является допустимым. Называется оно суперпозицией состояний. Для большей наглядности скажем, что если !кошка жива)и1кошкамертва)-допустимые состояния физической системы«кошка», то допустима и суперпозиция этих состояний 1 •Являются ли суперпозиции состояний математической абстракцией или они каким-то образом отражаются в физическом поведении системы? Верно, конечно же, второе.
Как мы вскоре увидим,если подвергнуть, например, кошку в состояниях( 1кошка жива) ++ !кошка мертва)) /J2, (!кошка жива) - !кошка мертва)) /J2и просто случайную смесь состояний 1кошка жива) и 1кошка мертва)квантовому измерению, то результаты мы будем наблюдать совершенно разные.Напрашивается еще один вопрос. Мы не видим состояний суперпозиции в повседневной жизни-хотя они полностью совместимыс канонами квантовой механики. Почему? Как мы узнаем из следующей главы, дело в том, что суперпозиции макроскопически различныхсостояний чрезвычайно хрупки и быстро переходят в один из своихкомпонентов-в случае кошки Шрёдингера та быстро становитсялибо живой, либо мертвой.
В микроскопическом мире, однако, состояния суперпозиции относительно устойчивы и нужны для физического описания системы. Необходимость иметь дело с объектами, самосуществование которых вступает в противоречие с нашим повседневным опытом,-одна из причин того, почему квантовая механика таксложна для понимания.Упражнение1.1.Чему равен нормирующий множительния кошки Шрёдингера IЧJ) = N[21жива)щий, что IЧJ)1-+Nсостояilмертва)], гарантируюфизическая система?Это состояние иногда называют кошкой Шрёдингера в честь одного из отцовоснователей квантовой физики Эрвина Шрёдингера.
На самом деле Шрёдингер говорил о более сложном объекте, см. отступление2.5.33ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение1.2. Какова размерность гильбертова пространства, связанного с одной кинетической степенью свободы массивной частицы?Подсказка: если вам кажется, что ответ очевиден, загляните в решение.1.3.Поляризация фотонаМы начнем изучение квантовой механики с одной из простейшихфизических систем: поляризации фотона 1 • Размерность гильбертовапространства этой системы равна всего лишь двум, но этого вполнедостаточно, чтобы показать, насколько поразительным может бытьмир квантовой механики.Предположим, что мы в состоянии выделить единичную частицусвета-фотон-из поляризованной волны. Фотон-микроскопическийобъект, поэтому рассматривать его следует в рамках квантовой механики.Начнем с того, что определим связанное с ним гильбертово пространство.
Для начала отметим, что горизонтально поляризованное состояние фотона, которое мы обозначимполяризованным состоянием1IH), несовместимо с его вертикальноV): фотон 1Н) невозможно обнаружитьв состоянии 1 V). То есть если мы приготовим горизонтально поляризованный фотон и прогоним его через поляризующий светоделительpolarizingЬеатsplitter) -(PBS,оптический элемент, описанный в разд. В.2,то данный фотон во всех случаях будет проходить насквозь, а отражатьсяне будет никогда. Это означает, что состоянияIH)и 1 V) ортогональны.Мы постулируем, что световая волна, электрическое поле которойзадано в виде функции координаты и времени [см.
(В.2)](1.1)(с действительными Ан,v и ч>н,v), состоит из фотонов в состоянии 21Если вы не знакомы с понятием поляризации электромагнитной волны, то теперьсамое время прочесть первые два раздела приложения В.2Может показаться удивительным, что уравнениеции о координате фотона по осиz.(1.2)не несет никакой информаПричина в том, что этот фотон, будучи квантовойчастицей, размазан в пространстве и времени. К факторам, влияющим на степень размазанности, относятся, в частности, характеристики источника, а также «объем квантования», выбранный для теоретического анализа.
В случае лазерного луча длинафотона ограничивается длиной когерентности лазера, которая может составлять неодин километр. В данной книге мы, как правило, будем считать, что фотоны размазаны на расстояние, намного превышающее размер любого прибора, и потому могутрассматриваться как бесконечно большие.34ГЛАВАОтступлениеВ1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ1.1. Открытие фотона1900 г. Макс Планк объяснил экспериментально наблюдаемый спектр излучения абсолютно черного тела, введяпонятие кванта света, который мы сегодня знаем какфотон*.
Он обнаружил, что хорошее совпадение теориии эксперимента можно получить, если считать, что энергия фотона пропорциональна частотеw световой волны.Коэффициент пропорциональности h = 1,05457148х10- 34получил название постоянной Планка.В1905 г. Альберт Эйнштейн еще разподтвердил обоснованность формулы ПланкаE=t100,Макс Планквоспользовавшись ей для количественного объяснения экспериментальных результатов по фотоэлектрическому эффекту (более подробно см.отступление 4.6)**. Позже, в1916 г., Эйнштейн сделал вывод, что, поскольку из классической электродинамики*** извесrно, что электромаrnитный волновой пакет, несушийэнергию Е, несет также импульс р = Е/с, это же соотношение должно выполнятьсяи для фотонов.
По формуле Планка он нашел' р =hoo/c. Выразив частоту волны черезее длину, он получил оо = 2ттс/Л, а затем записалр=2ттh/Л.Артур Холли Комптон в 1923 г. использовал результаты Эйнштейна для теоретического объяснения собственных экспериментов, в которых он исследовал рассеяние рентгеновскихлучей на свободных электронах". Рассматривая фотоны рентгеновского излучения как частицы высоких энергий, он применил законы сохранения энергии и импульса к столкновениюмежду фотоном и электроном, чтобы рассчитать энергию рассеянных фотонов в зависимости от утла рассеяния. Затем онсоотнес эту энергию с длиной волны-и получил теоретическое описание для своих экспериментальных данных.
Увиденное им превосходное совпадение тех и других стало служитьнаглядным доказательством сушествования фотона.Артур КомптонИнтересно отметить, что термина «фотон» в то времяне существовало. Его ввел в1926 r.специалист по физической химии Гильберт Льюис' ' '.• М. Planck, ЙЬеr das Gesetz der· Energieverteilung im Normalspectгum, Annalen der Physik 4,553 (1901).•• А.
Einstein, Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischenGesichtspunkt, Annalen der Physik 17, 132 (1905).***Это явление выражается, в частности, в эффекте давления света , который экспериментально наблюдал Петр Лебедев в1900 r.Выражение для импульса фотона можно получить таюке следующим образом. Воспользовавшисьзнаменитым уравнением Эйнштейна Ефотона М =hw/c'.p=Mc=hw/c·=т& и формулой Планка, мы можем рассчитать масеуФотон движется со скоростью света, следовательно, его импульс равен' АН. Compton, А Quantum Тh.eory of the Scattering of X-Rays Ьу Light Elements, Physical Review21483 (1923).'" G.N.
Lewis, The conservation of photons, Nature 118, 874 (1926).35ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА1'1')-1/А2 +А2(Анеi'Рн IH)+Avei'Pv IV))e-iwt.(1.2)" нvНапример, если Ан= Av и <l'н= <l'v = О, то соответствующая классическая волна выглядит как Ё = Re[ Ан (i +J)eikz-iwr J, т.е. линейно поляризована под углом +45°. Соответственно, состояние (IH)+IV))/.J2 (гдеделитель .J2 связан с нормированием) обозначает единичный фотонс линейной поляризацией под +45°. В табл. 1.1 вы можете увидетьеще несколько примеров 1 •Из этого следует, что состоянияIH)и1V) образуют в гильбертовомпространстве поляризационных состояний фотона ортонормальныйбазис-т. е.
пространство двумерно. Действительно, прежде всего этисостояния ортогональны и потому линейно независимы (упр. А.17).Кроме того, любая поляризованная классическая волна может бытьзаписана в виде(1.1),так что любое поляризационное состояниефотона тоже может быть записано аналогичнокомбинация состоянийIH)и1(1.2), т. е.как линейнаяV). Мы будем называть базис { IH), 1 V)}каноническим базисом нашего гильбертова пространства.Таблица1.1.Важные поляризационные состоянияСостояниеМатрицаОписаниеОбозначениеIH)(~)ГоризонтальноеIH)IV)(~)ВертикальноеIV)coselH)+sinelV)( c~se)}z(lн)+IV))}z(~)Диагональная поляризация}z(lн)-lv))}z(~1)(Анти-) диагональная поляри-}z(IH)+ilV))}z(IH)-ilV))1}zC)}zCi)8КПОДгоризонтали+45°зация под-45°1е)1+45°)илиl+)1-45°)илиl-)Правая круговая поляризацияIR)Левая круговая поляризацияIL)Обсуждение договоренностей, принятых для состояний с круговой (циркулярной),поляризацией, см.
в сноске36Линейная поляризацияПОД угломsше1 на с. 402ГЛАВАУпражнение1.3.1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫПокажите, что:а) поляризационные состояния±45°образуют ортонормальныйбазис;Ь) правое и левое круговые поляризационные состояния образуютортонормальный базис.Упражнениеи1.4.РазложитеIH) и IV) по базисам {1+),1-)}{IR), IL) }.Упражнение1.5.Разложитесам{IH),IV)}, {1+),1-)}ние(alP>иla) = 1+30°) и lb) = 1-30°) по бази{IR),IL)}. Найдите скалярное произведево всех трех базисах, используя операцию перемноженияматриц. Одинаковые ли получились результаты?Здесь есть сложный момент, который следует прояснить. Множествоуглов поляризации линейно поляризованных фотонов-континуум.Но в случае одномерного движения частицы, о котором говорилось в предыдущем разделе, множество позиционных состояний-также континуум. Почему же мы говорим, что одно из этих гильбертовых пространствимеет размерность два, а другое-бесконечность?Разница в том, что линейно поляризованные состояния мoryr бытьзаписаны в виде(1.2), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
