Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сделаем еще шаг вперед и свяжем с каждым элементомlv)базиса действительное числоui. Тогдавместо «результатом измерения является состояниеlv)» мы будем говорить «результатом измерения является величинаV/>·64ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫДля некоторых измерений такая связь естественна.
Например,состояние с определенным положением, такое какlx) = lx = 3м),естественным образом связано со значением координаты частицы(xi = 3 м). Для других измерений, вроде измерения поляризациифотона, естественной связи между элементами базиса и числамине существует, но такую связь можно ввести искусственно. К примеру,если мы измеряем в каноническом базисе, то можем связать числос состояниемIH),а число-11с состоянием 1V).Информацию о базисе измерения и связанных с ним величинахудобно выразить, скажем, в виде оператора:(1.12)Этот оператор называется наблюдаемым оператором, или простонаблюдаемым (observaЬle).
Как мы знаем (разд. А.8), элементыlv)базиса измерений (собственного базиса наблюдаемого) представляютсобой собственные состояния, или собственные векторы наблюдаемого, а соответствующие им величинызначениями. Воспользовавшисьvi являются его собственными(1.12), можно ввести наблюдаемыйоператор для почти любого измерения или измеряемой величины:положения, импульса, момента импульса, энергии и т. п. Как мы увидим в ближайших разделах, наблюдаемые операторы в квантовойфизике имеют первостепенное значение.Из этого общего утверждения есть одно важное исключение.Время в квантовой физике никогда не рассматривается как оператор.Не существует ни собственных состояний времени, ни квантов времени. Время-Упражнениеэто просто непрерывная переменная.1.29.Найдите наблюдаемые, связанные с базисами{IH), IV)}, {1+), 1-)} и {IR), IL)} (т.е.
с измерительными приборамина рис.1.2)и собственными значениями±1(соответственно) в нотации Дирака. Найдите матрицы этих операторов в базисеОтвет: операторы Паули{IH), 1 V) }.(1.6):IH)(Hl-IV><VI = crz;(1.1За)1+)(+1-1-><-1 =ах;(1.1ЗЬ)= crY.(1.1Зс)IR)(Rl-IL)(LIОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАИтак, мы увидели обе роли операторов в квантовой механике: этопреобразования квантовых состояний и описания измерительныхприборов. Естественно спросить, схожи ли физические реализацииодних и тех же операторов в разных ролях. Пример выше показывает, что это не так. Измерительные приборы, реализующие операторПаули, показаны на рис.1.2.
Приэтом операторы Паули как средствапреобразования состояния реализованы в упр.1.26. Видно, что конфигурации в том и другом случаях совершенно различны.Упражнение1.30. Покажите,что:а) операторы, соответствующие физическим наблюдаемым(1.12),являются эрмитовыми;Ь) любой эрмитов оператор может быть связан с некоторым физическим наблюдаемым, т.е. его можно выразить в виде(1.12)с действительными собственными значениями и собственнымисостояниями, образующими ортонормированный базис.УпражнениеПаули(1.7)1.31.Выполните спектральное разложение матрицс использованием методов линейной алгебры. Проверьтесоответствие вашего результата определению, данному в упр.1.29.Мы видим, что каждое измерение может быть связано с некоторым эрмитовым оператором и каждый эрмитов оператор может бытьсвязан с некоторым измерением.
Более того, наблюдаемый операторсодержит в компактной форме полную информацию о базисе измерения и связанных с ним собственных значениях. Если дается эрмитова матрица наблюдаемого оператора, мы можем извлечь из нее этуинформацию посредством спектрального разложения 1 •1.9.2. Среднее значение и неопределенностьнаблюдаемогоПредположим, мы измеряем наблюдаемоеV= L ;V; lv;)(v; 1в состоянии IЧJ).
Результат этого измерения имеет вероятностный характер:мы будем наблюдать каждую величину и; с вероятностью1Важное исключение здесь-pr; = 1(u;IЧJ)1 2 •случай, когда матрица имеет вырожденные собственные величины. В этом случае решение для собственного базиса не единственно. Пример см. в упр. А.68.66ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫМы можем отнестись к измеренной величине наблюдаемого как к случайной величине (приложение Б) и найти ее статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию.Упражнение 1.32. НаблюдаемоеV измеряется в состоянии lч.i).а) Покажите, что математическое ожидание этого измеренияравно(1.14)Выражение в правой части этого уравнения называется такжеквантовым средним значением наблюдаемого V в состоянии 1Ч-').Ь) Покажите, что дисперсия величины V равна:(1.15)и что эта дисперсия может быть вычислена по формуле:(1.16)Как и в теории вероятностей, неопределенность квантовой величины равна квадратному корню из его дисперсии.Странное понятие наблюдаемого оператора, введенное в предыдущем подразделе, оказывается весьма полезным.
Оно не только несетв себе полную информацию об измерении, но и обеспечивает простойспособ вычисления статистических свойств этого измерения в применении к заданному состоянию. Решим простой пример.Упражнение1.33§.Вычислите среднее значение, дисперсиюи неопределенность наблюдаемого&zв состоянии1+).Ответ: (о-,)=0; (лcr, 2 )=(cr, 2 )=1; ~(лсr, 2 )=1.Чтобы интерпретировать приведенный ответ, вспомним, что наблюдаемое&,может быть измерено с использованием установки на рис.1.2 а. Наблюдаемое принимает значение+ 1, если фотон проходит (проецируется на состояние горизонтальной поляризации), и-1, если фотонотражается (проецируется на состояние вертикальной поляризации).Диагонально поляризованный фотон имеет равные шансы как пройти,67ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАтак и отразиться, так что среднее значение результата измерений будетравно нулю.
Что касается дисперсии, то в каждом измерении мы получаем величину либо+ 1, либо-1, так что среднеквадратичное отклонение от нуля должно быть равно единице.Это хороший пример перехода между классическими и квантовымиизмерениями. Квантовые измерения имеют вероятностный характер:в данном случае каждый фотон будет случайным образом пропущенили отражен.
В классической же физике все имеет детерминистскийхарактер: если мы направим поляризованную подволну наPBS,45°классическуюона расщепится ровно пополам, безо всякой неопределенности. Принцип соответствия требует, чтобы квантовое поведениев макроскопическом пределе становилось классическим. Этот переходот квантового к классическому поведению можно проследить в следующем упражнении.Упражнение1.34. Группа из N поляризованных под +45° фотоновнаправляется в PBS. Вычислите среднее значение и неопределенностьразностиN_ между числомпропущенных и отраженных фотонов.Подсказка: воспользуйтесь упр. Б.5.Ответ: среднее равно нулю, неопределенность равна ~( ЛN~) = ГN .На первый взгляд это может показаться странным: по мере тогокак наш эксперимент становится более макроскопическим, неопределенность в нем не снижается, а, напротив, повышается.
Как это согласуется с классической физикой? Дело в том, что здесь имеет значениенеабсолютнаянеопределенность,аотносительная,т. е.~( ЛN~) / N =1/JN . Чем больше N, тем выше относительная точностьфотометрии в двух каналах, требуемая для обнаружения квантовыхфлукrуаций.Например, еслиN = 104, то статистическое отклонение равноГN = 100, так что относительная неопределенность равна 1/100.Но еслиN = 106 ,эта неопределенность становится в10 раз меньше,1/1000.
А теперь напомню, что энергия фотона очень мала(- 4 х 10- 19 Дж для видимого спектра), так что в любом экспериментес участием макроскопически значимого количества света дажев масштабе наноджоулей - задействовано громадное число фотонов.Относительная разность между прошедшей и отраженной энергияминичтожна, и для ее регистрации требуются фотометры чрезвычайновысокой точности.68ГЛАВА1.9.3.1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫПринцип неопределенностилУпражнение1.35.Покажите, что наблюдаемоеVв некоторомквантовом состоянии 1'1') имеет нулевую неопределенность тогдаи только тогда, когда 1'1') является собственным состоянием наблюдаемого (т.
е. Vl'I') = vl'I') ).Упражнение 1.36. Рассмотрим два эрмитовых оператора А и В .Покажите, что существует базис, в котором они одновременно диагонализируются, тогда и только тогда 1 , когда [А, В]=О.Подсказка: доказательство будет проще, если предположить,что один из операторов не имеет вырожденных собственных значений.Последнее упражнение показывает, что любые два коммутирующих наблюдаемых могут быть измерены одновременно. То есть можнопостроить устройство, выполняющее измерения в ортонормальномбазисе, который можно связать одновременно с обоими этими наблюдаемыми.Коммутирующие наблюдаемые «совместимы»: существует собственный базис А, такой, что если система приготовлена в одном из егоэлементовlv.),1то она останется в этом состоянии при измерениилнаблюдаемого В и результат измерения будет вполне определенным,а именно lv.)2.
Если же А и В не коммутируют, то система, приготовл'лленная в собственном состоянии наблюдаемого А, при измерении Вможет дать случайный результат3 • Степень этой случайности количественно оценивается принципом неопределенности Гейзенберга, который мы сейчас выведем.'Чтобы узнать о коммутаторах, загляните в разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
