Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако физика происходящего не совсем аналогична.В двулучепреломляющих материалах собственные состояния оператора эволюции накапливают разные фазы из-за разных коэффициентов преломления для обыкновенной и необыкновенной поляризации (приложение В). В эволюции же гамильтониана сдвиг фазы объясняется разными энергиями энергетических собственных состояний.Задачи1.11.Задача 1.1. Найдите коммутатор [ (&х + &У ) 2 , &, J.Задача1.2. Два состояния раскладываются в круговом базисе в соответствии с1)= 2IR)+ilL) I )= ilR)+2IL)J5\jf'(1.33)J5<ра) Покажите, что эти состояния образуют ортонормальный базис.Ь) Найдите разложения этих состояний в каноническом базисес использованием двух методов:••выразивIR)иIL)в каноническом базисе и подставив внайдя матричные формы состояний IЧJ),говом базисе и использовав скалярное произведение.76(1.33);l<p), IH) и IV) в круГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫс) Убедитесь, что состояния lч.i> и lч>) образуют ортонормальное множество, воспользовавшись скалярным произведениемв каноническом базисе.d) Разложите состояния IH), 1V), IR), IL), (IH)+2ilV))/ .J5 в базисе{ 1ч.~), 1 <р)}.Напишите ответ как в нотации Дирака, так и в матричной нотации.е) Состояния IH), IV), IR), IL), (IH)+2ilV))/.J5 измерены в базисе{ 1ч.~), 1<р)}.
Каковы вероятности результатов?ЗадачаПовторите упр.1.3.1.12для фотона, который находитсяв случайном статистически смешанном состоянии, описываемом следующим ансамблем:а) либоЬ) либоЗадача1+)IR)с вероятностьюс вероятностью1/2, либо 1-)1/2, либо IL)с вероятностьюс вероятностью1/2;1/2.1.4. Рассмотрите модифицированный протокол ВВ84,в котором Алиса посылает, а Боб анализирует фотон в поляризационномбазисе, выбранном случайно, с равной вероятностью для каждоговарианта из следующих трех:Най(0°, 90°), (30°, 120°), (60°, 150°).дите долю битовых ошибок, которые увидят Алиса и Боб в случае прямолинейной атаки, в которой Ева перехватывает фотон, измеряет егов одном из трех приведенных выше базисов (выбранном случайнои равновероятно) и отправляет Бобу то, что измерила.
Потерь в линиинет, все оборудование идеально.Задача 1.5. Рассмотрим оператор.А., выполняющий следующее преобразование:21 Н) + i 1V) ..J51н~1.J5i +).+ ~ 2+)),(1.34)(1.35)1а) Как состояние вертикальной поляризации преобразуется оператором А ?1Ь) Напишите матрицу А в каноническом базисе.1В данном случае общая фаза в правой части уравнения( 1.35) имеет значение. Делов том, что нас интересует не только преобразование самого состояния 1 +), но и всялинейная операция, определенная этим преобразованием.
Чтобы увидеть действиеэтой общей фазы, вы можете попытаться решить часть а), заменив(1.35) на 1+)~1+ ).77ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАс) Выразите А в нотации Дирака через внешнее произведениесостояний 1Н) иV).d) Используя тот факт, что для любого линейного оператора.А (ЛI а) ++ µ 1Ь)) = М 1а) + µА 1Ь), определите, как А действует на состоя1ния с круговой поляризацией.е) Пользуясь предыдущим результатом, найдите матрицу Ав базисе круговой поляризации.t) Найдите матрицу А в каноническом базисе по его матрице в круговом базисе при помощи разложения (А.26) единичного оператора. Согласуется ли ваш результат с результатом пункта Ь)?g) Является ли А эрмитовым? Если нет, то каков оператор, сопряженный с ним?Задача1.6.Выполните упр.1.24 с использованиемальтернативногометода.а) Напишите матрицу оператора волновой пластинки в базисе { 1а),190° +а)}Ь) Переведите эту матрицу в канонический базис при помощи разложения (А.26) единичного оператора.Задача1.
7. Используя уравнение (1.5), покажите, что~wp(a) = Анwр(а), т.е. две четвертьволновые пластинки с параллельными оптическими осями, сложенные вместе, составляют одну полуволновую пластинку.Задача1.8.Используя перемножение матриц, покажите, что четвертьволновая пластинка, ориентированная под любым углом,при применении к состоянию круговой поляризации дает состояниелинейной поляризации.Задача1.9.Найдите базис измерения, связанный с устройством,которое состоит из:а) полуволновой пластинки,Ь) четвертьволновой пластинкис оптической осью, ориентированной под углом а, за которой следуетполяризующий светоделитель и два детектора фотонов.Задача 1.10. Оператор А имеет в каноническом базисе следующуюматрицу:78ГЛАВАА.= ( 4112i1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ-12i)34а) Представьте этот оператор в виде.А= v 1 Jv 1 )(v 1 J + v 2 lv2 )(v 2 I, где{lv 1 ), Jv 2 )} - ортонормальный базис.
Найдите vl' v 2 , а такжематрицыlv)иJv 2 )в каноническом базисе.1v 1 2 >( v 1 2 1в каноническом базисе и убедитесь явно, что.А= v 1 Jv 1 ) (~ 1 1 + ~ 2 Jv 2 ) (v 2 I.Ь) Напишите матрицы внешних произведенийс) Наблюдаемое А измеряется в состоянии круговой поляризацииJR).d)Каковы вероятности возможных результатов?Вычислите математическое ожидание результата измерения:•используя определение математического ожидания из теориивероятностей;•используя выражение для квантового среднего.Убедитесь, что результаты одинаковы.е) Вычислите дисперсию наблюдаемого.А в состоянии JR).Задача1.11.Рассмотрите устройство для измерения поляризациифотона, имеющее следующие свойства:•всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом е,попадает в устройство, индикатор устройства показывает«2»;• всякий раз, когда фотон, линейно поляризованный под углом л/2 + е,попадает в устройство, индикатор устройства показывает «3».а) Найдите собственные значения и собственные состояния оператора.А, связанные с наблюдаемым, измеренным этим устройством.Ь) Найдите матрицы оператора.А в его собственном базисе и базисе{JH), JV)}.с) Найдите вероятность каждого результата измерения для фотона,линейно поляризованного под некоторым углом q>.d)Найдите среднее и дисперсию этого измерения.Задача1.12.Напишите принцип неопределенности для наблюдаемых &х и.А= JR)(Rl-2IL)(LI, измеренных в состоянии IH).
Убедитесьявно, что он выполняется.Задача 1.13. Измерения наблюдаемого А в состоянии JH) даютрезультаты О либо 1, каждый с вероятностью 1/2. Измерения наблюдаемого В в состоянии JH) дают результат 2 с вероятностью 3/4и результат 4 с вероятностью 1/4. Известно также, что [А, В J= ix&,.Найдите верхнюю границу абсолютной величины х.79ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА~з адача 1 . 14. н аидитеЗадача1.15.еi*(ЗIH)(Hi+JЗiiH)(Vi-JЗiiV)(Hl+IV)(VI).Атом описывается в некотором базисе{lv 1 ), lv 2 )}гамильтонианомл = nroнЗi) .1(-Зi9а) Найдите собственные состояния и собственные значения энергии.Ь) Энергия этого атома измеряется в состоянии1\jlо) = ~ V1) + i U2)) ·(11Найдите вероятности обнаружения каждого собственного значения энергии, а также среднего арифметического и дисперсииэтого измерения.с) Первоначально этот атом находится в состоянииlv 1 ).его состояние IЧJ (t)) в произвольный момент времениНайдитеt.
Сколькопройдет времени, прежде чем атом вновь окажется в состоянииlv 1 )Задача(с точностью до фазового множителя)?1.16.Предположим, что оператор(1.Sa),связанный с полуволновой пластинкой под углом а, соответствует эволюции под некоторым гамильтонианом в течение времениt0•а) Найдите матрицу этого гамильтониана в каноническом базисе.Ь) Убедитесь, что эволюция за времявертьволновой пластинкипородит оператор четt0 /2(1.Sb).с) Для гамильтониана, найденного в пункте а), и а=ференциальное уравнение Шрёдингерасостояния(1.31)30° решите дифдля начальногоIH). Согласуется ли результат для t = t 0 с тем, что можнобьmо бы ожидать от физики преобразования поляризации?Задача1.1 7.Квантовая система может быть обнаружена в одномиз трех ортогональных состоянийla), lb), lc).Эти три состояния образуют ортонормальный базис.
А представляет собой оператор, которыйAI а)= nrol Ь), .AJ Ь) ~ nroj~),ro действительно). Гамильтониан равен Н =А+ А .ц,_иклически переставляет эти состояния, т.е.Ajc) = nroja)(гдеа) Найдите собственные значения и собственны'е состояния энергии системы.80ГЛАВА1.КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫЬ) Найдите эволюцию системы, первоначально находившейсяв состоянии 1 с>.Задача.1.18. Атом имеет два энергетических собственных состоянияlv 1 ), lv 2 )(1)с собственными значениями О и Зnro соответственно, где> о.а) Напишите матрицу соответствующего гамильтониана Й0 •Ь) В момент времени t = О включается поле, которое делает гамильтониан равным Й=Й0 +V,гдеV = 2inrolv )(v l-2inrolv )(v12211·Напишите матрицу нового гамильтониана и связанный с нейоператор эволюции в базисе{ 1v 1 ), 1v2 )}.с) В момент времени t =О атом находится в состояниидите все значения времениния атома в состоянииlv 2 )t,lv).Найв которые вероятность обнаружемаксимальна.ГЛАВА2ЗАПУТАННОСТЬИ лишь тогда, а вовсе не до того, не загодя, не вначале2.1.Пространство тензорных произведенийТензорное произведение состояний2.1.1.и запутанные состоянияРассмотрим две физические системы, разделенные в пространствеи /или во времени, но взаимодействующие между собой или по крайней мере взаимодействовавшие в прошлом.
Чтобы исследовать состояния, возникающие после такого взаимодействия, работать с каждойсистемой в отдельности недостаточно. С ними надлежит иметь делокак с единым гильбертовым пространством, объединяющим гильбертовы пространства, связанные с отдельными системами.Предположим, например, что у Алисы на Венере имеется 1 горизонтально поляризованный фотонянии1IH), а у Боба на Марсе -фотон в состоV). Тогда мы говорим, что совместное состояние фотонов Алисыи Боба описывается выражением(2.1)Такие совместные состояния называются тензорными произведенuями2.1Это, конечно, фигура речи. Фотоны движугся со скоростью света, и никто не может«иметь» их на протяжении сколько-нибудь продолжительного периода времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
