Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Покажите, что тензорное произведение операторов не может сделать запутанное состояние из разделимого.2.18. Для двух операторов внешнего произведенияА= la 1 )(a 2 I и В= lb 1 )(b 2 I вVАиV8 соответственнопокажите,чтоУпражнение(2.9)Понятие о тензорном произведении операторов красиво иллюстрируется таким значительным результатом, как теорема о запрете клонирования(no-cloning theorem) 1 • Предположим, у нас имеется два объекта, представленные идентичными гильбертовыми пространствамиVA и V 8 , причем объект, представленный VA, находится в некоторомпроизвольном квантовом состоянии 1а). Квантовое клонированиегипотетическая операция, которая создавала бы копию 1а) в-V8 , сохраняя при этом оригинал вVA. Иными словами, она соответствует некоторому оператору на VA ® 'V 8 , такому, что для любого la) Е VA и некоторого 10) Е V 8(2.10)la) ® 10) -t la) ® la).Упражнение2.19.Покажите, что квантовое клонирование в томвиде, как оно определено выше, невозможно.Подсказка: воспользуйтесь тем фактом, что любая физически возможная эволюция в квантовой механике описывается линейным оператором.Сопряженное пространство тензорного произведения определяется аналогично тому, как мы определили прямое, т.
е. для любогосостояния тензорного произведениясопр Cla) ® lb))la) ®1Ь) 2=сопр Cla)) ® сопр Clb)) =A(al ® (bl =(abl.8(2.11)Упражнение 2.20. Покажите, что для А в VА и В в V8 : (А® В) t =t=А. ® вt.1W. Wootters, W. Zurek, А Single Quantum Cannot Ье Cloned, Nature 299, 802 (1982); D.Dieks, Communication Ьу EPR devices, Physics Letters А 92, 271 (1982).2Порядок символов внуrри бра-вектора такой же, как и внутри кет-вектора: первыйсимвол относится к Алисе, второй-к Бобу.
Индексы А и В, указывающие на конкретныегильбертовы пространства, если они есть, обычно помещаются слева от бра-векторов.90ГЛАВА2.21.Упражнение2.ЗАПУТАННОСТЬПокажите, что:а) тензорное произведение двух эрмитовых операторов эрмитово;Ь) тензорное произведение двух унитарных операторов унитарно.2.1.4.Локальные операторыллОператоры тензорного произведения вида А® 1 илилл1 ®Вназыва-ются локальными операторами, потому что действуют только на одинкомпонент гильбертовых пространств. Примером может служить волновая пластинка, которая располагается на пути фотона Алисы и поворачивает его поляризацию, оставляя при этом фотон Боба нетронутым. Локальные операторы часто записываются в упрощенной нотации: пишут просто А вместо А® i и В вместоУпражнение2.22.i ®В .Покажите, что локальный унитарный операторне может сделать разделимое состояние запутанным, и наоборот.Упражнение2.23.Предположим, что !а)-собственное состояниеоператора.А на гильбертовом пространстве Алисы с собственным значением а.
Покажите, что для любого вектора 1 Ь) в гильбертовом пространстве Боба вектор1 аЬ)есть собственное состояние локальногооператора А® i с тем же собственным значением.Упражнение 2.24. Пусть А и В-наблюдаемые в пространствахАлисы и Боба соответственно. Двусоставное состояние IЧТ) является собственным состоянием А ® В с собственным значением х, но не являетсясобственным состоянием локальных операторов А или В .а) Приведите пример такой ситуации.Ь) Покажите, что всякий раз, когда Алиса измеряет А, а Боб - Вв состоянии 1Ч1), произведение полученных ими величин равно х.Подсказка: воспользуйтесь упр.
А.66.Упражнение2.25. Предположим, Алиса и Боб располагают белловскимсостоянием 1чт-). Алиса производит локально над своим кубитом операцию, соответствующую одному из трех операторов Паули. Покажите, что:а) (&Z) А 1ЧJ-)=1 \}J+) ;Ь) (&х) А 1\}J- ) = -1 ф - )С) (&У ) А1;\}J-) =i ф +) .191ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАДанный результат имеет интересное приложение в квантовом протоколе связи, известном как квантовое cвepxrvzomнoe кодирование(quantum superdense coding,Отступление2.2.см. отступление2.2).Граница Холево и квантовое сверхплотное кодированиеПредположим, что Алиса и Боб связаны неким каналом связи (например, оптоволоконным). Алиса хочет послать Бобу классическое сообщение из п бит, зашифровав информацию в некотором наборе квантовых частиц, каждая из которых несетв себе кубит*.
Сможет ли она достичь своей цели, использовав меньше, чем п квантовых частиц?Простое рассуждение показывает, что на этот вопрос следует ответить отрицательно. В самом деле, п кубитов соответствуют 2"-мерной квантовой системе (упр.2.2).Как бы Алиса ни кодировала свои биты в кубитах, Боб при измерении этойсистемы сможет получить не более2" возможных результатов, так что полное коли2".информации точно такая же.
Это ограничение - причество различных сообщений, которые можно зашифровать в п кубитов, равноЕмкость п бит классическоймер так называемой границы Холево в квантовой информатике.Однако если у Алиса и Боба есть заранее приготовленные общие запутанныекубиты, то границу Холево можно обойти при помощи протокола, известногокак квантовое сверхrvютное кодирование. Предположим, Алиса хочет послать Бобудва бита классической информации. Протокол тогда выглядит следующим образом:1. Алиса и Боб заранее готовят общее состояние 'P - ) из двух кубитов (к приlмеру, фотонов).2.В зависимости от значения своих двух битов Алиса производит над своимкубитом операциюа,' а.
или а,' превращая таким образом общее запу2.25. Реализовать это можно при помощи волновых пластинок (см. упр. 1.26).i'танное состояние в одно из четырех белловских состояний, как в упр.3.4.Алиса отправляет свой кубит Бобу.Теперь у Боба два кубита. Он измеряет их в базисе Белла и получает одноиз четырех состояний, что соответствует двум классическим битам.Таким способом Алиса может передать два бита классической информации,переслав всего один кубит.*Напоминание: кубит есть любое двумерное гильбертово пространство. Примером кубитаможет служить поляризация фотона.Упражнение2.26.Предположим, что гамильтониан вVл ® V8 задается суммойгамильтонианов, которые представляют собой локальные операторыв своих пространствах-компонентах.
Покажите, что:92ГЛАВАа) если начальное состояние в2.ЗАПУТАННОСТЬVл ® Vв есть тензорное произведениеIЧJ (О))= IЧJл (О))® IЧJв (О)),то в ходе шрёдингеровой эволюции это состояние остается тензорным произведениемIЧJ (t) ) = IЧJА (t) ) ® IЧJв (t) ) 'где каждое IЧ-'лв(t) )есть решение уравнения Шрёдингерадля соответств~щего гамильтониана йл,в;Ь) если некоторые 1ЧJ л> и 1ЧJ в) являются собственными состояниями своих гамильтонианов с энергиями Ел и Ев соответственно,l'P) = IЧJл> ® IЧJв) в Vл ® Vв есть собственное состояние полного гамильтониана Й с энергией Е =Ел +Ев;то состояниес) ·любое собственное состояние гамильтониана, соответствующего энергии Е, может быть записано как линейная комбинацияпроизведений вида IЧJ) ® IЧJв), где IЧJл,в>-собственные состояния гамильтониана для отдельных гильбертовых пространств,Йл,в 1ЧJл,в)=Ел,в 1ЧJл,в), С Е = Ел + Ев·2.2.
Локальныеизмерения запутанных состоянийКак мы видели в последнем упражнении, расширение постулатаоб измерениях на двусоставные системы достаточно прямолинейно,если два наблюдателя производят измерения на своих гильбертовыхпространствах одновременно. Однако, поскольку эти два наблюдателя независимы, может оказаться, что только один из них (например,Алиса) производит измерение, тогда как другой (Боб) этого не делает.Мы называем это локальным измерением.2.2.1.Удаленное приготовление состоянияПредположим, что Алиса измеряет состояние '11-) = ~ (1 HV)-1 VH))1l'P-) содержит состояния IHV)VH) с амплитудами ±1/ J2, Алиса с равной вероятностьюв каноническом базисе. Посколькуи1(рrн= prv = 1/2) увидит либогоризонтальную, либо вертикальнуюполяризацию. Если она видит горизонтально поляризованный фотон,93ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАто мы можем с уверенностью угверждать, что фотон Боба вертикальнополяризован, так что его состояние становитсяIV),и наоборот.Такая корреляция сама по себе не так уж удивительна.
Даже в обычной жизни мы можем представить себе игру, в которой Алисе даетсяодна туфля из пары, а Бобу-вторая. Каждая туфля упакована в непрозрачную коробку, так что их «ориентацию» увидеть нельзя. Затем Алисалетит к Венере, а Боб- к Марсу, где они открывают свои коробки. Предположим, Алиса обнаруживает в своей коробке левую туфлю. При этомона мгновенно узнает, что у Боба в коробке лежит правая туфля, хотятого при этом отделяют от нее миллионы километров.Но свойства квантовых суперпозиций идуг дальше этой простойкартины. Помимо поляризационных корреляций в них существуетопределенное фазовое соотношение (когерентность), которое обозначается знаком «минус» между(IHV)-IVH))/.J2IHV) и 1 VH).
Этим состояниеотличается от, скажем, (IHV)+IVH))/.J2, хотя обаони демонстрируют схожие корреляции при измерении в каноническом базисе. Чтобы увидеть следствия этого фазового соотношения,попытайтесь решить следующую задачу.Упражнение2.27.Предположим, что Алиса и Боб располагаютсостоянием 1чт-). Алиса измеряет свою часть состояния в базисеlл/2 + еа) если Алиса обнаруживаетlл/2+е1ее), то состояние);Ь) если Алиса обнаруживает lл/21{1 е+еБоба становится), то состояние Боба становится);с) каждый из этих результатов наблюдается с вероятностью1/2.Подсказка: используйте свойство изотропности состояния(упр.),)}. Покажите, что:1 чт-)2.9).Это поистине замечательный результат.
Выбрав угол наклонабазиса измерения е, Алиса может удаленно приготовить произвольное состояние линейной поляризации (с точностью до±90°)в локации Боба. Так происходит несмотря на то, что Алиса и Боб находятся,возможно, в миллионах километров друг от друга и не имеют возможности общаться между собой. Более того, все происходит мгновенно,т. е. быстрее скорости света!На первый взгляд, такое удаленное приготовление состояния(remote state preparation)94откровенно противоречит специальной тео-ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬрии относительности и, мало того, принципу причиююсти(causality),который правит всей известной нам физикой и следует из самогочто ни на есть фундаментального здравого смысла.
Как можно менятьчто-то мгновенно на огромном расстоянии от себя, да еще при отсутствии какой-либо возможности взаимодействовать с той локацией?Наверное, каждый прилежный студент-физик в этот момент первым делом спросит, бьm ли данный вывод проверен экспериментально.Ответ положительный. Чтобы провести этот эксперимент, исследователь многократно подготавливает состояние 1w-) и проводит измерение Алисы, все время в одном и том же базисе. Каждый раз, когда Алисаобнаруживает, скажем,1е), экспериментатор измеряет поляризациюфотона Боба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
