Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В приведенном примереэто произойдет с зарождением лавины в одном из детекторов 1 •2.4.2.ДекогеренцияКвантовые измерения происходят не только в лабораториях. Явления, напоминающие измерения, в которых роль прибора играет среда,происходят вокруг нас постоянно. Предположим, например, что мыприготовили единичный атом в состоянии IЧJ) с хорошо определенным импульсом. Согласно принципу неопределенности, наблюдаемоекоординаты в этом состоянии неопределенно, а это означает, что мыможем записать его как суперпозицию множества координатных собственных состояний 21Такой «инструментальный» подход особенно прим екал Ричарда Фейнмана, взгляды которого хорошо отражает выдуманный лозунг «Заткнись и считай»2( «Shut up and calculate» ).О точном виде собственного состояния импульса речь пойдет в следующей главе;пока же достаточно(2.35).121ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(2.35)Атом, если только он не находится в полном вакууме, будет взаимодействовать с другими частицами, такими как молекулы газаи фотоны.
Большая часть подобных взаимодействий носит оченьлокальный характер. Так, столкновения между атомами управляютсяпотенциалом Леннард-Джонса, сила которого убывает обратно пропорционально по меньшей мере шестой степени расстояния. Из этогоследует, что любое подобное взаимодействие изменяет состояниеокружающих частиц в соответствии с позицией атома. Поэтому можносказать,что окружающаясреда производит измерение состоянияатома в собственном базисе наблюдаемого координаты. Общее состояние атома и среды при этом становится равнымL 'V; lxi )атома ®lxi )среды(2.36)Реалистичный наблюдатель не может уследить за всем множеством объектов, которые провзаимодействовали с «нашим» атомом.Поэтому с его точки зрения этот атом в итоге окажется в ситуации,речь о которой шла в подразд.2.2.4.Он перестанет быть в состоянии когерентной суперпозиции координатных собственных состояний (которая представляет собой собственное состояние импульса),но станет вместо этого статистической смесью.
Утрата когерентностииз-за взаимодействия квантовой системы с ее окружением называетсядефазированием, или декогеренциейУпражнение2.55.(dephasing, или decoherence).Первоначально атом находится в состоянииОн испытывает декогеренцию, запутываясь со средой согласно(2.35).(2.36).Напишите ансамбль, описывающий состояние атома после декогеренции.Поскольку измерение, ·вызванное средой, происходит в координатном базисе, оно никак не вредит координатным собственным состояниям. В самом деле, если атом приготовлен в состоянии с определенной координатой, сумма в(2.35)состоит только из одного члена.В этом случае взаимодействие со средой не приведет к запутыванию,и состояние(2.36)будет разделимым.В процессе взаимодействия системы со средой, как правило, доминирует один физический механизм. Соответственно, в гильбертовом122ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬпространстве системы найдется базис, элементы которого не будутзапутываться со средой и потому не станут декогерировать 1 • Такойбазис называется предпочтительным д!lЯ декогеренции(decoherence-preferred basis).Благодаря локальной природе физических взаимодействий координатный базис часто и является предпочтительным с точки зрения декогеренции для кинетических степеней свободы.
Именнопоэтому намного проще готовить объекты в состоянии с определенной координатой, чем с определенным импульсом, хотя математически оба случая равноправны. Аналогичным образом можно объяснить,почему суперпозиции мертвых и живых кошек никогда не наблюдаются в природе, хотя математически эти состояния не менее «легитимны», чем любая из составляющих этой суперпозиции.
Средапостоянно измеряет положение различных частей тела кошки, взаимодействуя с ними. Поскольку результаты этих измерений содержат информацию о том, мертва кошка или жива, любая когерентнаясуперпозиция этих состояний мгновенно декогерирует. Иными словами, предпочтительный для декогеренции базис пространства состояний кошки, каким бы он ни был, не включает в себя суперпозициймертвых и живых состояний.Для внутренних же состояний квантовых объектов, как и для движения в микроскопическом масштабе, такого как перемещение электронов в атомах, координатный базис не является предпочтительнымс точки зрения декогеренции. Дело в том, что электростатические взаимодействия, которые приводят к декогеренции, обычно вызываютсяобъектами, находящимися на более далеких расстояниях, нежели размер самого атома-а следовательно, в масштабе атомных расстоянийуже не могут рассматриваться как локальные.Гораздо более перспективным кандидатом на роль предпочтительного с точки зрения декогеренции базиса для внутренних состоянийявляется собственный базис оператора энергии, т.
е. гамильтониан.Это следствие адиабатической теоремы (отступление2.4). С одной стороны, поскольку энергетические уровни электронов в атомах довольнодалеки один от другого (разд.4.4), поля, возникающие в ходе столкновения, как правило, достаточно «гладки» для того, чтобы атом, первоначально находившийся в энергетическом собственном состоянии,1W.H. Zurek, Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical, Reviewsof Modern Physics 75, 715 (2003).123ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление2.4.
Адиабатическая теоремаПредположим, что в момент времениt =О некоторая квантовая система нахо) = IE ) своего гамильтониана. Этотгамильтониан fl (t) зависит от времени и имеет дискретный энергетический спектрдится в одном из собственных состояний IЧJ (О){Е"(t)}.
Адиабатическая теорема Макса Борна и Владимира Фока (1928) гласит,что если гамильтониан изменяется достаточно медленно, то система с высокой точностью останется в прежнем энергетическом собственном состоянии.В качестве визуального примера рассмотрим следующий эксперимент, которыйможно провести дома. Поместите компас между полюсами подковообразного магнита. Стрелка встанет вдоль линий его магнитного поля. Теперь, если мы будем медленно поворачивать магнит, стрелка будет следовать за ним, сохраняя ориентациювдоль силовой линии.
Если же мы повернем магнит быстро или если магнит окажется слабым, стрелка потеряет свою настроенность на него, и ей потребуется некоторое время, чтобы вновь настроиться. Это, по существу, и есть адиабатическая теорема.Условие адиабатичности можно приблизительно сформулировать какd-Е" «1iЛ2,(2.37)dtгде Л-минимальное расстояние между Е,,, и другими энергетическими собственными состояниями в ходе эволюционных процессов (см. рисунок).
Полное доказательство адиабатической теоремы относительно сложно и выходит за рамки данного курса.-----Е"----Е,Е.----Е,Е,~----Е,Схематический вид эволюции энергетических собственных значения атомов во время столкновения. Показанная здесь величина Л соответствует адиабатическому условию для т= 2.в этом состоянии и остался 1 • С другой стороны, столкновение непредсказуемым образом повлияет на квантовую фазу каждого энергетического собственного состояния, которое эволюционирует согласно1\jf Е ( t ) )= е -i fE(t)/hdt1\jf Е О()), какв(1.25).Такие столкновения называются упругими.124Таким образом, хотя энергети-ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬческие собственные состояния обычно сохраняются при столкновении, их когерентность, как правило, теряется.
Такое поведение характерно для предпочтительного с точки зрения декогеренции базисаи является основной причиной, по которой в экспериментах атомыи молекулы чаще всего наблюдаются именно в энергетических собственных состояниях.2.4.3.Интерпретации квантовой механикиВ подразделе2.4.1мы проанализировали процесс измерения: квантовый объект становится запутанным с макроскопическим измерительным прибором, а затем и с экспериментатором.
После этого мыобсудили процесс схожей природы, в котором роль экспериментатора играет окружающая среда. В обоих случаях ясно, что экспансиясуперпозиции и постепенное «заражение» ею дальнейших объектовбудут продолжаться и после того момента, на котором мы прервалисвой анализ. Экспериментатор Алиса будет вести себя хотя бы немногопо-разному в зависимости от того, на каком детекторе она зарегистрировала событие; эта разница, какой бы небольшой она ни была, повлияет на атомы и фотоны вокруг нее. Аналогично частицы, которые столкнулись с атомом, как это бьuю описано в примере про декогеренцию,будут взаимодействовать с другими объектами, претерпевать оптические переходы и т.п.
Чем более макроскопична квантовая суперпозиция, тем с большей вероятностью она будет включать в себя все новыеобъекты. Запутанность, возникающая при любом измерении, намеренном или ненамеренном, неизбежно расширяется и со временем охватывает всю Вселенную, порождая гигантское состояние суперпозиции.Ситуации, подобные измерению,-в которых состояние микроскопического объекта влияет на состояние макроскопических-возникают в природе бесконечно часто. Соответственно, Вселенная оказывается в невообразимо сложном состоянии суперпозиции. Доводяэти рассуждения до логической крайности, можно было бы сказать,что вся случайность в мире имеет квантовую природу. Например,когда мы бросаем монетку, на ее движение влияют крохотные колебания наших рук и движение молекул воздуха; на то и другое, в своюочередь, действуют квантовые флуктуации.
Каждый ураган являетсярезультатом какой-то квантовой флуктуации когда-то в прошломгде-то в мире. Для любого возможного результата некоторого случайного события или серии таких событий, сколь угодно маловероят-125ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление2.5.Кошка ШрёдингераКошка Шрёдингера представляет собой нечто более сложное, чем просто суперпозицию мертвого и живого состояний некоей кошки. Вот цитата из статьи Шрёдингера1935 г.в немецком журнале Naturшissenschaften («Естественные науки»)* .«Кошка заперта в сталыюм ящике вместе со следующим устройством (котороедолжно быть ограждено от прямого вмешательства кошки): в счетчике Гейгераимеется крохотное количество радиоактивного вещества, настолько маленькое,что на протяжении часа может распасться один атом, а может, с равной вероят ностью, не распасться ни одного; если атом распадется, трубка счетчика разрядится и посредством реле освободит молоток, который ра.10бьет небольшую ампулус синильной кислотой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
