Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Предположим, что начальное состояние фотона IЧJ)= а!Н) + PIV)с амплитудами а и р, необязательно равными (хотя мы по-прежнему считаемих действительными) 1 • После первого измерения общее состояниефотона и Алисы:IЧТ) =alH)@IАлисаувиделаН)+ PIV)@!Алиса увиделаV).(2.42)Дерево суперпозиции ветвится с каждым последующим измерением. Однако рассуждения, которые мы провели выше для случая а= р,работать не будут, поскольку разные ветви будут входить в деревосуперпозиции с разными амплитудами.
Чтобы разобраться с этимвопросом, модифицируем дерево суперпозиции следующим образом.Воспользуемся приближением:(2.43)W. Н. Zurek, Environment-Assisted Invariance,in Quantum Physics, Physical Review Letters 90, 120404(2003); ProbaЬilities from entanglement, Born's rule from invariance, Physical Review А 71,1Этот вывод сделан на основе статейEntanglement, and052105 (2005).132ProbaЬilitiesГЛАВАгде тн и mv -2.ЗАПУТАННОСТЬнатуральные числа. Выбирая эти величины достаточнобольшими, мы можем аппроксимировать любые действительные а и Рсколь угодно точно.
Алисаэто сложная квантовая система; ее гиль-бертово пространство очень многомерно. Поэтому в соответствиис упр. А.25, мы можем ввести множество ортонормальных состоянийАлисы {1 h;(I))} :,: и {1 v)1))} :: , таких что1тн!Алиса увидела Н в l-м измерении)= Fн t;lh!1));1!Алиса увидела Vв l-м измерении)= Гт:t;lviПодставив эти разложения вместе свЭта суперпозиция имеет тн(2.43)(2.44)mv11 ).(2.42),(2.45)получаем+ mv ортогональных членов,причем тнсоответствуют наблюдению горизонтальной поляризации, а mv -вертикальной. Каждое следующее измерение вызывает дальнейшее ветвлениедерева суперпозиции таким способом, что после п измерений оно насчитывает всего (тн+ mv)"ветвей (рис.2.5Ь).
Важно, что все ветви теперьимеют равные амплитуды, так что мы можем продолжать рассужденияаналогично тому, как рассуждали в уже изученном случае аУпражнение2.60.= р.Для состояния суперпозиции, приготовленногопосле п измерений:а) вычислите долю членов, содержащихрезультатов1k результатов IH)и п- kV);Ь) оцените полученный результат численно и постройте график егозависимости отk дляп= 100 'а2= .l4 'А 2 =1.4'·t-'с) ·вычислите гауссово приближение в окрестностяхгично упр.k = a 2 n анало-2.59.Ответ:а)(n)kmk mn-k .нЬ) см. рис.v2.6,Ь;с) A(n)exp[ (k-~ 22n) 2 ].2а р п(2.47)133ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАМы снова видим, что правило Борна выполняется в подавляющембольшинстве миров. Можно заключить, что постулат об измеренияхв квантовой механике следует из постулата о гильбертовом пространстве и унитарности квантовой эволюции.
Означает ли это, что нам следует отказаться от этого постулата из-за его избыточности и логической противоречивости?К сожалению, мы не можем этого сделать. Даже из приведенногопримера видно, как трудноской точки зрения--и с вычислительной, и с психологичепользоваться этим подходом в практическихцелях. По существу, всякий раз, когда мы хотим предсказать результатизмерения фотона, нам нужно вычислять волновую функцию Вселенной! Если наша цель в том, чтобы делать предсказания для явлений,с которыми сталкиваются конечные наблюдатели вроде нас, людей,гораздо разумнее просто считать, что волновая функция коллапсируетпоскольку именно это с ней и происходит с субъективной точки-зрения наблюдателя. Тогда нашим инструментом становится копенгагенская интерпретация.
Поэтому в оставшейся части этой книги мыбудем «затыкаться и считать», лишь изредка ссылаясь на многомировую интерпретацию, чтобы увидеть более широкую перспективу.2.5.Квантовые вычисленияИдея квантовых вычислений состоит в том, чтобы использоватьв качестве основных единиц информации квантовые биты. В отличиеот классического бита, кубит может находиться не только в определенном состоянии 1О) или11), но ив суперпозиции этих состояний.
Соответственно, множественные кубиты тоже могут находиться в состояниях суперпозиции, запутанных по отношению к гильбертовым пространствам отдельных кубитов.Именно запутанность делает квантовый компьютер намного болеемощным, чем классический. Рассмотрим, например, три кубитав суперпозиции:а 0001000) + а 001 1001) + а 010 1010) + а 011 1011) ++ а 100 1100) + а 101 1101) + а 110 1110) + а 111 1111).(2.48)Производя некоторый набор логических операций с этими тремякубитами в данном состоянии, мы одновременно производимих со всеми13423 = 8множествами значений кубитов, содержащихсяГЛАВАв состоянии(2.48).2.ЗАПУТАННОСТЬТаким образом мы получаем экспоненциальнуюстепень параллелизма в вычислениях.
К примеру, даже крохотный30-кубитный квантовый компьютер будет работать в миллиард (2 30 "" 109 )раз быстрее своего классического эквивалента.Конечно, квантовые вычисления не так просты, как может показаться на этом примере. Проблемы возникают и на теоретическом,и на практическом уровне. Вот всего один пример. Предположим,квантовый компьютер провел расчет на множестве задач в состояниисуперпозиции и теперь нам нужно узнать ответ для той из этих задач,которая нас в данный момент интересует. Но ведь ответы для всехзадач на выходе квантового компьютера тоже находятся в состояниисуперпозиции! Если попытаться измерить это состояние, мы получим результат, соответствующий одному случайно выбранному членусуперпозиции. А систематическое считывание конкретного члена, связанного с интересующей нас задачей, невозможно.Таким образом оказывается, что параллелизм, предлагаемый квантовыми компьютерами, полезен для решения только очень ограниченногокласса задач.
Одна из них-разложение на простые множители больших чисел, что, как известно, для классических компьютеров экспоненциально сложно и потому используется как основа для систем шифрованияс открытым ключом (разд.1.6). Технология быстрого разгадывания шифров с открьпым ключом представляет существенную угрозу для информационной безопасности общества.
Это одна из причин, по которым квантовые вычисления остаются предметом интенсивных исследований.К счастью, эта угроза пока не самого ближайшего будущего, потомучто квантовый компьютер очень трудно построить. Как мы уже говорили в разд.2.4, любое взаимодействие квантового состояния со средойделает среду частью суперпозиции. С точки зрения наблюдателя, который не имеет контроля над средой, это эквивалентно коллапсу суперпозиции. Вероятность такого события особенно высока для многосоставных запутанных состояний, поскольку взаимодействие любого из входящих в него кубитов со средой вызовет декогеренцию всей суперпозиции.Это одна из основных причин, по которым технология квантовых вычислений развивается так медленно.
В настоящий моментмы не знаем даже, какая физическая система лучше всего подходитна роль носителя квантовой информации. Исследовательские группыпо всему миру изучают разные системы-атомы и ионы в ловушках,сверхпроводящие цепи, квантовые точки и даже жидкости,-пытаясь определить степень их перспективности для этого применения.135ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАФотон, кстати говоря, тоже оказывается перспективным кандидатом.Дело в том, что средняя энергия оптического фотона(2-4 эВ)соответствует нескольким десяткам тысяч кельвинов, что намного превышаеттипичную для окружающей нас среды темпераrуру.
В результате шансына то, что фотоны будут взаимодействовать с этой средой, не слишкомвысоки, поэтому они относительно устойчивы к декогеренции. Крометого, поляризация фотона представляет собой естественную кодировкукубита: например, логическое состояние1 О)горизонтальной поляризации, а состояние11) -может соответствоватьвертикальной.С таким кодированием также несложно осуществлять однокубитные логические операции.
Например, мы можем выполнить логическую операцию отрицания(NOT gate) посредством полуволновой плаосью, ориентированной под углом Зл/ 4 к гористинки с оптическойзонтали: состояниеупр.gate)10) CIH))1.24). Еще одна важная(см. упр.1.27)при этом станетоперациялс матрицей Н===-11) CI V))и наоборот (см.вентиль Адамара11)r;:; (1"2 1 -1(Hadamard, который переводитдруг в друга состояния канонической и диагональной поляризации.Вентиль Адамара реализуется при помощи полуволновой пластинки,ориентированной под углом л/8 к горизонтали.Чтобы получить полный диапазон вычислительных возможностей, доступных классическому компьютеру (машине Тьюринга),нам дополнительно потребуются условные операции, в которыхкубиты взаимодействуют между собой: состояние одного кубита влияло бы на состояние другого. Теоретическое исследование показало:для постройки универсального квантового компьютера достаточнов дополнение к однокубитным операциям иметь возможность реализации всего лишь одного типа двухкубитных операций: вентиля контролируемого отрицанияция такой операции-[controlled NOT (C-NOT) gate].Реализасвятой Грааль квантовых вычислений в любойфизической системе.
Особенно сложно добиться этого от фотонов.ВентильC-NOTпредполагает участие двух кубитов: управляющего и целевого. Если состояние управляющего кубита 1О), то вентильне изменяет значений кубитов. Но если управляющий кубит равенто значение целевого кубита «переворачивается»:а111)становится10).
Этопоказано в табл.10)становится11),11 ),2.2 1 •Обратите внимание: выходное значение целевого кубита соответствует результатудействия вентиля «исключающее ИЛИ»136(XOR).ГЛАВАТаблица2.2 Таблица истинностивентиля2.ЗАПУТАННОСТЬC-NOTВыходВходУправляющийЦелевойУправляющийЦелевой10)10)10)10)10)11 )10)11 )11 )10)11)11)11 )11)11)10)ВентильC-NOTможно представить себе в виде гномика, которыйсмотрит на поляризацию управляющего фотона и, если она вертикальна, вставляет на пути целевого фотона полуволновую пластинкупод углом45°.Проблема в том, что гномик должен каким-то образом проделывать это без измерения управляющего фотона, посколькутакое измерение запутало бы его (гномика) с кубитами и вызвало коллапс их квантового состояния (подразд.2.4.1).Как явствует из следующих упражнений, это теоретически возможно.Упражнение2.61.Напишите матрицы операторов, соответствующие следующим операциям над парой кубитов.
Логическое состояние1О)кодируется горизонтальной поляризацией, а логическое состояние11) -вертикальной.а) ВентильC-NOT.Ь) Операция, которая оставляет состоянияменном виде, но умножает состояниетель-1100),l11) на1О1),11 О)в неизфазовый множи(управляемый фазовый сдвиг, или вентильC-Phase).с) Тензорное произведение единичного оператора для первогокубита и вентиля Адамара для второго (целевого) фотона.Унитарны ли эти операции?УправляющийВентильЦелевойРис.2. 7.C-PhaseВентильВентильАдамараАдамараРеализация вентиляC-NOTс использованием вентиляC-Phaseи двух вентилей Адамара137ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение2.62.Покажите, что вентильC-NOTможет бытьпостроен путем последовательного применения вентиля Адамарав пространстве Боба, управляемого фазового сдвига и вновь вентиляАдамара в пространстве Боба (рис.Упражнениефотонами2.63.можетfI = noolW)(WI2.7).Покажите, что вентильбытьC-Phaseреализован действиеммежду двумягамильтонианав течение времени л/оо.Подсказка: другие собственные состояния гамильтонианаIHV)и1(IHH),VH)) соответствуют нулевым значениям энергии.Упражнение2.64.
Покажите, что вентиль C-NOT представляет собойизмерение фон Неймана в смысле (2.33) дляN =М = 2 при lw0 ) = lw 1 ).Упр. 2.62 показывает, что если у нас имеется вентиль C-Phase, то с егопомощью можно построить вентиль C-NOT. Это не решает задачи,но сводит ее к несколько более простой: вместо того чтобы изменятьзначения кубитов, нам достаточно всего лишь изменить их фазы. В применении к фотонам для реализации вентиляC-Phaseтребуется оптический элемент, в котором фотон претерпевал бы различные фазовые сдвиги (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
