Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Zeilinger, М.А. Horne, and А.К. Ekert, "Eventready detectors": Bell experiment via entanglement swapping, Physical Review Letters 71,4287 (1993) . Эксперимент: J.-W. Рап, D. Bouwmeester, Н . Weinfurter, and А. Zeilinger,Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted, PhysicalReview Letters 80, 3891 (1998).143ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЗапутанное состояние на выходе4Рис.2.10. Обмен запутанностью2.6.2.Квантовый повторительИ квантовая телепортация, и обмен запуганностью находят себе применение в квантовой связи. В главе1 мы узнали,что первостепеннойпроблемой, затрудняющей широкое практическое использованиеквантовой криптографии, являются потери в линиях передач.
Экспоненциальный характер закона Бугера-Ламберта-Бера, которыйуправляет этими потерями, ведет к тому, что за несколько сотен километров величина коэффициента пропускания снижается на многопорядков, что делает квантовую связь со сколько-нибудь разумнойскоростью невозможной.Разумеется, аналогичные потери наблюдаются и в обычных оптоволоконных линиях связи.
Однако в классическом случае проблема можетбыть решена с помощью повторителя-устройства, которое получаетсигнал, усиливает его и передает дальше. В квантовых же линиях такиеповторители использовать невозможно, поскольку их действие предполагает измерение состояния. С точки зрения связывающихся сторонклассический повторитель неотличим от подслушивания. В данном разделе мы поговорим о концепции квантового повторителяrepeater).(quantumХотя его принципы кардинально отличаются от принциповего классического аналога, задача та же-повысить скорость передачиинформации по линии с потерями.Первая технология, лежащая в основе квантового повторителя,-телепортация.
Если Алиса и Боб имеют общий запуганный ресурс,то Алисе нет нужды посылать фотон Бобу по прямому каналу, она144ГЛАВА2.ЗАПУТАННОСТЬможет его телепортировать. А поскольку измерение Белла можновыполнить и в локации Алисы, фотону источника достаточно будетпройти очень малое расстояние-и, соответственно, с пренебрежимомалыми потерями.Проблема потерь, однако, остается, только возникает в другомместе-а именно когда мы пытаемся создать тот самый запутанныйобщий ресурс, необходимый для телепортации, и распределить егомежду Алисой и Бобом.
Квантовый повторитель «заботится» об этоми позволяет осуществить быстрое и эффективное распределение запутанности на большие расстояния.Схематически этот процесс показан на рис.2.11.Повторительсостоит из множества звеньев, каждое из которых покрывает расстояние в несколько десятков километров. Во всех звеньях присутС'РБуют дваисточника запутанности, приспособление для измерения пар фотоновв базисе Белла и две квантово-оптические ячейки памяти. Последниепредставляют собой устройства, способные относительно долго хранитьквантовое состояние света, а затем отдавать его по требованию.Каждый источник запутанного состояния генерирует пару фотонов (рис.2.11а). Один из этих фотонов направляется к анализаторубелловского состояния, тогда как состояние поляризации другогозакладывается на хранение в память. Когда два фотона прибываютк анализатору Белла, над ними производится измерение, что делаетсостояния в памяти запутанными благодаря явлению обмена запутанностью.Источники располагаются неподалеку от ячеек памяти, чтобыминимизировать возможные потери для тех фотонов, которые кладут на хранение.
Фотоны же, подвергающиеся измерению Белла,имеют значительный шанс потеряться, хотя и намного меньший,чем если бы им пришлось полностью преодолеть все расстояниемежду Алисой и Бобом. Поэтому потребуется, скорее всего, некоторое количество попыток, прежде чем обмен запутанностью пройдетуспешно. Длина звеньев цепочки выбирается такой, чтобы ожидаемое значение для числа необходимых попыток получалось не слишком большим.Значение квантовой памятилогии квантового повторителя-второй основополагающей технозаключается в том, чтобы запутанность в пределах звена, будучи однажды создана, могла сохранятьсядостаточно длительное время, до тех пор, пока такая же запутанностьне будет создана во всех остальных звеньях.145ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАКогда все подготовительные процедуры выполнены, производитсядействие, показанное на рис.2.11Ь.
Фотоны высвобождаются из соседних пар ячеек памяти и подвергаются измерению Белла. Таким способом обмен запуганностью проходит по цепочке, по всей длине линиисвязи, в результате чего Алиса и Боб становятся обладателями парызапуганных ячеек памяти.Преимущество связи с использованием квантового повторителя передпрямой передачей можно интуитивно осмыслить примерно следующимобразом.
Чтобы прямая передача была успешна, фотон не должен потеряться где-то в линии, а вероятность этого экспоненциально низка. В протоколе же квантового повторителя потеря в одном из звеньев не приводит к разрушению запуганности, построенной в других звеньях, поэтомувероятность успеха падает с расстоянием намного медленнее.Рис.2.11.Квантовый повторитель: а-в каждом отдельно взятом звене создается запутанность между двумя ячейками памяти; Ь-после того как всеиндивидуальные звенья подготовлены, обмен запутанностью помогает распространить запутанность по цепочке через все звеньяУпражнение2.
70.Квантовый повторитель состоит из двух звеньев.Каждый источник запуганности генерирует состояниеl'P- ). ИзмеренияБелла в первом и втором звеньях обнаруживают состояния IФ+) и IФ-)соответственно. После этого измерение Белла на двух соседних ячейкахпамяти этих двух звеньев обнаруживаетl'P+).Каково результирующеесовместное состояние двух ячеек памяти, ближайших к Алисе и Бобу?146ГЛАВАУпражнение.длиной2.71.2.ЗАПУТАННОСТЬЛиния квантовой связи между Алисой и БобомL = 500км состоит из k = 10 звеньев квантового повторителя.Коэффициент потерь в линии р= 0,05 км- 1 •Расстояние между каждым источником запутанности и анализатором Белла в пределах каждого звена одинаково и равноL/2k = 25 км.Все источники запутанности генерируют пары фотонов одновременно, с частотой!=106парв секунду.а) Для единичного звена найдите вероятность получения запутанности в ячейках памяти после единичной попытки и после ппопыток.Ь) Найдите вероятность получения запутанности во всехk звеньяхпосле п одновременных попыток в каждом звене.с) Найдите времяt,необходимое для получения запутанностиво всех звеньях (и, соответственно, запутанности между ячейками Алисы и Боба) с вероятностью по крайней мереd)1/2.Алиса решила обойтись без квантового повторителя и посылаетфотоны непосредственно Бобу по оптоволоконной линии длинойL км, используя источник фотонов с частотой эмиссии!= 106фотонов в секунду.
Найдите времяt',при котором вероятностьтого, что хотя бы один из отправленных Алисой фотонов достигнет Боба, окажется равна1/2.Работу квантово-оптических ячеек памяти и измерения в базисе Белласчитайте идеальными.Мы видим, что квантовый повторитель дает преимуществона несколько порядков по сравнению с прямой передачей. Однакопрактическая реализация этого устройства представляет серьезную трудность, связанную в первую очередь с построением высокопроизводительных квантово-оптических ячеек памяти.
Эта памятьдолжна удерживать квантовое состояние долгое время и отдаватьего по запросу точно и без потерь. На момент написания этой книгиквантово-оптическая память с рабочими характеристиками, пригодными для использования в квантовых повторителях, еще не получена,но эта область исследований стремительно развивается, и специалисты то и дело объявляют о новых прорывных открытиях 1 •1А.1. Lvovsky, В.С. Sanders, and W. Tittel, Optical Quantum Memory, Nature Photonics 3,706-714 (2009); N. Sangouard, С. Simon, Н.
De Riedmatten, and N. Gisin, Quantum repeatersbased on atomic ensemЫes and linear optics, Reviews of Modern Physics 83, 3380 (2011).147ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА2.7.ЗадачиЗадача2.1.Преобразуйте квантовый протокол сверхплотного кодирования для случая, когда первоначально Алиса и Боб располагаютсостоянием 1Чт+), 1ф+) или 1Ф-).Задача2.2. Для наблюдаемого &z C8J& 0 , гдевыполните следующие расчеты.а) Найдите матрицу в каноническом базисе{ 1НН), 1HV), 1 VH),IW)}.Ь) Найдите матрицу в базисе Белла.с) Определите собственные состояния и собственные значения.Подсказка: не нужно решать никаких уравнений.d)Вычислите ожидаемую величину и неопределенность в белловском состоянииЗадача1w-).2.3.
Два кубита взаимодействуют всоответствии с гамильтонианомНачальное состояние кубитов IЧ1 (О))=IHH).Найдите IЧ1(t)) в каноническом базисе.Задача2.4. Тензорное произведение гильбертова пространства фотонов Алисы и Боба эволюционирует в соответствии с гамильтонианомfI = hro (&х C8J &х +&у C8J &у+& z C8J &z) ·а) Найдите матрицу 4 х 4 гамильтониана в каноническомЬ) Найдите матрицу оператора эволюции е -i нr .базисе.с) Чему равно конечное состояние системы после периода времениrot = л/ 4,если начальное состояние есть произвольное разделимое состояние (alH)148+ blV))(8)(clH) + dlV))?ГЛАВАЗадача2.5.Состояние Гринбергера-2.ЗАПУТАННОСТЬХорна- Цайлингера11'11Gнz)= J2(1HHH)+IVW))распределено между Алисой, Бобом и Чарли.
Перепишите l'Pcнz>:•в базисе, который является каноническим в гильбертовом пространстве Алисы, диагональным в гильбертовом пространствеБоба и круговым в гильбертовом пространстве Чарли;•в базисе, который является белловским у Алисы с Бобом и каноническим у Чарли.Задача2.6. Алисаи Боб имеют два общих фотона в состоянии поляризации1'11)= ~(IHH)+ilVH)+ЗIW)).'111а) Алиса и Боб производят измерения каждый на своем фотоне.Найдите вероятности всех возможных результатов.Ь) Только Алиса производит измерение поляризации на своемфотоне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
