Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, волна, связаннаяс движущимся по орбите электроном, испытывает конструктивную интерференцию сама с собой. Эта гипотеза позволила ученому теоретически предсказать спектры атомов, идентичные спектрам Бора (упр.4.42) и согласующиеся с э кспериментальными данными.Подобное совпадение послужило сильным аргументом в пользу гипотезы деБройля. Еще более непосредственное свидетельство было получено в Лабораториях Белла в1927г. Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер, наблюдая рассеяниепучка электронов на кристаллической решетке никеля, обнаружили, что полученное экспериментально угловое распределение рассеянных электронов согласуетсяс законами дифракции, известными из оптики. Единственным возможным объяснением такого поведения является волноподобная природа электронов.Волновое число волны де Бройля равноk= 27t = р.AdBtz(З.29)Иногда удобно работать с собственными состояниями импульсаIP )в физически эквивалентном им виде собственных состояний волнового числаlk = p/n), поскольку в этом случае нам не нужно беспокоиться о постоянной Планка в показателе экспоненты.162ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕОднако есть одна тонкость.
Собственные состояния волновогочисла, как и любого другого непрерывного наблюдаемого, нормируются в соответствии с(k 1 k')=о(3.30)(k - k).Но, как нам известно из (Г.6), о=tz (р1р'[(k- k) =о (р- p)/tz]=tzo (р- р) =) . Мы вынуждены заключить, что(3.31)Вот еще один абсурдный, на первый взгляд, результат: два вектора,представляющие одно и то же состояние-состояние с определеннымимпульсом, имеют разную норму.
Это опять же следствие нефизичного характера нормирования для собственных состояний непрерывных наблюдаемых.Упражнение3.12§.Покажите, что волновая функция де Бройлядля собственного состояния волнового числа принимает вид:(x[k)=-l-e;1cx.Г21с(3.32)Покажите, что собственные состояния координаты и волновогочисла выражаются друг через друга согласно(3.33)(3.34)Проверьте согласованность результата с условием нормирования(3.30).3.3.Координатный и импульсный базисы3.3.1. Преобразование между координатными импульсным базисамиПоговорим о проблеме преобразования представлений различныхсостояний и операторов между координатным и импульсным бази-163ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАсами.
Как и в дискретном случае, главным инструментом такого преобразования является разложение единичного оператора, т. е. мыиспользуем тот факт, что оператор--(3.5)l= J lx)(xldx= J IP)(pldp(3.35)можно вставить в любое выражение со скалярным произведением.Упражнение3.13.Найдите явные формулы для преобразованиякоординатного представления \j) (х) заданного квантового состоянияIЧJ) в импульсное представление \jl(p) и обратно.Ответ:l-1\jl(X) = ~2тtfi1;1'~\jl(p )е ;, dp ;+«>(3.3ба)-iE(3.3бЬ)\jl(p)= rn=J\j/(X)e "dx.'\/21t1i ~Упражнение3.14§.Покажите, что преобразование волновой функции в координатном представлении в представление в базисе волновых чисел, а также обратное преобразование задаются, соответственно,прямым и обратным преобразованием Фурье:1 -\jl(X) = ~J\jl(k)eikxdk;(3.37).J \jl(X)e-'kxdx,(3.38)'\/21t ~1 -\jl(k) = ~'\,/21t ~где_(k)о/( р) = \jlltiдляр =(3.39)kh.В данном курсе для обозначения волновых функций в импульсномпредставлении или представлении на основе волнового числа мыбудем использовать тильду [к примеру, \jl(p) или \jl(k) ].Упражнение3.15.Как мы знаем (разд.
А.4), скалярное произведение любых двух состояний IЧJ) иl<p) не зависит от базиса, в которомоно вычисляется. Убедитесь в этом явно для координатного и импульсного базисов, т. е. покажите, что164ГЛАВА-3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ-J 'l''(x)<p(x)dx = J "1' (р)ф(р)dр'используя только соотношения(3.36)и свойства преобразованияФурье.Упражнение3.16.Покажите, что для состояния с действительнойволновой функцией ЧJ (х) выполняетсяpr (р)=pr (-р ),а математическое ожидание для наблюдаемого импульса равно нулю.Упр~нение 3.17. Матричный элемен~ А (х, х') = ~~ 1А1 х') оператора А известен для всех х их'.
Найдите А(р,р')= (p!Alp').Упражнение3.18.Рассмотрите функцию V(x) оператора координаты. Напишите элемент матрицы этого оператора:а) в координатном базисе;Ь) в импульсном базисе.Ответ:= V (х) 8 (х -а)V (х, х')Ь)V(p,p')=-1-fх');e*x(p'-pJV(x) dx2тсn ~(3.40)(3.41)Если вы уже изучали введение в квантовую механику, то вам, возможно, встречалось выражениеd•лp=-Indx,(3.42)означающее, что импульс соответствует оператору дифференцирования волновой функции. В контексте более строгой теории, рассматриваемой нами здесь, это утверждение не имеет особого смысла.
Операторы действуют на векторы состояния, а волновая функция не является вектором; она представляет собой скалярное произведениедвух векторов, т. е. число. Какое действие может оператор оказыватьна число? Давайте разберемся.3.19. Покажите, что элемент матрицы импульсав координатном представлении задается формулой:Упражнение(xlJ3lx')(xlJ3lx')=-ili ~ 8(x-x')=ili ;,о(х-х').(3.43)165ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение3.20.Покажите, что для произвольного состояния IЧJ)(3.44)Этот результат объясняет смысл уравнения(3.42).Если состояниеIЧJ) в координатном базисе имеет волновую функцию ЧJ (х), то состояние р IЧJ) имеет волновую функцию -ind\jf(x)/dx.
Именно в этомсмысле данное уравнение используется при вычислениях, несмотряна то что со строго математической точки зрения оно вызывает вопросы.Упражнение3.21 §.Получите аналоги приведенных выше результатов для оператора координаты в импульсном представлении.а) Покажите, что соответствующий матричный элемент равен(plxlp') = iп--°--ьсрр').dp(3.45)Ь) Покажите, что для произвольного состояния IЧJ)(v lxl 'V) = in--°-- Чf(р) .(3.46)dpУпражнение 3.22. Покажите, что(xlf1 l'V) = -n d222 \jf(x)/ dx 2•3.3.2. Неопределенность координаты и импульсаТеперь, когда у нас есть некоторый опыт смены координатного базисана импульсный и обратно, мы готовы ввести для этих наблюдаемыхсоотношение неопределенностей.
Как мы знаем из подразд.1.9.3,соотношение неопределенностей, соответствующих любым двумнаблюдаемым, определяется их коммутатором.Упражнение3.23.Покажите, что для любого состояния 1ЧJ):а) (xlfPl'V) = -inx ~ \jf(x);(3.47)Ь)(3.48)(xlflxl'V)=-inx ~ 'V(x)-in\jf(x);с) [х, р] =in.Упражнение(3.49)3.24.Покажите,чтопринципнеопределенности Гейзенберга для координатного и импульсного наблюдаемыхи для любого состояния IЧJ) имеет вид:166ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ(3.50)Таким образом, мы получили принцип неопределенности в его первоначальном виде: состояние частицы с одновременно точно известными координатой и импульсом невозможно 1 •Упражнение3.25.Выполните для гауссовой волновой функции(3.51)следующие вычисления:а) проверьте нормирование;Ь) найдите соответствующую волновую функцию в импульсномбазисе.Подсказка: используйте стандартные правила преобразованияФурье.Ответ:(3.52)с) Определите математическое ожидание и неопределенностькоординаты и импульса, а также произведение этих неопределенностей.Ответ:(3.53)Мы видим, что для гауссовых состояний произведение дисперсий координаты и импульса равно 11.
2 /4-минимальному значению,которое допускает принцип неопределенности. Можно соотнестинеопределенность координаты-импульса со свойствами преобразования Фурье (разд. Г.2): если волновая функция в координатном базисе «сужается>>, ее Фурье-образ, т. е. та же волновая функцияв импульсном базисе, «расширяется». Общий принцип квантовойнеопределенности, конечно же, много шире: он действует для любой1На самом деле оригинальная формулировка Гейзенберга была немного иной (см.отступление3.3).167ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАпары некоммутирующих наблюдаемых, вне зависимости от того, связаны они между собой преобразованием Фурье или нет.Упражнение(3.51) -3.26*§.Покажите, что гауссовы волновые пакеты видаэто единственные состояния, для которых неравенство(3.50),выражающее принцип неопределенности, становится равенством 1 •3.3.3.
Парадокс Эйнштейна -ПодольскогоРозена-в первоначальном видеДавайте теперь воспроизведем еще один научный шедеврдокс Эйнштейна-Подольского-Розена1935 г.В подразд.- пара2.3.1 мыизучили вариант этого парадокса, адаптированный к той квантовойсистеме, которую мы тогда рассматривали,-к поляризации фотона.Теперь же у нас имеется достаточно инструментария, чтобы разобратьрассуждения ЭПР в их изначальном виде.Предположим, что каждый из двух наблюдателейи Боб--и Алиса,удерживает одномерную точечную частицу.
Эти две частицыприготовлены в запутанном состоянии IЧ1лв> с волновой функцией(3.54)(нормированием пренебрегаем). Иными словами, частицы Алисыи Боба (в своих соответствующих системах отсчета) всегда имеют однуи ту же пространственную координату, но конкретное значение этойкоординаты совершенно случайно.Упражнениении3.27.Дайте ответы на следующие вопросы о состоя(3.54).а) Какова волновая функция двух частиц в импульсном представлении?Ь) Предположим, Алиса проводит измерение координаты своейчастицы и получает результат х0 • На какое состояние спроецируется частица Боба?с) Предположим, Алиса вместоэтогопроводит измерениеимпульса своей частицы и получает результат р 0 • На какое состояние спроецируется частица Боба?1Решение можно найти, к примеру, в:light (Cambridge University Press, 1997).168Ulf Leoпhardt,Measuriпgthe quantum state ofГЛАВАОтступление3.3.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕМожно ли одновременно измерить координатуи импульс?В своей оригинальной работе* Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности следующим образом:"Чем точнее определяется положение, тем менее точно известенимпульс, и наоборот»**.Продемонстрируем недостаток этой формулировки путем наглядного контрпримера***.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
