Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Чарльзом Таунсом и его коллегами*. Источником излучения, использованным в этом мазере, бьта молекула аммиакаNH 3 ,показанная на рисунке справа.Молекула имеет форму пирамиды, основание которой образуют три атома водорода, а на вершинерасполагается атом азота. Такое его положениесоответствует минимуму потенциальной энергии,представленному одной из дельта-функций. Другая дельта-функция соответствует зеркальномуотражению этой же конфигурации, где атом азота располагается ниже плоскостиоснования. Обе конфигурации обладают одинаковой энергией, и суmествует ненулевая вероятность «перепрыгивания» атома азота из одной конфигурации в другую.
В результате энергетическими собственными состояниями являются не верхнее и нижнее положения атома азота, но их симметричные и антисимметричныелинейные комбинации, как в упр.3.44. Именно переход между этими двумя состояниями порождает 24-гигагерцовое микроволновое излучение, испускаемое мазером.• J. Р. Gordon, H.J. Zeiger, and С. Н. Townes, Mo/ecular Microwave Oscillator and Nеш HyperfineStructure in the Microwave Spectrum of NНЗ, Physical Review 95, 282 (1954); J.
Р. Gordon,Н. J. Zeiger, and С. Н. Townes, The Maser - Nеш Туре of Microwave Amplifier, Frequency Standard,and Spectrometer, Physical Review 99, 1264 (1955).а) Найдите уравнение для собственных значений энергии (рассмотрите и четный, и нечетный случай). Сколько решений оноимеет?Ь) Покажите, что в пределе при а~ оо это уравнение становитсяидентичным уравнению для единичной ямы.с) Найдите выражение для значений энергии и волновых функцийсобственных состояний гамильтониана для потенциалавплоть до первого порядка при112 /wома «(3.72)1.Ответ: энергии четного и нечетного состояний равны(З.73)Наблюдаемое здесь поведение часто встречается в квантовой механике.
Так, протон образует притягивающий потенциал для свободногоэлектрона; этот потенциал порождает связанные состояния, которые мы называем атомом водорода. Если имеются два удаленных185ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАдруг от друга протона и один-единственный электрон, то состоянияэлектрона, связанного с любым из протонов, соответствуют одномуи тому же собственному значению энергии-так что это вырожденное значение. Но если протоны находятся достаточно близко другк другу, и следовательно, на электрон действуют оба потенциала одновременно, то энергетические собственные состояния становятся нелокальными, а вырожденность собственного значения энергии снимается: энергетические уровни расщепляются, как в уравнении(3.73).Это расщепление можно использовать в практических приложениях,как рассказывается в отступлении3.6.Более того, отрицательныйсдвиг энергии одного из новых энергетических собственных состояний может превысить положительный потенциал, возникающийвследствие кулоновского отталкивания двух протонов; в такой ситуации будет образована молекула.Упражнение3.45.
В условиях предыдущей задачи(удаленные другот друга ямы) предположим, что в момент времени t = О частица локализована в первой яме (т. е. ее волновая функцияция из упр.3.41-это волновая функс центром в х =а). Как будет себя вести вероятностьнайти ее во второй яме в зависимости от времени?В заключение давайте выведем важное свойство связанных состояний, которое пригодится нам позже.Упражнение3.46*.Покажите, что связанные энергетические собственные состояния точечной частицы с единственной степенью свободы не могут быть вырожденными, если потенциал ограничен снизу.3.7.Несвязанные состоянияВолновые функции несвязанного состояния принимают конечные ненулевые значения при х ~ -оо, или при х ~ +оо, или в обоих случаях.
Как мыуже выяснили, это происходит, когда энергия Е удовлетворяет условиюЕ> V(-оо) или Е> V( +оо).(3.74)Простейшим примером несвязанного состояния может служитьсобственное состояние импульсаlp)в свободном пространстве. Связанное с ним собственное значение энергии Е = р 2 /2М превышаетпотенциал186V (х)=О.ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПоскольку, в отличие от связанного состояния, у нас здесь нет граничного условия ЧJ (х) ~ О при х ~ ±ос, уравнение Шрёдингера(3.60)имеет решение для любого значения энергии [если только выполняетсяБолее того, в некоторых случаях энергетические соб(3.74)].ственные состояния вырождены.
Именно так, например, обстоит делос потенциалом свободного пространства, в котором состояния1 ±р>обладают одинаковой энергией.Существование собственного состояния для любого значения энергии, удовлетворяющего(3.74),означает, что энергия в этой областистановится непрерывным наблюдаемым (см. отступление3.7). По этойпричине несвязанные состояния иногда называют состояниями непрерывного спектра. Скажем, в ситуации рис.тен для Е<3.1спектр энергии дискреО и непрерывен для Е ~ О.Как мы знаем из разд.3.2,нормирование для собственных состояний непрерывных наблюдаемых-дело хитрое и неоднозначное.Поэтому, как правило, при анализе волновых функций несвязанныхсостояний о нормировании мы не думаем.3. 7.1.Потенциал-ступенькаУпражнение3.47§.Найдите волновые функции, соответствующиесобственным состояниям гамильтониана с потенциаломV (х) = { оV0(рис.3.4),при х~ опри(3.75)х>осоответствующим заданной энергии Е> V0 ,принимаяво внимание условие непрерывности самой волновой функции и еепроизводной при х = О.Ответ: любая волновая функция вида(3.76)гдеko = '12МЕ / n,k1 = ~2М(Е - V0 )/n и четыре амплитуды А, В, С, DудовлетворяютА+В=C+D;ik 0 (А -В)=ik 1 (С- D).(3.77а)(3.77Ь)187ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3.7.Энергия: дискретное или непрерывное наблюдаемое?Дискретный или непрерывный характер большинства наблюдаемых, которые мыизучали до сих пор, зависит от их физической природы.
Для энергии же он зависит от конкретных физических обстоятельств, о которых идет речь: энергетическийспектр дискретен внуrри потенциальных ям и непрерывен для несвязанных состояний. Более того, энергетический спектр в одних и тех же условиях может содержатьи дискретные, и непрерывные области. Именно так обстоит дело в случае конечнойямы (упр.3.39), где состояния становятся несвязанными, а спектр энергий -рывным для Е> V0 •непреЕсть и более физичный пример: электрон может находитьсяв связанном состоянии по отношению к ядру, образуя вместе с ним атом с дискретным энергетическим спектром, или в несвязанном состоянии с непрерывным спектром, соответствующим ионизированному атому.Можно возразить, что энергия по природе является непрерывной переменной,а форма потенциальной функции определяет лишь, какие значения этой переменной связаны с собственными значениями гамильтониана. Однако по определению(подразд.1.9.1)именно эта связь устанавливает разрешенное множество значенийоператора квантового наблюдаемого.
Если энергетические собственные состояниясуществуют для дискретного набора значений, то и сам оператор энергии становитсядискретным наблюдаемым.Мы знаем, что дискретные и непрерывные наблюдаемые следуют разным правилам нормирования. Удивительным образом энергетические собственные состояния этим правилам подчиняются. Связанные состояния имеют квадратично интегрируемые волновые функции, разрешающие применение нормировочного правиладля дискретного спектра (Е, 1 Е) = 5,г Несвязанные волновые функции, в свою очередь, имеют бесконечную норму, как и следует ожидать для состояний непрерывного спектра.Еще одна интересная особенность энергетических собственных состоянийзаключается в том, что, каким бы сложным ни был их спектр, они обязательнообразуют базис в гильбертовом пространстве состояний, которые физически разрешены в условиях заданного потенциала.
Например, все энергетические собственные волновые функции бесконечной потенциальной ямы (упр.3.40) за пределами-ямы уходят в нуль. Соответственно, натянутое на них гильбертово пространствоэто пространство не всех возможных функций, но только функций, локализованных внутри ямы, т. е.
тех, которые разрешены в условиях потенциала этойформы.Видим, что общее решение зависит от четырех параметров, тогдакак условия непрерывности порождают только два уравнения(3.77).Нормирование дало бы еще одно дополнительное уравнение; однакомы договорились пренебречь нормированием, а потому можно простосказать, что любые две волновые функции, различающиеся на постоянный множитель, физически идентичны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
