Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Волновые функции де Бройляи(3.62) -(3.61)а следовательно, и любая другая волновая функция, соответствующая той же энергии,-могут быть записаны как линейныекомбинации этих действительных волновых функций.Таким способом упр.3.36упрощает для нас поиск решенийстационарного уравнения Шрёдингера. Мы можем ограничитьпоиски только действительными волновыми функциями без опасениячто-нибудь «пропустить»: любое другое решение может быть записанокак их линейная комбинация.178ГЛАВАУпражнение3.37.3.Рассмотрим множествоОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕSE, состоящее из всех собственных состояний гамильтониана с собственным значением энергии Е.Покажите, что еслиствует остовSE,V(х) есть четная функция координаты, то сущесостоящий из состояний только с четными и нечетными волновыми функциями.3.6.Связанные состоянияСвязанные состоянияцией, которая на(bound states) характеризуются волновой функобоих концах - при х ~ со и х ~ -со - стремитсяк нулю, так что частица демонстрирует некоторую степень локализации.
Это свойство типично для энергетических собственных состоянийв потенциальных ямах, т. е. в полях, где частица тяготеет к определенной локации или определенному набору локаций. Среди физическихпримеров можно назвать горошину в чайной чашке, шарик на пружине (гармонический осциллятор) или электрон в атоме. Для потенциалов такого типа мы обычно пользуемся упр.3.36 иищем решениястационарного уравнения Шрёдингера в действительной области.Упражнения3.38.
Рассмотрим потенциал V(x), который при~ ±со асимптотически сходится к величинам V1 ,2 соответственно.1xlПокажите, что энергетическое собственное состояние является связаннымв том и только том случае, если его энергия не превосходитmin (Vl' V2 ).Граничные условия, наложенные на волновую функцию прих ~±со, дополняют дифференциальное стационарное уравнение Шрёдингера, порождая краевую задачу. Задача эта имеет решение толькодля определенных, дискретных значений энергии.
Иными словами,связанные состояния существуют для дискретного, или квантованного, спектра собственных значений энергии, которые называют энергетическими уровнями.Упражнение3.39.Найдите энергетические собственные значенияи собственные волновые функции для потенциала прямоугольнойямы конечной глубиныV(x)=при{ vo для lxl >а/ 2О для lxl :<:::;а/ 2V0 > О(рис.(3.65)3.1).179ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАVo-а /Рис.3.1.[777777777777777771Потенциал для упр.V,777777//02а/23.39а) Напишите общее решение для каждой области, где потенциалпостоянен. Исключите нефизичные слагаемые, возрастающиена бесконечности.Подсказка: воспользуйтесь результатом упр.3.37.Ответ: обобщенная нечетная волновая функция имеет вид:1-Векх, х<-а/2'l'(x)= Asinkx,ве- кх,-а/2~х~а/2,(3.66)х>а/2а обобщенная четная функциявекх, х<-а/2'l'(x)= j Acoskx,Ве-кх,-а/2~х~а/2,(3.67)Х>а/2гдеk= J2iiE1i'(3.68а)~2M(V-Е)_ _0__1i.(3.68Ь)к-....:..._-Ь) Примените упр.3.35 для«сшивания» этих результатов воедино.Покажите, что значения энергии, для которых одновременнодостигается непрерывность как волновой функции, так и ее производной при х = ±а/2, должны подчиняться трансцендентнымуравнениямtge=~v02-1для четных волновых функций и-ctge =180~v02-1ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕдля нечетных волновых функций, гдеka2е=-и е~2MV0 а.=211ос) Решите эти уравнения численно и постройте графики энергийтрех самых низких связанных состояний в зависимости от глубиныV0потенциальной ямы.Ответ: см.
рис.а)Е, в единицах3.2 а.ti2- -2Л1:тт2 ----------~1111~-----г2ттЬ)9 ti22 Л1а 2п2в единицах-Л1а 2~-- ---~а/2- а/2Рис.V0 ,49 п 2V.=-2 Л1а 20V, = - 023.2 Решение для упр. 3.39: а --а/2--- --а/2самые низкие собственные значения энергии в зависимости от глубины ямы; для любых значенийV0есть по крайнеймере одно связанное состояние; существование остальных связанных состояний зависит от того, превышает лиЬ-V0определенные пороговые величины;волновые функции для собственных состояний с минимальной энергиейпри различной глубине ямы; яма слева поддерживает только одно, яма в середине-d)три, а яма справа-бесконечное множество связанных состояний.Какую минимальную глубину должна иметь потенциальная яма,чтобы в ней содержалось заданное число N связанных собственных состояний?Ответ: [7tli(N -1)] 2 / 2Ма 2 •181ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАе) Постройте графики волновых функций, соответствующ11)' всем возможным собственным значениям энергии для V0 =-fz 2 / Ма 2 ,V049 2 /= -fz2ний для2Ма 2 , а также трех самых низкоэнергетическихреше-vo = оо.Ответ: см.
рис.Ь.3.2Данная задача требует больше труда, чем большинство другихупражнений, но я посоветовал бы вам все же попытаться решить ееили по крайней мере тщательно разобрать решение, поскольку онахорошо иллюстрирует общие черты поведения волновых функцийсвязанного состояния. Обсудим их вкратце.Как можно понять из рис.3.2Ь, волновая функция продолжаетсяи за пределами потенциальной ямы, так что существует ненулеваявероятность нахождения частицы в той области, где потенциал выше,чем энергия данной часrицы. Разумеется, это откровенно неклассическоеявление: если бы наша часrица бьmа классическим шариком, мечущимсяв щели между двух стенок, мы никогда не обнаружили бы ее вне этойщели.
Чем больше разница между энергией состояния Е и глубиной ямыV0 , тем быстрее падает волноваяфункция за пределами ямы и тем нижевероятность нахождения частицы в этой области. В пределе приV0~ ооэта вероятность стремится к нулю. В данном случае задача, как мы увидим в следующем упражнении, допускает аналитическое решение.В отличие от экспоненциального падения за пределами ямы, внутри нее волновая функция демонстрирует осциллирующее поведение, в соответствии с упр.3.33.
Длякаждого последующего энергетического собственного состояния число раз, которые волновая функцияпересекает ось абсцисс, возрастает на единицу. Рост этого числа связанс более быстрыми пространственными осцилляциями, с более высоким волновым числом-и, следовательно, с более высоким значениемэнергии. Соответственно, для каждого ненулевого числа пересеченийсуществует определенный минимальный потенциал, ниже которогоэтого связанного состояния уже не существует (рис.3.2 а).Чем глубжеи шире потенциальная яма, тем больше связанных состояний онаможет поддерживать.
Однако, какой бы мелкой эта яма ни была, онаподдерживает по меньшей мере одно связанное состояние-с волновой функцией, не пересекающей оси абсцисс.Упражнение3.40.Найдите энергетические собственные значенияи волновые функции связанных стационарных состояний для упр.в случае1823.39V0 ~ оо (известном как бесконечно глубокая потенциальная яма).ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕОтвет: Дискретный энергетический спектр сn2тt2n2Еп(3.69)=--2Ма 2и собственными волновыми функциямиптсх) ,{2 . (--;----~; sшчетное пйсоs( п:} нечетное п,-а/2~х~а/2(3.70)lxl>a/2о,Эти волновые функции показаны на рис.3.2 Ьсправа.Они демонстрируют следующие интересные свойства:•••ЧJ (х) = О вне ямы;dч.i(x)/dx показывает разрывыпри х = ±а/2;ЧJ (х) непрерывна при любых значениях координаты.Исчезающая вне ямы волновая функция может рассматриватьсякак крайний случай экспоненциального падения вне ямы, наблюдавшегося в предыдущем упражнении; в данном случае яма бесконечноглубока, и коэффициент затухания тоже бесконечен.
Бесконечное значение потенциала вне ямы подразумевает также, что на нас не действуют условия из упр.3.35, так чтони волновой функции, ни ее производной необязательно быть непрерывными при х= ±а/2.Однакомы видим, что разрывы есть только у dч.i (х) / dx, тогда как у самой волновой функции их нет. Это можно понять следующим образом. В соот3.33 производная волновой функции внутри ямы ограничена величиной ld\j/(x) / dxl ~ kl\j/(x)I, где k = J2ME / 11. Вне ямыветствии с упр.ld\j/(X) / dxl =О.
Это означает, что разрыв производной волновой функции на границе ямы конечен,что подразумевает, в свою очередь,непрерывность самой волновой функции.Аналогичное рассуждение удается провести во всех практическихслучаях, поэтому волновую функцию можно всегда с уверенностьюсчитать непрерывной-за исключением, возможно, каких-то чрезвычайно экзотических потенциалов. А вот производная волновой функции может демонстрировать разрывы всюду, где потенциал бесконечен или сингулярен.Рассмотрим теперь другой крайний случай прямоугольной потенциальной ямы, важный как с образовательной, так и с научной точки зрения.183ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение3.41.Найдите собственные значения энергии и волновые функции связанных стационарных состояний потенциалаV (х) = -W08(х) в координатном базисе.Подсказка: проинтегрируйте обе части стационарного уравненияШрёдингера на бесконечно малом интервале вокруг х =О и воспользуйтесь уравнением (Г.9).Ответ: Единственное собственное состояние с Е = -W02 М / 2n 2 и волновой функцией (рис.\jl(x) = JК{е-~3.3):при х >о(3.71)е" при х~ о.\jf(X)Рис.3.3.Волновая функция энергетического собственного состояния дельтапотенциала (упр.3.41)Упражнение3.42*.Получите результат предыдущего упражненияпри помощи альтернативного метода.
Решите стационарное уравнение Шрёдингера для конечной потенциальной ямы(3.65) аналитически в пределе бесконечно глубокой и узкой потенциальной ямы: а ~ О,~1= W 0 / а при W 0 = const. Сколько связанных состояний может содержать эта потенциальная яма?Упражнение3.43.Частица находится в связанном состояниипотенциалаV (х)V (х) = - ~>8 (х). Потенциал этот внезапно меняется на= -2 W0 8 (х). Найдите вероятность того, что данная частица останется в связанном состоянии.УпражнениеV(x)1843.44*.Исследуйте связанные состояния потенциала= -W08 (х- а) -W 0 8 (х +а).(3.72)ГЛАВАОтступление3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.6. Мазер на аммиаке«Двойная дельта-функция» в упр.3.44представляет собой теоретическую основу построения первого аммиачного мазералазеров,--предтечи современныхсконструированного в1953г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
