Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Посмотрим, как это проявляется в данномслучае.200ГЛАВАУпражнение3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ3.58а) Покажите, что собственные состояния канонических и перемасштабированных наблюдаемых связаны следующим образом:п) 1 lx);(3.90а)Р) = (Mnw) 114 I PJ.(3.90Ь)IX) = ( Мы11 4Подсказка: воспользуйтесь рассуждениями, приведеннымив конце разд.3.2,где речь шла о взаимосвязи операторов координаты и волнового числа.Ь) Покажите, что (XIP)= ~eiPx.(3.91)'J27tс) Если определенное квантовое состояние имеет волновые функции \jl(x) = (xl 'VJ и \j!(p) = (PI 'VJ, то что представляют собой соответствующие волновые функции \j/(X)=(Xl'JI) и \j!(P)=(Pl'V)в перемасштабированных переменных?d)Покажите, что соотношения для перевода волновых функциймежду Х - и Р -базисами таковы:(3.92)(3.93)е) Покажите, что(3.94)t)Покажите,чтопринципнеопределенностиГейзенбергадля перемасштабированных координаты и импульса принимаетвид( ЛХ2 ) ( ЛР2) ~ ~ .Упражнение3.59.
Выразите гамильтониан (3.83)штабированные наблюдаемые Х и Р.(3.95)через перемас201ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтвет:iI = ~ Ptro (Х 2 + Р 2 ) •(3.96)Теперь давайте определим и изучим свойства двух операторов,которые, как мы увидим в следующем подразделе, осуществляют переходы между соседними энергетическими собственными состояниями.Оператор уничтожения(annihilation operator)определяется следующим образом:л1 (лл)(3.97)а= J2.
X+iP;Оператор йt называется оператором рожденияУпражнение3.60.(creation operator).Покажите, что:а) оператор рождения равенat = 1(x-iP);(3.98)Ь) операторы уничтожения и рождения не являются эрмитовыми;с) их коммутатор равен[ ллt]а,аd)(3.99)=1;координата и импульс могут быть выражены какл1 ( л лt) л1 ( л лt)X=J2.a+a ;P=iJ2.a-a;(3.100)е) перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения таковы:[a,ataJ=a;t)[йt,ataJ=-at;гамильтониан(3.96)может быть записан как1) .л = hro (лtла а+2Н3.8.2.(3.102)Фоковские состоянияНаша следующая цель-найти собственные значения и собственныесостояния гамильтониана гармонического осциллятора. Из202(3.101)(3.102) еле-ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕдует, что они являются также собственными состояниями оператораiit а.Он называется оператором числа квантови обозначается символомfi .
Нормированное(number operator)собственное состояниеэтого оператора с собственным значением п обозначается ln):ii'Щn)=nln)Упражнение(3.103)3.61.Покажите, что:а) состояние Щ n) есть также собственное состояниеным значением пЬ) состояниеiit [n)fiс собствен+ 1.Подсказка: воспользуйтесь уравнением3.46с собственесть также собственное состояниеным значением пИз упр.fi- 1;(3.101).мы знаем, что энергетические спектры связанныхсостояний невырождены, т.
е. для каждого значения п существуетне более одного собственного состояния энергиииз упр. 3.61 мы можем заключить, что состоянияциональны состояниямln -1) иln). Следовательно,и Q1 ln) пропорiif n)ln + 1) соответственно. Обратите внимание: я пишу «пропорциональны»,а не«равны», поскольку мыне можем гарантировать, что состояния а 1 п) и а t 1 п) нормированы,- 1) и 1 п + 1) нормированы по определению.
Более того,тогда как 1 пусловиенормированностиможноиспользовать дляопределениякоэффициента пропорциональности.Упражнение3.62.Принимая во внимание, что все энергетическиесобственные состояния должны быть нормированными к1, покажите,что (с точностью до произвольного фазового множителя):а) ii[n)=1[n-l);(3.104а)Ь)(3.104Ь)ii'[n)= n+lln+l).Подсказка: используйте ( п liit iil п) = п .Фазовый множитель, упомянутый в упражнении выше, выбираеммы сами-и можем определить его как угодно. Мы выберем простейший вариант и определим его равным1,так что выражения(3.104)будут верны в том виде, в каком они здесь записаны.Уравнение (3.104а) означает, что если состояние(п+ 1/2)ln) с энергиейtzwсуществует как физическое состояние (например, если онопредставляет собой некоторый нормированный элемент гильбертова203ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАпространства), то существует и состояние 1п -1) с энергией hw (п - 1/2).Подобным образом состоянияит.д.
тоже должны сущеln-2), ln-3)ствовать. Продолжая эту цепочку достаточно долго, мы придем к энергетическим собственным состояниям с отрицательными значениямиэнергии. Однако это невозможно, потому что гамильтониан-неотрицательный оператор (упр.
А.72, А.87).Как же разрешить данное противоречие? Единственный способсделать этопредположить, что п должно быть неотрицательным-целым числом, так чтобы цепочка прервалась на п = О. При этомЩO)=lzero),(3.105)Тогда (при условии, что состояниеln=О) существует) энергетические собственные состояния существуют только для неотрицательныхпи образуют бесконечное множество с соответствующими собственными значениями энергииhw(п+ 1/2).Энергетические собственные состояния гармонического осциллятора называются состояниями Фока, или числовыми. Состояниеназывается вакуумнымУпражнение3.63.10)состоянием 1 •Выразите 1п) через 1О).Ответ:ln)= (at)" 10).(3.106)Гп'.Упражнение3.64. Вычислите волновые функции вакуумного состояния в координатном и импульсном представлениях.Подсказка: используйте уравнения(3.94), (3.97)и(3.105).Ответ:'V 0 ( Х ) --1-----ц4 е-Х 2 /2,,(3.107а)1t_ 1\j/ 0 (Р)------ц4е-Р 2 /2(3.107Ь).1t1Подчеркну разницу между векторамиlzero>IO>иlzero>(см.
определение А.1). Векторесть нулевой вектор гильбертова пространства, такой что для любого вектораIЧ'> мы имеемliv>+lzero> = liv>.Его норма равна(zerolzero>=О, поэтому данныйвектор не представляет никакого физического квантового состояния. Вакуумное состояние204IO>. напротив, есть физическое состояние: (OIO>=1иliv>+IO> * liv>.ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕМожно видеть, что как координата, так и импульс в вакуумномсостоянии неопределенны. Это значит, что если мы приготовим наш«шарик на пружинке» в состоянии минимальной возможной энергии,а затем измерим его координату, то обнаружим отклонение от положения равновесия на случайную микроскопическую величину.
Аналогично, если мы измерим его скорость, то обнаружим, что она микроскопически мала, но не равна нулю. Это квантовое явление известнокак нулевые колебания(zero-point oscillations).Приведенные выше волновые функции единственны с точностью до произвольного общего фазового множителя. Для вакуумногосостояния мы по соглашению выбираем этот множитель так, чтобыполучить действительную и положительно определенную волновуюфункцию в координатном базисе. Из этого автоматически следует,что волновая функция в импульсном базисе также действительнаи положительна.
Более того, как мы увидим далее, данное соглашение гарантирует, что волновые функции всех остальных фоковскихсостояний также действительны.Найдя в явном виде волновую функцию вакуумного состояния,мы доказали ее существование и единственность-и, таким образом,автоматически доказали существование и единственность всех остальных фоковских состояний, ибо они получаются из вакуумного состояния при применении к нему оператора рождения.Упражнение3.65а) Используя уравнениефоковских состоянийг.:;2Ответ:_(3.106),вычислите волновые функции11 >и 12 >..'\/ L.'V 1 (X)-----if4Xe-Х 2 /2 •(3.108),7t'VЬ)*2(Х) =1J27tt/4(2Х 2 -l)e-x' 12 •(3.109)Покажите, что волновая функция произвольного фоковскогосостояния 1 п) задана выражением(3.110)где Нп (Х)-эрмитовы полиномыН"(Х)=( 2Х - ~ )" 1.(3.111)205ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОсобенностью гамильтониана гармонического осциллятора является то, что его энергетические уровни не только квантуются, но и эквидистантны.
Расстояниеhw между уровнями называется квантом энергии. Физически эквидистантная энергетическая структура означает,что, закачивая в гармонический осциллятор кванты одной и той жечастоты, можно возбудить его до сколь угодно высокой энергии. Например, качели можно раскачать до любой желаемой амплитуды, подтягивая и подталкивая их с постоянной частотой; можно также усилитьимпульс лазера до любой желаемой мощности. Противоположныйпример-атом: при помощи резонансного лазера его можно перевестииз основного состояния в одно из собственных состояний с более высокой энергией, но увеличение мощности лазера едва ли поможет намвозбудить этот атом на более высокий энергетический уровень 1 •Кванты энергии часто интерпретируют как частицы, особеннов контексте обобщений гармонического осциллятора, упомянутыхв начале этого раздела.
Например, фотон есть квант энергии в оптическом импульсе (см. отступление3.11),а фонон-квант энергиимеханических колебаний атомов в твердом теле.охРис. 3.9. Волновые функции нескольких низколежащих уровней энергиигармонического осциллятора1Эти утверждения верны в некоторых пределах, поскольку физические модели гармонического осциллятора или двухуровневой системы могут не выдержать слишкомсильного возбуждения. Так случается, к примеру, если качели взлетают слишком высоко, они выходят за рамки приближения маятника с ее допущением о малости угла.А электрическое поле в импульсе лазера может быть настолько мощным, что атом ионизуется.206ГЛАВАОтступление3.11.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕЧто такое фотон?В предыдущих двух главах мы обращались с фотоном как с частицей и обсуждаликвантовые состояния, в которых он может быть обнаружен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
