Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Альтернативный способ расчета волновой функции когерентного состояния мы разберем в разд.Упражнение3.69.3.10.Для когерентного состоянияla)покажите,что его волновые функции в координатном и импульсном базисахзадаются так:(3.117а)(3.117Ь)где(3.118)Убедитесь, что эти волновые функции нормированы. Покажите,что математические ожидания и дисперсии координаты и импульсав когерентном состоянииla) равны(3.119)= (ЛР2 ) = 1/2,и (ЛХ2)(3.120)соответственно.Волновая функция когерентного состояния представляет собойгауссов волновой пакет. Для а=Окогерентное состояние становитсявакуумным, что очевидно из сравнения уравнений(рис.3.10(3.105)тична ее форме для вакуумного состояния, сдвинутой наоси х (рис.из-заи(3.116)а). Для действительного а форма волновой функции иден3.10 Ь).
Дляненулевогосреднегозначенияимпульса-на линейно изменяющийся фазовый множитель (рис.гично упр.aJ2вдолькомплексного а этот гауссов волновой пакет-умножается3.10с), анало3.25.211ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАМы видим, что для любого комплексного а существует когерентноесостояние и что каждое такое состояние нормируется согласно (а 1а) =1.Может показаться, что это противоречит нашим недавним рассуждениям о необходимости нормировать собственные состояния непрерывных квантовых наблюдаемых через дельта-функцию Дирака,как в уравнениях(3.1).Причина, по которой это правило не применимо к когерентными состояниям, состоит в том, что оператор уничтожения-не эрмитово наблюдаемое. По этой же причине когерентныесостояния, связанные с различными значениями а, не ортогональны(см. упр.3.75).В соответствии с уравнением(3.120) любоекогерентное состояниеимеет аналогично вакуумному минимально возможную неопределенность координатыимпульса-(3.95).В фазовом пространстве когерентное состояние можно изобразитьв виде окружности с центром в точке ( (Х) = .J2Re а, (Р) = .J2Im а)(рис.
3.11). Радиус этой окружности, 1/fi, символически представляетстандартныеотклонениякоординатыиимпульса,которыене зависят от когерентной амплитуды 1 •+·р хГлобальные фазовые множители е-'/2""включены в уравнения(3.117а) и (3.117Ь) по соглашению. Эти множители делают эти двауравнения (которые получаются друг из друга путем прямогоили обратного преобразования Фурье) визуально похожими. Крометого, такое соглашение необходимо для совместимости с другим фазовым соглашением, которое мы введем ниже для разложения когерентного состояния в базисе Фока.Подчеркну роль фазыArgа когерентного состояния. Эта фазапредставляет собой угол радиус-вектора, указывающего накак изображено на рис.3.11,( (Х), (Р) ),и, таким образом, непосредственно связана с измеримыми параметрами данного состояния.
Этим она отличается от глобального квантового фазового множителя, который,как мы уже несколько раз говорили, не влияет на физические свойства состояния.Теперь найдем шрёдингерову эволюцию когерентного состоянияво времени. С этой целью мы сначала разложим его в энергетическомсобственном базисе.1На самом деле эта окружность имеет не только символическое значение. Поведение неопределенностей в фазовом пространстве описывается так называемой функцией Вигнера, которая является аналогом классической плотности вероятности в фазовом пространстве.212ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ(Р).fi.Ima--------- -Рис.3.11.Портрет в фазовом пространстве и эволюция наблюдаемых координаты и импульса в когерентном состоянииУпражнение3.
70. Найдите разложение когерентного состояния1а)в фоковском базисе.Подсказка: возьмите некоторое разложение(3.121)и примените к нему определение(3.116)когерентного состояния.Ответ: с точностью до общего фазового множителя(3.122)Здесь мы опять вводим соглашение об общей фазе, согласно которому общий фазовый множитель в уравнениинице; т.е. мы объявляем(3.122)равен еди(nla) действительным для действительного а.Теперь нужно проверить, согласуется ли эта договоренность с той,что выбрана для фазы волновой функции когерентного состояния (3.117а).Упражнение3.71.Вычислите скалярное произведение(Ola)для произвольного а в координатном и фоковском базисах. Убедитесь,что результаты одинаковы.213ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЕсли измерить энергию когерентного состояния, то вероятностивозможных результатов распределятся в соответствии с(3.123)Разумеется, это знаменитое распределение Пуассона (см. разд.
Б.3).Из его свойств (упр. Б.15) мы видим, что и среднее значение, и дисперсия фоковского числа в когерентном состоянии равны(3.124)Это означает, например, что в последовательности лазерныхимпульсов с п фотонами в среднем на импульс среднеквадратичнаянеопределенность числа фотонов в импульсе равнаJn .На самом деле нам совершенно необязательно знать свойства распределения Пуассона, чтобы получить последний результат.
Он следует непосредственно из определения когерентного состояния.Упражнение3. 72.тора гамильтонианаВычислите среднее значение и дисперсию опера(3.102)в когерентном состоянии, пользуясь свойствами операторов рождения и уничтожения, и убедитесь, что вашрезультат согласуется с(3.124).3. 73. Покажите, что действие оператораexp(iHt / n) на состояние la) задается формулойУпражнениеэволюциие -iflt 1 а)= e-iw1/2 Iae-iror).Упражнение3. 74.(3.125)Вычислите квантовые средние значения:а) операторов рождения и уничтожения;Ь) операторов координаты и импульсав когерентном состоянии в зависимости от времени, используя(3.119) и (3.125).
Убедитесь,(3.114) и (3.115).что ваши результаты согласуютсясРезультат упр.3.73весьма замечателен. Если не принимать во внимание нефизичный квантовый фазовый множитель, когерентное состояние эволюционирует в другое когерентное состояние с той же амплитудой, но иной когерентной фазой, как показано на рис.2143.11.
Это означает,ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕчто неопределенности координаты и импульса остаются постояннымии равны соответствующим величинам вакуумного состояния.Данный результат вновь иллюстрирует разницу между квантовойи когерентной фазами. Квантовый фазовый множительщий вне символа «кет» в уравненииэквивалента. Когерентная же фазаe-iwt/ 2 , стоя(3.125), не имеет физическогое -iwt , имеющая наблюдаемыйфизический смысл, располагается внутри скобок.Наконец, упр.3. 73выявляет классическую аналогию когерентных состояний с большой амплитудой.
Если амплитуда когерентногосостояния макроскопична, то относительные неопределенности пренебрежимо малы, так что когерентное состояние хорошо аппроксимируется классическими колебаниями. Напротив, для микроскопических амплитуд неопределенности играют значительную роль, и классическое приближение не годится.Упражнение 3.75. Покажите, что (ala')=e-1a1'1 2 -1a·1'1 2 +a'a'Этот результат позволяет еще раз вспомнить уже сказанное,а именно-когерентные состояния, связанные с разными значениями а, не ортонормальны. Поскольку оператор уничтожения не является эрмитовым, спектральная теорема (упр.
А.60), которая гласит,что множество собственных состояний эрмитова оператора представляет собой ортонормальный базис, к нему не применима. Когерентныесостояния образуют остовный набор, но не являются ортогональными.Упражнение3. 76.Когерентные состояния суть собственные состояния оператора уничтожения. Существуют ли их аналогиные состояния оператора рождения--собствени если да, то каково их разложение в фоковском базисе?3.9.Представление ГейзенбергаНам уже не раз встречались случаи, в которых квантовая механикапредсказывала поведение, ожидаемое классически.
Примеры такихситуаций-эволюция средних значений координаты и импульсав свободном пространстве или в потенциальном поле гармоническогоосциллятора. Подобные наблюдения, в принципе, неудивительны,поскольку мы знаем, что классическая картина соответствует макроскопическому пределу квантовой. Но в то же время теоретические215ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАи математические методы этих двух подходов настолько различны,что, даже когда они действительно приводят к сходным результатам,разобраться, что за этим сходством стоит, бывает трудно.Если мы попытаемся примирить упомянутые два подхода и найтидля них общую ИН'l}'ИТИВНО понятную основу, то ОДНИМ из препятствий,с которыми мы неизбежно столкнемся, станет вопрос о том, как классическая и квантовая физика работают с эволюцией во времени.
В классической картине эволюционируют наблюдаемые: например, координата движущейся частицы. В квантовом мире, напротив, наблюдаемые-такие как оператор координаты хсвязывают с состоянием системы IЧ'-постоянны; эволюцию же(t) ) . В этом разделе мы попробуемсделать связь между двумя мирами более прозрачной, для чего разберем альтернативный аппарат квантовой теории, в которой состоянияпостоянны, а эволюционируют наблюдаемые.3.9.1.Эволюциs:1 оператораПредположим, нам нужно лнайти среднее значениенекоторого наблюдаемого А в квантовом состоянииIЧJ), которое эволюционирует под действием гамильтониана fI. Обычный подход (разд. 1.10) предписывает вычислять эволюцию интересующего нас состоя-ния согласно l'l'Ct))=UCt)i'lf(O)), где U(t)=e-~/1t-унитарный оператор эволюции 1 • Тогда квантовое.~\'~--~'.Вернер Гейзенбергсреднее значение равно(З.126)Этот подход известен как представление Шрёдингера квантовой эволюции.
Альтернативой ему является представление Гейзенберга, согласнокоторому считается, что операторы эволюционируют в соответствии сллллi.-Ht ,...A(t) =И' (t)A(O)U(t) = е'' А(О)еi .--Ht11,(З.127)тогда как все квантовые состояния остаются неизменными: IЧ'= IЧ' (О)(t)) =). В таком случае среднее значение А равно(З.128)1В данном разделе мы считаем, что гамильтониан явно не зависит от времени.216ГЛАВАПредполагается, что в момент времени3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕt =О состояния и операторыв обоих представлениях одинаковы.Упражнение3. 77.Покажите, что квантовые средние значения оператора, рассчитанные в представлениях Шрёдингера и Гейзенберга(3.126)и(3.128)Упражнение[соответственно], одинаковы.Для представления Гейзенберга покажите,3. 78.что эволюция оператора может быть записана в виде (иногда называемом уравнением Гейзенберга)d лi л л-A(t) =-[H,A(t)].dtп(3.129)Чтобы понять, как представление Гейзенберга помогает примиритьклассический и квантовый подходы, рассмотрим пример.Упражнение(3.129)3.
79.Напишите уравнения движения Гейзенбергадля координаты и импульса гармонического осциллятора,принимая гамильтониан равным(3.83).Ответ:d лр(3.130а)-Х=-·dtм'd лл-р=-КХ.dtМы видим-(3.130Ь)и это весьма примечательно,-что эволюция наблюдаемых координаты и импульса гармонического осциллятора в представлении Гейзенберга идентична классической (отступление3.10).Действительно, уравнение (3.130а) суть определение импульса как произведения массы и скорости, тогда как уравнение (3.130Ь) есть второй закондвижения Ньютона, поскольку сила пружины составляетF=-кх.Соответственно эквивалентны классическим и решения этих уравнений, помимо крышечек над обозначениями наблюдаемых:x(t) = х(О) cos wt +-1-р(О) sin wt ;Mwp(t)=p(O)coswt-~x(O)sinwt.(3.131а)(3.131Ь)(J)217ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАДанная аналогия квантового и классического может показатьсячисто формальной, так как можно сказать, что координата и импульсв приведенных выше уравнениях-это операторы, абстрактные понятия линейной алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
