Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 42
Текст из файла (страница 42)
упр.Упражнение3.87.3.107.Убедитесь, что оператор сжатия эквивалентеноператору эволюции под действием гамильтонианан = 2-пу[й 2 -Сй') 2 J = _!пу[ХР+ ftxJ22за времяtприr = yt.(3.170)Покажите, что эта эволюция в представленииГейзенберга преобразует операторы следующим образом:S'(r)XS(r)=Xe-r;(3.171)s'(r)PS(r)=Pe;(3.172)s' (r)йs(r) = йсh r-й' sh r;(3.173)s'(r)й's(r)=й' chr-йshr.(3.174)3.108. Пусть для состояния IЧJ> среднеквадратичныенеопределенности координаты и импульса равны ( ЛХ~) и ( ЛР02 ) соотУпражнениеветственно. Покажите, что среднеквадратичные неопределенности231ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАэтих же наблюдаемых для состоянияe2 r ( ЛР02 ) соответственно.S(r)l'I')равны e- 2 r (лх;) иДанные результаты оправдывают название «оператор сжатия».Этот оператор «сжимает» координату и при этом «растягивает»импульс вerраз (рис.3.13с).
Такое одновременное противоположное действие на эти два наблюдаемых гарантирует, что произведениенеопределенностей координаты и импульса останется неизменным,а потому принцип неопределенности не будет нарушен. В частности, когда оператор сжатия применяется к вакуумному или когерентному состоянию, произведение неопределенностей в результирующемсостоянии соответствует минимальному значению(3. 95),допускаемому теорией.Применив оператор сжатия к вакуумному состоянию, мы получаемсжатое вакуумное состояние.
Его замечательной особенностью является то, что амплитуда его нулевых колебаний по координате (приили импульсу (присостояния-r < О)r > О)меньше, чем эти же параметры у вакуумногосостояния с минимальной возможной энергией, содержащее ноль квантов энергии. В оптической реализации гармоническогоосциллятора нулевые колебания проявляются в виде случайных флуктуаций электрического поля вокруг нуля. Так вот, в сжатом вакуумномсостоянии этот шум ниже, чем при полностью выключенном свете!А теперь зададим себе вопрос, как выглядит волновая функция сжатого вакуумного состоянияS( r)1О) .
Прямое вычисление этой функциив представлении Шрёдингера весьма трудоемко. Однако, принимаяво внимание результаты нашего изучения представления Гейзенберга,несложно догадаться, что результат операции сжатия заключаетсяв перемасштабировании по оси абсцисс и перенормировании волновой функции вакуумного состояния (3.107а):r/2:1/4 е-х'с'';2;-r/2"1sq(P)= ( PIS(r)IO) = e-r/2'1'o(Pe-r)= :1/4 е-Р'е ''12.'l'sq(X)=(xls(r)lo)=er;2'1'o (Xer)=Упражнение3.109. Убедитесь,что волновые функции(3.175а)(3.175Ь)(3.175):а) нормированы;Ь) согласуются с(3.154).Проверка, которую мы только что проделали, ничего не говоритнам о том, правильно ли мы угадали комплексную фазу волновых232ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕфункций.
Чтобы проверить, давайте просто подставим их в нестационарное уравнение Шрёдингера и убедимся в его непротиворечивости.Упражнение(3.175) удовлетворяют уравнению Шрёдингера для гамильтониана (3.170) при r = yt.3.110.Убедитесь, что волновые функцииДвухосцшzляторн.ый (двумодовый) оператор сжатия, действующийна два осциллятора, обозначаемые индексами А и В, задается формулой(3.176)гдеr-действительное число.Упражнение3.111а) Убедитесь, что двумодовый оператор сжатия можно связатьсо следующим фиктивным гамильтонианомЛНЛ•ЛЛfЛtЛЛЛЛ= 1nу(-алав + ала 8 ) = !iу(ХлРв + РлХ 8 )приr(3.177)= yt.Ь) Покажите, что двумодовое сжатие в представлении Гейзенбергасоответствует следующему преобразованию операторов 1 :S~(r)X±S2 (r)=X±e±r;(3.178)(3.179)(3.180)(3.181)лгдеХА • -лллХл ± Хв .
Р - Рл ± Рв-г;:;-v2,+ --г;:;v2(3.182)с) Найдите ~атема;ичес~ие о~идания и неопределенности наблюдаемых хл,р' РА,В' х± и р± в двумодовом сжатом вакуумномсостоянии S2 (r)!OO).Ответ: все математические ожидания равны нулю. Среднеквадратичные отклонения равны( ЛХ~1l =(ЛР} l =~ e-zr ;Преобразование операторов осциллятора, заданное уравнениямиили (З.180),(3.181),(3.183)(3.173), (3.174)называется преобразованием Боголюбова.233ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(лх;)=(ЛР_2)=~е2r;(3.184)(ЛХ~) = (ЛХ~) = (ЛР}.) = (ЛРi) = _!ch2r.2(3.185)ьаРис. 3.14. Волновая функция двумодового сжатого вакуумного состояния в координатном (а) и импульсном (Ь) базисах.
Наблюдаемые координаты коррелируют,а наблюдаемые импульса антикоррелируют, так чго неопределенности в их разносm и сумме, соответственно, находятся ниже вакуумного уровня (представленногоокружностями). Измеряя координа'I)' или импульс, Алиса удаленно приготавливает состояние, которое при большихr приблизительно совпадает с собственнымсостоянием того же наблюдаемого в локации Боба.Упражнение3.112.Пугем подставления в нестационарное уравнение Шрёдингера убедитесь, что нормализованные волновые функции двумодового сжатого вакуумного состояния в базисах координатыи времени равны (рис.3.14)'l'sч2CXл ,Хв) = ( Х л ,Хв ls2(r)lo,o) =1 -(Х А - Х н )2 с 2 '/4 е -(Х А + Х• )2 е- 2 '/4 ;= JTT,e'V sq2(Pл ,Рв) = ( РА ,Рвls2(r)IO,O) == ~е-(РА - Рн J'c '' /4е-(РА +Р8 J2e2' / 4JTT,Упражнение(3.18ба)(3.18бЬ)3.113.
У наблюдателей Алисы и Боба есть две частицыв двухосцилляторном сжатом состоянии (3.18ба).а) Предположим, Алиса измеряет координату своей частицыи получает результат Хл. Какой станет волновая функция234ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕчастицы Боба в координатном базисе? Чему равна при этом еенеопределенность по координате ( ЛХ~)?Ь) Предположим, Алиса измеряет импульс своей частицы и получает результат Рл. Какой станет волновая функция частицы Бобав импульсном базисе? Чему равна при этом ее неопределенностьпо импульсу ( ЛР;)?Ответ:/ ЛХ2 ) = / ЛР2) =\вв\Уравнение1 .2ch2r(3.187)(3.187)показывает замечательное свойство двумодового сжатого вакуума.
Если мы измерим либо координату, либоимпульс одного из двух осцилляторов, то будем знать соответствующее наблюдаемое другого осциллятора с неопределенностью меньшей, чем неопределенность вакуумного состояния (рис.3.14). Инымисловами, мы можем удаленно, по желанию, приготовить второйосциллятор в одном из двух состояний, для которых произведениенеопределенностей координаты и импульса меньше минимума, разрешенного принципом неопределенности. Это нарушает локальныйреализм в том же смысле, в каком его нарушает первоначальное состояние Эйнштейна-Подольского-Розена (подразд.3.3.3).Данное свойство двумодового сжатого вакуума, возникающеепри любом значении параметра сжатияr (положительном или отрицательном), объясняется его запутанной природой.
Это состояние относительно несложно приготовить экспериментально (отступление3.13),поэтому оно является главным запутанным ресурсом в различных квантово-оптических информационных протоколах с непрерывными наблюдаемыми, основанных на электромагнитных осцилляторах.Рассмотрим коротко двумодовое сжатое состояние в неперемасштабированных переменных. Какой будет его волновая функция и при какихобстоятельствах сможет оно служить примером ЭПР-парадокса?Упражнение3.114. У Алисыи Боба есть общее состояние с волновой функцией(3.188)где хл и х8-и импульса, анеперемасштабированные наблюдаемые координатыdиD-положительные константы.235ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа) Найдите множитель ~. который перемасштабирует наблюдаемоекоординаты в соответствии с Х л,в = t; л,в таким образом,что приведенная волновая функция принимает вид (3.18ба).Покажите, что соответствующий коэффициент сжатия равенer=~.Ь) Найдите соответствующий множитель перемасштабированиядля наблюдаемого импульса, такого что [Х л 8 , Рл 8 ] = i .Наш результат означает, что двусоставный гауссов волновой пакет(3.188)демонстрирует запутанность при любой, сколь угодно малойстепени корреляции между координатами двух частиц.
Запутанностьотсутствует только дляd = D,т. е. когда это состояние становитсяявным образом разделимым:Наша последная цель в обсуждении сжатия состоит в том, чтобынайти разложение в фоковском базисе для одномодового и двумодового сжатых состояний. Мы сначала проведем приблизительнуюоценку для малыхrдля иллюстрации принципа, а затем уже осуществим полный расчет.Упражнение3.115а) Разложите одномодовый оператор сжатия в степенной ряддо первого порядка поrи примените его к вакуумному состоянию в представлении Шрёдингера в фоковском базисе. Покажите, что получится состояние, задаваемое формулой(3.189)Вычислите дисперсии координаты и импульса в этом состояниии покажите, что они согласуются с результатом упр.3.108.Ь) Разложите двумодовый оператор сжатия в степенной ряд до первогопорядка поr и примените его к двойному вакуумному состоянию1О,О).
Покажите, что получающееся состояние задается формулойS (r)IO,O) ""IO,O)+ rll,1).2236(3.190)ГЛАВАи3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕВычислите дисперсии наблюдаемых Х± и Р± в таком состояниипокажите, что их значения согласуются с (3.183) и (3.184).Этот простой расчет позволяет нам увидеть характерные чертыфоковской структуры сжатых состояний.
Разложение двумодовогооператора сжатия в ряд Тейлора содержит в себе различные степениоператоровu)iи а:а~. Это означает, что8S (r)2создает и разрушаетэнергетические кванты в двух осцилляторах строго парами, поэтомудвумодовое сжатое состояние содержит только слагаемые с одинаковым числом квантов:S2 (r)IO,O) = L,Dn lnn).n=OАналогичным образом одномодовый оператор сжатия порождаети уничтожает кванты в осцилляторе строго парами, так что фоковскоеразложение одномодового сжатого состояния содержит только слагаемые с четным числом фотонов:S(r)IO)= I,Cml2m).m=OНиже мы вычисляем коэффициенты Ст иDn.Этот расчет-хорошая тренировка, но он относительно длинен, поэтому при первом прочтении его можно пропустить.УпражнениеS(r)IO)=3.116*.Покажите, чтоЬ f (-thr)m ~l2m),2 т.'\/Chrm=O(3.191)выполнив следующие шаги:а) Вычислите скалярное произведение S(r)IO) и когерентногосостоянияla) (с действительной амплитудой а), например,в координатном базисе.Ответ:(3.192)Ь) Разложите когерентное состояние из левой части уравнения(3.192)в фоковском базисе, а экспоненту из правой части этогоуравнения-в степенной ряд по а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
