Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Действительно, каждоеслагаемое в левой части уравнения есть локальный оператор ~илвв У. Первое слагаемое, например, выражено через операторVr , илиr·р, классический аналог которого пропорционален проекции импульса на радиусвектор. Можно ожидать, что эта проекция влияет только на радиальнуюстепень свободы, т.е. представляет собой локальный оператор врое слагаемое-момент импульса-Vr.Втовлияет только на вращательную степень свободы: оно локально в У . Третье слагаемое, разумеется, локальновVr, если потенциал вращательно инвариантен: V(r) =V(r).Чтобы показать эту разделимость строго, мы должны перевести первые два слагаемых256(4.23), которые внастоящий момент известны намГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАв декартовых координатах, в сферические. Мы сделаем это, воспользовавшись правилом для замены переменных в частных производных,известным нам из курса анализа функций многих переменных. Вычисления эти несложны, но весьма угомительны, так что если вы не чувствуете себя профессионалом в этом вопросе, то можете при первомпрочтении просто бегло просмотреть решение.Упражнение4.15*а) Покажите, чтод.д1д1 sin ф д= SШ е COS ф-+-соsе СОSф- - - - - - - 'дr rде r sin е дф ,д.
е .д1е .д1 cos Ф д-=sш sшф-+-соs sшф-+----- ·дудr rде r sin е дф 'дд1 .д-=cose---sшe-.дzдrrде-дх(4.24а)(4.24Ь)(4.24с)Ь) Выведите компоненты оператора момента импульса в сферических координатах из выражений(4.20)для таковых в декартовых координатах:Lлдх ::::tn·1o.f s1nф-+ctg.деедсоsф- )дф(4.25а),iY:::: ih -cosф~+ctgesinф~),дел(4.25Ь)дФдL ::::-in-.(4.25с)дфzс) Покажите, чтоLл21 д ( sше,д ) + 1- -д- ] .::::-n 2 [ ---222sineдeдеd) Выразите операторыsin eдфf ·р и (f ·р )2в сферических координатах:д ·r·p ::::-tпr--(4.27)'f,,дr,д ).(r·p) 2 ::::-h 2 ( r 2 -д + r 2дr 2(4.28)дrМы видим, что выражения(4.25)для момента импульса в сферических ~о<?_рдинатах зависят только от е и ф, но не оттораr ·р(4.26)r, тогда как для операвсе наоборот.
Это подтверждает наши интуитивные предполо-257ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАжения: первый оператор в левой части стационарного уравнения Шрёдингера(4.23) локален в пространстве V,., а второй -в пространстве1! .Воспользуемся этим фактом, чтобы решить уравнение Шрёдингера.В упражнении 4.13 мы обнаружили, что эрмитов оператор i 2 коммутирует с гамильтонианом. Как нам известно (упр.
1.36), два коммутирующих эрмитовых оператора имеют общий собственный базис,в котором оба они принимают диагональный вид. Поэтому, казалось бы, для нахождения энергетических собственных состоянийдостаточно найти собственные состоянияi2 •К сожалению, прямолинейно это рассуждение не работает. Проблема в том, что, как мы говорили, i 2 локален в 1! . Соответственно,собственные состояния эквивалентного ему оператора i ® i 2 в V 3 Dзадаются формулой 1R)®1 Л.), где IЛ) есть собственное состояние i 2 в1!, а IR) - произволы-юе состояние в V, (упр. 2.23).Иными словами, каждое собственное значение Л оператора i ® i 2сильно вырождено~, а значит, нет никакой гарантии, что произвольное состояние вида1R)®1 А)автоматически является собственнымсостоянием гамильтониана.
Мы можем сказать лишь, что у гамильтониана существует собственный базис, такой что каждый из его элементов имеет вид 1R)®1 Л.). Следовательно, наша стратегия должнасостоять в том, чтобы отобрать из состояний вида IR)®IЛ.) те,что являются собственными состояниями гамильтониана.Чтобы осуществить отбор, запишем эти состояния в координатномбазисе'lf(r,8,ф)= R(r)Y;.
(8,ф)(4.29)и продемонстрируем следующее.Упражнение4.16.Пусть волновая функция вида(4.29)представляет собственное состояние гамильтониана с собственным значением Е [т. е. удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера].Покажите, что для этого необходимо и достаточно, чтобы радиальная часть волновой функции( 4.29)удовлетворяла радиальномууравнению1Это независимо от того факта, что собственные состояния, как мы увидим в следующем разделе.в У258L2вырождены дажеГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА;z2-2 - д(.д)А -2 +V(r) ] R(r)=ER(r).r2 +[- 2Mrдrдr(4.30)2MrТаким образом, мы разделили задачу на две более простые: привестик диагональному виду и решить обыкновенное дифференциальноеуравнение (4.30) 1• Более того, только вторую из этих задач требуетсяi2решать заново для каждого конкретного потенциала.
Первая же задачане зависит от того, о каком потенциале идет речь, поэтому ее понадобитсярешить лишь однажды. Это и будет нашей целью в следующем разделе.t..З. Собственные состояния момента импульса4.3.1. Матричное представление момента импульсаЗадача нахождения собственных значений и собственных состоянийнаблюдаемогоi2осложняется следующим обстоятельством.4.17. Покажите,собственные значения i 2 •Упражнениечто в1!существуют вырожденныеПодсказка: используйте тот факт, что два наблюдаемых одновременно приводятся к диагональному виду в том и только том случае,если они коммутируют (упр. 1.36), к операторамi 2 , ixиiY.Приведенный результат означает, что собственного значения Лможет быть недостаточно для однозначной идентификации собственного состояния оператораi 2 • Как нам известно из упр.
А. 70, каждое Лопределяет подпространство собственных состоянийл2L ,и это под-пространство может быть не одномерным. Нам нужно найти базиси размерность для каждого из этих подпространств.С данной целью введем в картину дополнительное наблюдаемое вкоторое коммутирует с1! ,i 2 • Тогда это наблюдаемое будет иметь с i 2 общийнабор собственных состояний (см. упр.1.36)и, следовательно, породитортонормальный собственный базис в каждом А-подпространстве. В случае удачного выбора этого дополнительного наблюдаемого данные собственные базисы будут невырожденными по отношению к собственному1Этот подход-частный случай метода разделения переменных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.259ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАзначению µэтого нового наблюдаемого; тогда пара собственных значенийЛ,µ однозначно идентифицирует состояния.Традиционно в качестве наблюдаемого, удовлетворяющего этомуусловию (как мы увидим позже), выбирают i, 1• Так что наша задача найти общие собственные состояния 1Лµ) f 2 и f, 2 •Волновые функции состояний IЛµ) можно, в принципе, получить,решив уравненияi2 IЛµ)=ЛIЛµ),i, Лµ) = µ Лµ)11в координатном базисе с использованием дифференциальных операторов (4.25с) и(4.26).Однако эта дорога быстро завела бы нас в джунглигромоздкой математики.
К счастью, существует и другой путь. Мы можеммного узнать об этих состояниях, о соответствующих им собственныхзначениях и даже о матрицах компонентов оператора момента импульсапросто из перестановочных соотношений между этими компонентами.Когда мы получим эти данные, нам все равно понадобится некотороеколичество матанализа, чтобы определить волновые функции, но усилий потребуется намного меньше, чем при прямых вычислениях.Мы будем следовать стратегии, напоминающей метод, которым мыпользовались в подразд.3.8.2при работе с гармоническим осциллятором. Начнем с того, что определим аналоги операторов рождения- повышающий и понижающий операторы (raisingand lowering operators, иногда также называемые лестничными) - каки уничтоженияллл(4.Зlа)= Lx +iLY,L_ = Lx -iLY.L+лллУпражнениела) L_4.18.(4.ЗlЬ)Покажите, что:л,= L+;ллл2лллЬ) [L,,L±]=±nL±, [L ,L±]=O, [L+,LJ=21iL,;1С тем же успехом мы могли бы выбрать (илиL,..
Несколько примеров такогорода мы увидим позже в этом разделе.2Обозначение IЛµ) может ошибочно навести на мысль, что данное состояние представляет собой тензорное произведение. Конечно, это не так: IЛµ) есть элемент единственного гильбертова пространства2601f .ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАУпражнение4.19. Пусть некоторое состояние IЛµ) есть общее собственное состояние i 2 и f, . Покажите, что тогда:а) состояние ( 1 Л.µ) также является общим собственным состоянием этих операторов с собственными значениями Л, µ + h;Ь) состояние i_ jЛ.µ) также является общим собственным состоянием этих операторов с собственными значениями А, µ - h.Подсказка: попробуйте применить тот же подход, что и в упр. 3.61.Данное упражнение показывает, что состоянияпропорциональны нормированным состояниям IЛ,i+ jЛ.µ) и f_ jЛ.µ)µ + h) и IЛ, µ - h)соответственно.
В следующем упражнении мы найдем коэффициентпропорциональности.Упражнение4.20. Покажите, что, пренебрегая произвольным фазовым множителем,( jЛ.µ)=~Л.-µ(µ+li)jЛ.,µ+li);(4.32а)i_ jЛ.µ) = ~Л.-µ(µ-li) jЛ.,µ-li).(4.32Ь)Подс15а~ка: используя упр. 4.18, с), найдите (л.µlf.i_lл.µ)и ( Л.µIL_L+ Л.µ) и согласуйте результат с утверждениями, доказанными1вупр.4.19.Упражнение4.21.Покажите, чтоµ 2 не может быть больше Л.Упражнение4.22.Покажите, что утверждение, содержащееся в упр.+ 1) иµ= hm при том, что:13• l есть неотрицательное целое или полуцелое число (О, - , 1, - , ... ) ;22• для заданного l, т Е { -l, -l + 1, "., l - 1, l}.Подсказка: примените ту же логику, что и в подразд.
3.8.2, где мы4.21может выполняться, только если Л = h2l (lдоказывали, что собственные значения оператора числа квантов гармонического осциллятора должны быть целыми.Это один из основных результатов данного раздела. Если мы пытаемся измерить наблюдаемоев некотором состоянии, то мы можем13получить только значения 1i.2l (l + 1), где l Е {О,-, 1, -,".}.Далее если22мы сначала приготовим нашу систему в состоянии с заданным f 2i2(например, измерив его), а затем произведем измерение наблюдаемого261ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАf то мы получим одно из 21 + 1 возможных значений в диапазоне от-lh до lh с шагом h.
Мы видим, что, как и говорилось в начале этого раздела, собственные значения f 2 вырождены, и степень вырождения2 ,(число ортогональных собственных состояний, соответствующиходному и тому же собственному значению) составляетВ дальнейшем мы будем использовать нотацию21 + 1.1 lт)вместо1 Лµ)для обозначения общих собственных состояний f 2 и f с собствен'ными значениями Л = h2l (l + 1) иµ= hт соответственно. В контекстедвижения материальной точки значениеквантовым числом1, а тУпражнение4.23§.-l называетсяорбитальныммагнитным квантовым числом.Покажите, что уравнения(4.32)можно переписать следующим образом:f+ llт) = n~l(l + 1)-т(т + 1) ll,т + 1) = tz~(l-т)(l + т + 1) ll,т + 1); (4.ЗЗа)i_ llт) = tz~l(l + 1)-т(т-1) ll,т-1) = tz~(l + т)(l-т+ 1) ll,т-1).
(4.ЗЗЬ)Обратите внимание, что упр.4.22 устанавливает толькоусловия для существования общих собственных состоянийнеобходимыеf2 и f2с заданными собственными значениями. Мы пока не знаем, существует ли собственное состояние для заданной пары(l,т), даже если она удовлетворяетприведенным условиям, и является ли это собственное состояние единственным.
Мы обратимся к данному вопросу в следующем разделе.Пока же просто примем единственность и существование состояний 1lт)как факт. Из этого будет следовать, что они согласно спектральной теореме(упр. А.60) образуют ортонормальный базис в У. В контексте физикимомента импульса мы будем называть базис { 1lт)} каноническим.Упр~н~~ни~ 4.~4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
