Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Теперь мы вооружены знаниями и можем рассчитать энергетические уровни и соответствующие им волновые функции атомаводорода. Точное совпадение результатов этих расчетов с экспериментальными данными по эмиссионному спектру атомарного водородастало одним из самых значительных триумфов квантовой механики(см. отступление3.2).В атоме водорода электрон движется в электростатическом потенциале, создаваемом тяжелым ядром:1 е2V(r)=----,где е-(4.42)r47tE 0заряд электрона, аr0 -электрическая постоянная (мы пользуемся системой СИ). Следовательно, задача об атоме водорода представляет собой частный случай движения в центральном поле.Поэтому мы можем воспользоваться стратегией, изложенной в подразд.4.2.2,а именно искать энергетическую собственную волновуюфункцию в виде произведениятеперь знаем, Л= h2l (lУл (8,ф)= у;т(8,ф)-В этом произведении, как мы( 4.29).+ 1), а угловой компонент волновой функцииодна из сферических гармоник, так что мы можемпереписать его как(4.43)Все, что нам теперь нужно сделать,-понент, который мы обозначили Rы(r).270это найти радиальный комГЛАВАУпражнение4.34§.4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАНапишите радиальное уравнение(4.30)для атома водорода.Ответ:l_e2]R1i2l(l+l) __[ _~_!_~(r2~)+2Mr 2 47tE rдr2М r 2 дr0(r)=ER.
(r).Е1El(4.44)Хотя это обыкновенное дифференциальное уравнение, решитьего довольно трудно. Первый шаг в его упрощении-простая заменапеременной.УпражнениеRы (r)4.35.Переопределите= Иы (r)/rи перепишите(4.45)(4.44) дляИы(r).Ответ:д2 + 1i2l(l+l)[ -~2Mr2М д r22_l_e2]u (r)=ЕИ (r).EIEl47tE 0 r(4.46)Распространенный подход при решении дифференциальных уравненийпопытаться угадать общий вид решения, а затем подогнать-его параметры так, чтобы они удовлетворяли уравнению.
В данномслучае мы попробуем искать решение в видеИ El(r) =L" Ajrje-кr,(4.47)j=l+lгде п-некоторое натуральное число, А 1 + 1 *О ик = '1-2МЕ / 1i .(4.48)Следующее упражнение поможет понять, как мы пришли к этойдогадке.Упражнение4.36. Покажите, что асимптотическое поведение Иы (r),(4.46) призаданное приведенным выше уравнением, согласуется сr ~Оиr ~со.А теперь найдем коэффициенты А и верхний предел суммирова1ния в(4.47).Упражнение4.37.Покажите, что для выполнения уравнения(4.46)должно удовлетворяться следующее соотношение:(4.49)271ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАгде2а= 4 1tEo~ ""0,53А.(4.50)МеПоследняявеличинаимеет размерность длиныиизвестнакак боровский радиус. Его физический смысл мы вскоре выясним.Из (4.49) мы знаем, чтoAj+l/Aj ~ 2к/j при большихj.
Если бы ряд(4.47) с таким свойством был бесконечен (п = оо ), то он расходился бы.И действительно, в пределе приj ~ оо мы имели бы А- (2к)j /j! и, слеJдовательно, при r ~ оои(2кr)jЕ/(r)- " " - - - е-кr ~ е2кr е-кr~'1j) .= екr 'где мы воспользовались разложением экспоненты в ряд Тейлора.Как нам известно, волновая функция, которая стремится к бесконечности, нефизична.Для предотвращения этого мы должны потребовать, чтобы рядбыл конечен. Данное условие выполняется, если множитель перед Ajв(4.49)обнуляется при некоторомj= п.В этом случае22кп=(4.51)аи все А.
приj)> п обнуляются.Упражнение4.38. Вычислите радиальные волновые функции Rn 1 (r)атома водорода приа) п= 1, l =О;Ь) п = 2, l =О;с)n=2,l=1.Пронормируйте эти волновые функции согласноJj\jl(r) 2 d 3 r=1.1Подсказка:(4.52)Ответ (рис.4.3):R (r) =2a- 312 e-r/a ·10'(4.53)(4.54)(4.55)272ГЛАВАМОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.Теперь мы понимаем физический смысл боровского радиуса: онопределяет характерный размер волновых функций энергетическихсобственных состояний, а также примерный радиус орбитали основного состояния.4.4.2.Энергетический спектр и переходыОбъединяя уравненияЕ" 2~ (nna J=-(4.48)иполучаем(4.51 ),4:: 2:tп 22= -(0 )(4.56)•Этот результат отмечает важную веху: мы рассчитали энергетический спектр атома водорода 1 •Интересно, что, хотя радиальные волновые функции зависятот орбитального квантового числаl,энергетические собственные значенияп(4.56) от него не зависят, а определяются верхним пределомсуммы (4.47).
Поэтому п называется главным квантовым числом.Каждый энергетический уровень, обозначаемый величиной п,вырожден по отношению к орбитальному квантовому числурое может принимать любое целое значение от О до пl,кото- 1. Но реальнаявырожденность энергетических уровней еще выше. Чтобы убедитьсяв этом, вспомним, что волновая функция(4.43)электрона в атомеводорода имеет в дополнение к радиальной угловую часть. Угловаячасть волновой функции зависит от магнитного квантового числаm,которое не влияет на энергию. Кроме того, каждый электрон имеетспиновую степень свободы, соответствующую двумерному гильбертовому пространству.Упражнение4.39.Покажите, что степень вырождения энергетического уровня с главным квантовым числом п равна2n 2 •Прежде чем продолжить, введем следующее соглашение.
Посколькуглавное, орбитальное и магнитное квантовые числа определяют состояние движения электрона в атоме, мы будем обозначать это состояние1nlm) и перепишем уравнение (4.43) следующим образом:(4.57)1Энергии отрицательны, как и ожидалось для связанных состояний.273ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление4.2.Модель атома: краткая историяХотя идея атома восходит еще к древнегреческим философам (само слово «атом»имеет греческое происхождение и означает «неделимый»), его первую физическуюмодель предложил в1904 г.
Дж.Дж.Томсон вскоре после совершенного им же открытия электрона. Он предположил, что отрицательно заряженные электроны размещаются внуrри комка положительно заряженного вещества, как изюминки в пудинге.Гипотеза Томсона была опровергнута при помощи экспериментов, проведенныхЭрнестом Резерфордом; в этих экспериментах металлическаяфольга подвергалась бомбардировке альфа-частицами. Резерфорд с коллегами обнаружил, что хотя большая часть частицпролетала сквозь фольгу так, будто ее там не было, очень небольшая их доля (-1 /8000) отражалась назад.
Резерфорд интерпретировал это наблюдение как свидетельство того, что положительные заряды в атоме сосредоточены в крохотных, но тяжелыхядрах. После этого, в1911г. , Резерфорд предложил планетарную модель атома*, согласно которой электроны обращаютсявокруг ядер примерно так же, как планеты вокруг Солнца.Легенда гласит, что однажды уrром Резерфорд, войдя в лабора-торию, громко объявил: «Теперь я знаю, как выглядит атом!»Эрнест РезерфордУ модели Резерфорда, однако, был серьезный недостаток,который сам ученый и его коллеги сразу же осознали . Обращаясь вокруг ядра, электрон должен создавать вокруг себя переменные электрическое и магнитное поля,порождая тем самым электромагнитную волну, которая должна будет унести с собойчасть энергии электрона.
В результате частица упадет на ядро в течение пикосекунд.Резерфорд попросил своего сотрудника, молодого теоретика Нильса Бора, разрешить это противоречие. Не прошло и двух лет, как Бор нашел для него частичное решение**. Он постулировал существование дискретного множества «стационарных» орбит, на которых электрон может находиться, ничего при этом не излучая .
А именно, орбита является стационарной, если ее моментимпульса равен целому числу постоянных Планкаh:(4.58)pr = nh.Если электрон переходит с одной стационарной орбитына другую, он излучает или поглощает фотон, энергия которогоравна разности энергий между уровнями .
Спектр оптическихпереходов атома водорода, рассчитанный Бором на основаниипредложенной им модели (см. упр.Нильс Бор4.41),вполне укладывался,как оказалось, в формулу Ридберга (4.61), которая к тому моментууже бьша известна эмпирически (см. отступление4.3),и демонстрировал прекрасноесовпадение с экспериментальными данными.Недостатком модели Бора бьша ее чисто эмпирическая природа. Хотя эта модельи объясняла экспериментальные результаты, физика, лежащая в ее основе, оставалась загадкой. Некоторый свет на эту физику пролил Луи де Бройль в1924 г.мирил модель Бора с концепцией материальной волны (см. отступление4.42).Он при3.2и упр.В последующие годы модель атома претерпела множество доработок, самуюизвестную из которых осуществил Вольфганг Паули в1926 г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
