Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Убедитесь, что ваш результат согласуется с(4.77).Для каждого ответа найдите соотношениевероятностей результатов, которое будет наблюдаться при измерении Штерна-Герлаха с магнитным полем, ориентированнымв z-направлении.Подсказка: родственную задачу см. в упр.Упражнение4.63.1.47.Фотон и электрон приготовлены в запутанномсостоянии1Ч1-) = ~ (1 н J, )-1 v i))(4.78)и распределены между Алисой и Бобом, которые используют их, чтобыосуществить квантовую телепортацию другого фотона в состоянии1х>= а 1Н) + Р 1V)на спин электрона Боба. С этой целью Алиса производит измерение Белла над своими двумя фотонами.
Для каждого возможного результата этого измерения найдите направление и абсолютную величину магнитного поля В, которым Бобу нужно будет подействовать на свой электрон в течение заданного времени'(,чтобыпривести его спин в состояние ali) + PIJ,).1+.7.Магнитный резонанс4. 7.1.Вращающийся базисПусть частица со спином12помещена в постоянное магнитное полеz. Как говорилось ранее [упр. 4.55, Ь)],i) и 1J,) являются собственными состояниями гамильтоВ 0 , направленное вдоль осисостояния1ниана с энергиямиау-Er t.li,= +-Q2 0где Q 0= уВ0есть частота Лармора 1,гиромагнитное отношение частицы.
Наша цель в данном разделесостоит в том, чтобы изучить явления, которые возникают, еслидополнительно приложить вдоль оси х относительно слабое магнитное поле, колеблющееся с частотой1близкой к Q 0 2 :В этом разделе мы будем использовать для обозначения частоты Лармора символaнeQL.!10 ,2w,Это магнитное поле обычно называют радиочастотнымчтоw,(rf, radio-frequeпcy),потомукак правило, лежит в диапазоне, где осуществляются радио- и телетрансляции.Поле В 0 называют постоянным(dc, direct current)полем.293ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЁ =В/;:+ Brf COS(J)tf.(4.79)Иными словами, мы хотели бы знать, что происходит, если этопеременное поле близко к резонансу с двухуровневой системой, которую образуют состоянияli) и 1J,)(рис. 4.9).л п------1 J,)ft(J)PtQ о-li)Рис.4.9.Магнитный резонанс в двухуровневой системеУпражнение4.64.Напишите гамильтониан и дифференциальные уравнения для шрёдингеровой эволюции спинового состояниячастицы IЧJ (t)) в базисеCli), IJ,)).Ответ:(4.80)(4.81а)(4.81Ь)Уравнения(4.81)аналогичны тем, с которыми мы имели дело,когда изучали квантовую эволюцию в любом двумерном гильбертовом пространстве (см., например, упр.1.47).
Но теперь коэффициентыв правой части зависят от времени. Это сильно усложняет расчеты.Однако при Brf«В0 и вблизи резонанса существует элегантное приближенное решение. В качестве первого шага в его разработке определим новый, зависимый от времени, базис в нашем гильбертовомпространстве:lf)=ji)e~wt;(4.82а)ll)=jJ,)e-~wt.(4.82Ь)294ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАПо причине, которая станет очевидной в следующем упражнении,этот базис называется вращающимся(rotating basis).
Обозначим коэффициенты разложения состояния 1ЧJ) во вращающемся базисе как\ji i (t) =(t l\jf(t)) =\jf i(t )е ~~wt(4.8За);"1i(t)=(Jl\jf(t))=\jfi(t)e~"'1 •(4.8ЗЬ)Первоначальный канонический базис { 1 i), 1 J,)} будем называтьстационарным.Упражнение4.65.Покажите, что векторы Блоха в стационарноми вращающемся базисах 1 связаны поворотом на уголwt вокруг оси z.Мы знаем, что в отсутствие радиочастотного поля блоховский вектор в стационарном базисе прецессирует вокруг магнитного поляс ларморовой частотой!20 •Во вращающемся базисе блоховский вектор прецессирует много медленнее, с угловой скоростьюУпражнение"1 iи4.66.Покажите, что уравнения!20 - w.(4.81), записанные для"1 1 , принимают вид(4.84а)(4.84Ь)где Л= w - !20есть отстройка(detuning)радиочастотного поляот резонанса.До сих пор наши вычисления были точными.
Но теперь пришлапора использовать важный прием, известный как приближение вращающейся волны(rotating wave approximation).Мы пренебрежембыстро осциллирующими членами, содержащимичасти уравнений(4.84).e±2 iwt,в правойДовод в пользу этого заключается в том,что на периоде колебаний 2л/ w эти члены усредняются к нулю, т. е.их действие становится пренебрежимо малым по сравнению с остальными членами, которые не колеблются. Данное приближение применимо, если Л1« 00,!2 0иB,r «В0 •Блоховский вектор в новом базисе получается подстановкой (ljf 1' ljt 1 ) в(4.62) вместо(l\lpl\I;).295ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление4.5. Нефизичная природа гамильтониана вращающейсяволныИмея в виду, что стационарный и вращающийся базисы связаны между собой комплексным фазовым сдвигом(4.82),мы могли бы ожидать, например, что/ilйli\=/flйlf\.
Но это равенство, очевидно, не согласуется с матрицами стацио~арноr'о Й врапiающегося гамильтонианов, задаваемыми (4.80) и (4.85) соответ= -h0 0 / 2, тогда как (Н Rwд ) 11 =пл/ 2. Откуда же берется такое расхождественно: Н 11ние? Приближение вращающейся волны не может быть ответом на этот вопрос,поскольку оно меняет только недиагональные элементы гамильтониана, но не диагональные.На самом деле причина в том, что мы можем выразить уравнение Шрёдингерав матричном виде, таком какменибазиса.Лишьв(1.32),этомтолько для статического, не зависящего от вреслучаемыможемнаписать,кпримеру,что(il(:ti'I'))= :t (il'I').
Если базис зависит от времени, то нам придется учесть такжепроизводную элемента базиса по времени, так что приведенное уравнение не будетверным. Но при выводе матрицы гамильтониана вращающейся волны (4.85) из эво(4.84) мы этим пренебрегли, обращаясь с вращающимся базисом как со сталюциитическим.В результате гамильтониан вращающейся волны нефизичен, или фиктивен: онне представляет реального наблюдаемого энергии*. В частности, элемент ( Н •wд \ 1 егоматрицы не равен математическому ожиданию /flнlf\ полного гамильтониана Н.Тем не менее НRwл дает верное математическое ohиcaнt'i.e (4.84) эволюции спиновогосостояния.
Если наша цель - найти эту эволюцию, мы можем не беспокоитьсяо физике гамильтониана вращающейся волны, а просто использовать его как формальный инструмент для теоретического разбора.*В действительности уравнение(4.85)корректно представляет гамильтониан системы в такназываемом представлении взаимодействий, которое мы здесь не изучаем.Упражнение4.67.Покажите, что в приближении вращающейсяволны эволюция, определенная уравнениями(4.84),такая же,как и под действием гамильтонианалнгде Qл--2tz( -QRWA --Q) '(4.85)-Л= уВгf/2 называется частотой Раби.Мы видим, что во вращающемся базисе и в приближении вращающейся волны эволюция, вызванная изменяющимся во времениполем,описываетсяпостояннымгамильтонианом,иэто сильнооблегчает расчеты. Кроме того, как мы сейчас увидим, данныйгамильтониан дает нам следующий способ представить себе эту эволюцию наглядно.296ГЛАВАОтступление4.6.4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАОсцилляции Раби и фотоэлектрический эффектФотоэлектрический эффект представляет собой эмиссию свободных электроновс поверхности, на которую падает свет.
Он обладает следующими характернымисвойствами, установленными экспериментально:Кинетическая энергия испускаемых электронов зависит от длины волнысвета, но не зависит от его интенсивности.Электроны испускаются только в том случае, если длина волны ниже определенного порогового значения.Эти свойства, не укладывающиеся в рамки классической физики, объяснилвг. Эйнштейн при помощи понятия кванта света. Согласно данному объяс1905нению, энергия фотонаhw,поглощенная поверхностью, частично уходит на преодоление потенциала И, привязывающего электрон к поверхности, которой он принадлежит; остаток (К=И) становится кинетической энергией фотоэлектрона.hw -Из этого следует, что только свет сhwО!: И может высвобождать фотоэлектроны.Интуитивно понятная природа объяснения Эйнштейна и прекрасное совпадениеего с экспериментальными данными сыграли существенную роль в единодушномпризнании квантовой теории физическим сообществом. Нобелевской премии Эйнштейн был удостоен в1921г.
в первую очередь именно за это открытие.Квантовая физика двухуровневых систем, которую мы здесь изучаем, допускаетальтернативное объяснение фотоэлектрического эффекта. Переходы между энергетическими уровнями в веществе из-за действия резонансных электромагнитныхполей управляются теми же законами, что и в магнитном резонансе. Когда (классическая) волна с частотойw находитсяв резонансе с переходом между связаннымсостоянием энергии -И и состоянием с энергией К свободного электрона в непрерывном спектре, между двумя этими состояниями возникают осцилляции Раби.Как только электрон оказывается в суперпозиции связанного и несвязанного состояний, он может наблюдаться в несвязанном состоянии и коллапсировать именнона это состояние, демонстрируя таким образом фотоэлектрический эффект.Итак, для объяснения фотоэлектрического эффекта нет необходимости привлекать фотоны.
Достаточно рассмотреть вещество квантово, а электромагнитнуюволну-классически.Упражнениетичной4.68.Покажите, что гамильтониан с матрицей, иден(4.85), получается в сиrуации,когда спин помещается в постоянное магнитное поле В величиной.Jo.z +лz(4.86)В=---ус компонентамиQВх =-,В" =0,В,у"л(4.87)уМы видим, что гамильтониан вращающейся волны можно интерпретировать как возникающий благодаря постоянному магнитному297ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАполю, ориентированному под определенным углом. Разумеется, этополе тоже нефизично, поскольку выводится из фиктивного гамильтониана (отступлениеному полю(4.79).4.5); оно не имеет никакого отношенияк реальТем не менее представление о нем очень удобно,поскольку позволяет непосредственно применять полученные в предыдущем разделе результаты для квантовой эволюции спина в постоянном магнитном поле к задаче магнитного резонанса.4.7.2.Эволюция в приближении вращающейся волныКак мы выяснили в упр.4.61,поведение вектора Блоха в магнитномполе идентично классическому.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
