Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 51
Текст из файла (страница 51)
На КаждУЮ сторону рамки действуетсила Ампера, которая в общем виде выражается так: Р = IТ х В, где Т-вектор длины этойстороны. Силы, действующие на стороны длиной а, скомпенсируют друг друга, а вот силы,действующие на стороны длиной Ь (величина их равна Fh =величиной 't = 2Fь x (a / 2)sina=Магнитный моментIbB), породят момент силы/Babsina = IBAsina, где А- ruющадь рамки.µ , носителем которого является рамка, представляет собойвектор величиныµ = Iab = IA,(4.64)перпендикулярный плоскости рамки.
Следовательно, момент силы, действующий нарамку, равен(4.65)i =iixB·В этом виде соотношение имеет достаточно общий характер и верно для рамоклюбой формы.Каждый из проводников, на которые действуют магнитные силы, обладает вследствие этого потенциальной энергией. Вычислим полную потенциальную энергиюрамки в зависимости от угла а, считая, что рамка может вращаться вокруг оси, совпадающей с одной из ее сторон длиной Ь, и что а = л/2 соответствует положению с нулевой энергией.
Поворот рамки из этого положения в положение с другим а означает смещение другой стороны длиной Ь на расстояние ±а cos а в направлении у и совершениеW = -Fьа cos а= -/ВаЬ cos а= -µВ cos а. Следовательно, потенциальная энерработыгия задается уравнениемИ=-ii·B·(4.66)Последнее выражение опять же не зависит от формы рамки или положения оси.Потенциальная энергия магнитного диполя в магнитном поле минимальна, когдадиполь и поле коллинеарны.В дополнение к току заряженные частицы, проходящие по рамке, несут с собоймассу, так что их движение имеет момент импульсаL . Магнитный момент пропорционален моменту импульсаii=yL,где(4.67)коэффициент(gyromagпeticratio -пропорциональностисм.
также упр.естьгиромагнитное4.54).Действие момента силы на этот момент импульса равно(4.65)и(4.67),отношениеL = 1 . Воспользовавшисьполучаем(4.68)Как мы знаем из классической механики, решение дифференциального уравнения(4.68) есть прецессия рамки вокруг направления магнитного поля с угловой частотой!11.=уВ,известной как частота Лармора.286(4.69)ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАс оптической осью, ориентированной под углом а к горизонтали.Постройте траекторию получающихся поляризационных состояний на сфере Блоха для всех возможных значений а.Подсказка: обратитесь к упр.1.24. Часть Ь) может быть решеначисленно.Упражнение4.53.Пара электронов, общая для Алисы и Боба, приготовлена в запутанном спиновом состоянии1Ч1~) =.1 (1 i )-1 i)) .J,J,Алиса измеряет проекцию спина своего электрона на вектор Йе.Ф ,определенный сферическими углами(8, ф).Найдите вероятность каждого возможного результата этого измерения и результирующее состояние электрона Боба.
Где находится это состояние и результат соответствующего измерения Алисы на сфере Блоха?4.6. Магнитный момент и магнитное поле4.6.1. Момент импульса и магнитный моментМногие элементарные частицы электрически заряжены, поэтому наличие у них момента импульса подразумевает, что их электрический заряддвижется по кругу. Это движение порождает магнитный момент, который может взаимодействовать с внешними магнитными полями (отступлениений-4.4).Такое взаимодействие имеет широкий спектр применеот квантовой информатики до медицины.Упражнение4.54.Для классического движения точечной частицыс массой Ми зарядом е по круговой орбите с моментом импульсапокажите, что гиромагнитноеотношение 1Lзадается формулой(4.70)Хотя мы получили этот результат классическими методами, оностается верным и в квантовом мире-с той поправкой, что квантовое гиромагнитное отношение включает в себя безразмерный множитель, известный как g-фактор:1Определение гиромагнитного отношения см.
в Отступлении4.4.287ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(4.71)Этот множитель зависит от природы движения. Если моментимпульса возникает только из-за орбитального движения,g= 1 (такчто квантовое выражение совпадает с классическим). Для спина элек2,0023, длятрона он равенпротона- 5,5857.Для спина g-фактор может быть выведен теоретически при помощиметодов релятивистской квантовой электродинамики.
Для наглядного понимания можно вообразить вращающийся электрон не совсемточечной, но конечного размера частицей. Масса и заряд распределяются по объему электрона по-разному: если масса сосредоточена большев центре частицы, то заряд распределен по ее периферии. В результатеотношение между магнитным моментом и механическим моментомимпульса выше, чем можно было бы ожидать для частицы с одинаковым распределением массы и заряда.Упражнение4.55.Для заряженной частицы с орбитальнымили спиновым моментом импульса покажите, что:а) проекция магнитного момента на осьz квантуется согласно(4.72)µz = hym;Ь) энергетические собственные значения под действием постоянного магнитного поля В равныЕт= -hnL = -hyBm 'где т-число, а(4.73)соответствующее магнитное или спиновое квантовоеnL -частота Лармора(4.69).Расщепление энергетического уровня в магнитном поле, котороемы обнаружили в части (Ь), называется эффектом Зеемана (рис.4.6).В атомной и ядерной физике он встречается повсеместно.Если в упражнении выше момент импульса является орбитальным, то, используямомента на осьµв288е=-Pt.2М(4.70),мы видим, что квант проекции магнитногоz равен(4.74)ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАт=-2т=2вРис.Зеемановское расщепление энергии в магнитном поле.
В примере4.6.на рисункеL = 2.Электрический заряд вращающейся частицы и, следовательно, гиромагнитное отношение у считаются положительными.Для электрона (МБора. Она равнаУпражнениетабл.5,8х4.56§.4.3 согласуютсяТаблица= М.) эта величина называется магнетоном10-9 эВ/Гаусс= 9,3 х 10- 24 Дж/Тл.Убедитесь, что данные в последней колонкес данными в других колонках.4.3. Магнитно-дипольные свойства некоторых элементарных частицЧастотаЧастицаМасса, кгЗаряд, КлСпинg-факторЛармора,МГц/ТлЭлектрон9,10938х10-31Протон1,67262х10- 27Мюон4.6.2.1,883532х1,6021810-19х-280255,585742,57812,0023135,5391/210- 28Прибор Штерна2,0023ГерлахаЧастица с магнитным моментом, помещенная во внешнее магнитноеполе, обладает потенциальной энергией, задаваемой уравнением(4.66).Если магнитное поле меняется в зависимости от координаты,289ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАданная потенциальная энергия имеет градиент, который проявляетсякак сила F = -VU.
Пользуясь (4.66), мы можем переписать это выражение в виде F = V(a ·Ё). Если мы определим ось z так, чтобы она быланаправлена вдоль магнитного поля, то результат упростится доР = (VB)µ,.(4.75)Величина этой силы пропорциональна проекции ее магнитногомомента на направление поля.Подобное наблюдение можно использовать, чтобы измерять компоненты вектора квантового момента импульса.
Прибор ШтернаГерлаха 1-оснащен постоянным магнитом такой формы, что поле,которое он порождает, существенно неоднородно. Когда частица движется сквозь это поле, она испытывает действие силы и отклоняетсяот своего первоначального направления. О поведении частицы можносудить благодаря чувствительному экрану, помещенному за магнитом(рис.4.7).МагнитРис.4.7.Прибор Штерна-ЭкранГерлахаПоскольку магнитный момент пропорционален моменту импульса,прибор Штерна-Герлаха, по существу, измеряет компонент моментаимпульса вдоль направления поля. Так как значения этого компонента квантованы, частица должна попадать в дискретные точкина экране-мишени. Например, свободный электрон может попастьвдветочки,соответствующие1ms = ±- .поляризационного изоморфизма (разд.24.5)Вконтекстеспин-измерение z-проекцииW.
Gerlach and О. Stern, Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelungim Magnetfeld, Zeitschrift fiir Physik 9, 349-352 (1922); W. Gerlach and О. Stern, Dasmagnetische Moment des Silberatoms, Zeitschrift fiir Physik 9, 353-355 (1922); W. Gerlachand О. Stern, Der experimentelle Nachweis des magnetischen Moments des Silberatoms,Zeitschrift fiir Physik 8, 110-111 (1922).1290ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА- - - - - - - - - - --спина электрона прибором Штерна-Герлаха эквивалентно измерению поляризации фотона в каноническом базисе при помощи поляризующего светоделителя (разд.Упражнение4.57.
Электрон,1.4).приготовленный в собственном состоянии компонента спина, ориентированного вдоль вектора с поляр-ными координатами(8,через прибор Штерна-вдоль осиz.ф), с собственным значением11- ,2проходитГерлаха с вектором поля, ориентированнымЧему равны вероятности того, что электрон окажетсяв каждой из двух точек на экране?Упражнение4.58.В приборе Штерна-Герлаха направления поляи его градиента могут быть разными. Какое из этих двух направленийопределяет базис измерения?Упражнениесостоянии4.59.Пучок частиц со спиномs=1в собственномsx с нулевым собственным значением проходит сквозь прибор Штерна-Герлаха с вектором поля, направленным вдоль оси у.Сколько точек образуется на мишени и в какой пропорции поделятсячастицы между этими точками?4.60.УпражнениеПучокэлектронов,так,приготовленныхчто их спины указывают в отрицательном z-направлении, проходит черезприбор Штернасти-Герлаха с вектором поля, ориентированным в плоскоx-z под углом 8 0 к оси z.В какой пропорции расщепится пучок?4.6.3.
Эволюция магнитных состоянийИз классической физики (отступление4.4)мы знаем, что магнитныймомент, помещенный в магнитное поле, будет прецессировать вокругэтого поля. Следует ли нам ожидать подобного эффекта и в квантовом мире? Чтобы ответить на вопрос, нам потребуется изучить эволюцию нашей квантовой системы под действием гамильтонианаПринимая во вниманиен = -ft·в = -yL·B.( 4.67),(4.66).перепишем данный гамильтониан как(4.76)Обратите внимание, что мы обращаемся с макроскопическим магнитным полем как с классическим вектором, а не как с оператором.291ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение4.61. Записав дифференциальное уравнение эволюциикомпонентов вектора момента импульса в представлении Гейзенберга,воспроизведите классический результат(4.68).Мы видим, что в представлении Гейзенберга поведение квантовогомагниттюго момента в поле аналогично классическому: он прецессируетвокруг поля с ларморовой частотойnL =уВ (рис.
4.8). Как мы знаем, еслинас интересуют средние значения оператора вектора момента импульса,этот результат годится независимо от того, используем мы при расчетахпредставление Гейзенберга или Шрёдингера. Например, в случае частицысо спином_ = (аx,y.z ) ,1/2 вектор Блоха [компонентами которого являюrся Rx,y,z4.48, с)] эволюционирует в соответствии скак показано в упр.R=yRxfJ.(4.77)Этот важный результат наглядно демонстрирует полезность представления Гейзенберга: получить его в представлении Шрёдингеракуда сложнее. Мы сделаем это в следующем упражнении для нескольких частных случаев.Рис.4.8.Прецессия вектора Блоха вокруг магнитного поля.
Гиромагнитноеотношение считается положительным.Упражнение4.62.Найдите эволюцию в представлении Шрёдингера спинового состояния свободного электрона под действием постоянного магнитного поля В, заданного следующими условиями:(8 0 , ф 0 )поле ориентировано вдоль оси z;а) начальное состояние представлено произвольной точкойна сфере Блоха, а магнитноеЬ) начальное состояние соответствует спину, указывающему вдольосиz,а магнитное поле ориентировано вдоль оси у;с) начальное состояние соответствует спину, указывающему вдольосиz,а магнитное поле ориентировано вдоль вектора с полярными углами292(8 0 ,О).ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАПредставьте решение в матричном виде в каноническом базисеи в виде траекторий на сфере Блоха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
