Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 47
Текст из файла (страница 47)
\!ока~ите, что элементы маuтрицы \1тlAjl'т'\где А - L , L± , Lx , LY , L обнуляются всякии раз, когда l * l,2,не вычисляя их в явном виде.лСогJJасно приведенному результату, матрицы всех компонентов L ,как и L2, имеют структуру, показанную в табл. 4.1. Это блочно-диагональная матрица, каждый блок которой описывает оператор момента1Иногда орбитальное квантовое число l называют просто «момент импульса».
Этот термин используется в профессиональном жаргоне, чтобы подчеркнуть, что значениеhl естьквантовый эквивалент классического абсолютного значения вектора момента импульса.262ГЛАВАМОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.импульса в пределах подпространства гильбертова пространства Усвязанного с каким-то конкретным значениемсоставляет(21 + 1)х(21 + 1).l.,Размер каждого блокаВ каждом блоке значения т традиционнорасполагаются в порядке уменьшения.4.1. Структура матриц компонентов оператора момента импульса4.25) (в затемненных клетках могут располагаться ненулевые матричТаблица(упр.ные элементы)l'от'1о-о1/21/2-1/21--22то11/21о3/2-11122-- -321о1-13/21/2-1/2-3/23/2~пр~ж~ен~е ~.2~.
Найдите элементы матрицыА=L(1mlA.Jl'm'), гдеL± , Lx , LY , L, .УпражнениеВыпишите матрицы из упр.4.26§.4.25в явном видедля подпространств гильбертова пространства, связанных с:a)l= 1/2,Ь) l = 1.1i (ООтвет;L х -- 2 1а)i =!1_(1z2о1)О 'лLYh(Oi=2-i)О'о) i2 =зti 2 (1 о).-1 '4о(4.34)1263ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЬ) i =_!!_[~J2х(4.35)о~ ],f =2 п 2 [~2-1оУбедитесь в обоих случаях, что матрицы момента импульса подчиняются уравнению Ц + Ц + i~ = f 2 •Обратите внимание, что матрицы момента импульса для подпространстваl=1/2пропорциональны матрицам Паули [см.(1.7)].тождество объясняет физику, которая стоит за индексами х, у иЭтоz, присваиваемыми нами этим матрицам на протяжении всего курса.Упражнение4.27.Предположим, вы производите измерения компонентов х или у момента импульса некоторой частицы.а) Какие возможные значения могут быть получены при измерении, если известно, что частица приготовлена в состоянии с:1)1=1/2,2) l = 1?Ответ:1) {1i./2, - tz/2},2) {tz, О, - tz}.Ь) Найдите состояния, в которые схлопнется состояние частицы,выразив их в каноническом базисе.Результат последнего упражнения- то, что собственные значенияи iY ложатся в диапазон от -lh до lh с шагом tz, - не удивителен.Хотя мы выбрали f, для помощи в поиске базиса У , в оси z, еслиixговорить о физических свойствах, нет ничего необычного.
Пространство изотропно, так что наблюдаемы~ (вых измерениях точно так же, какL, .иiYведут себя при квантоБолее того, эти же свойстванаблюдались бы и в том случае, если бы мы рассматривали проекциюмомента импульса на любую произвольную ось.Упражнение 4.28. Пусть наблюдаемое f0Ф определено проекциеймомента импульса на единичный вектор ~Ф, характеризуемый сфе-264ГЛАВАрическими углами(0,4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАф). Ограничьте свой анализ подпространствомcl= 1/2.а) Покажите, что собственные значения i0Ф равны ±n/2, и найдитесоответствующие собственные состояния в каноническом базисе.Подсказка: найдите матрицу оператораi0Ф = sin е cos Фiх + sin е sin фiУ + cos eiz в каноническом базисе.Ь) Найдите средние значенияix, iY, izв этих состояниях и покажите, что они пропорциональны проекциям вектора ~ на соответствующие координатные оси.Ответ:Перед тем как закончить разговор о матрицах момента импульса,кратко коснемся принципа неопределенности Гейзенберга.Упражнениеоператоровix4.29.
Найдите математические ожидания и дисперсиии iY в состоянии llm). Проверьте принцип неопределенности. Превращается ли неравенство в равенство для каких-либозначенийl или m?Ответ:(L) = (LY) =О;(ЛL:) = (ЛL~) = п; [l(l + l)-m2 ].Принцип неопределенности принимает вид(ЛL: )(ЛL~) ~: m2•Полезно взглянуть на принцип неопределенности для состояний ст=±l, таких что L, принимает максимально возможное значение для дан22нога L2.
В классическом варианте это подразумевало бы, что Lx = LY =О.Но в квантовом случае ( L;) = [2 tz 2 , что меньше, чем ( L2 ) = l(l + l)tz 2 • Следовательно, остается некий «люфт» для х- и у-компонентов моментаимпульса:<f:>=<Ц>=C(i2 -f;))/2=tz 2 [l(l+l)-l 2 ]/2=tz 2 l/2. Этогарантирует выполнение принципа неопределенности для данныхкомпонентов.265ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА4.3.2.Волновые функции собственных состояниймомента импульсаЗамечательно, что все выведенное в предыдущем подразделеа вывели мы немало--следует исключительно из перестановочныхсоотношений между компонентами момента импульса, которые мывывели в упр.4.11.Помимо упомянутых соотношений, мы не использовали непосредственно ни определение этого наблюдаемого,ни какие бы то ни было его физические свойства.
Но сейчас наша- найти волновые функции состояний llm). И здесь нам ужене обойтись без явных выражений для операторов i 2 и iz в координатном базисе, которые мы вычислили в упр. 4.15.цель4.30. Покажите, что волновая функция любого собс собственным значением тственного состояния оператораУпражнениеi,должна иметь вид(4.37)Упражнение4.31 §. Покажите, что операторы повышения и понижения в координатном базисе задаются выражениямид) ·-+ictgeLл ::::nе'Ф·(дLл-(4.38а),дФде+д) .д· ( --+ictge::::nе-'Ф(4.38Ь)дФдеПодсказка: воспользуйтесь уравнениямиУпражнение4.32.(4.25)и(4.31).Покажите методом математической индукции,что волновые функции состоянийllm)задаются сферическими гармониками1~m(e,ф)=N11.
21е imФdl-m(l+m)! . -те,еsшsш1d(cose)-m(l-m)!(4.39)Стандартное определение сферических гармоник использует связанные полиномы Лежандра. Однако в нашем определении, позаимствованном из книгиPrinciples of quantum mechanics(Кluwer,1990),R.Shaпkar.эти полиномы не задействованы, поэтому оно менее громоздко. Этот вид определения соответствует договоренности, которая чаще всего используется в квантовой механике.266ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАгдеN = (-lY ~21+1 _1_14тс 2 1l !(4.40)есть коэффициент нормирования 1 , посредством следующих шагов.а) Если применить оператор повышения к состояниюllm)при т= l,должен получиться нуль, согласно (4.33а). Убедитесь, что это вернодля волновой функции ~ 1 (8,ф) состояния lll), задаваемой уравнением(4.39).Ь) Убедитесь в верности нормирующего множителя(4.40).Подсказка:221+1 (l ')21J(1-xdx=2 )1-1(4.41)·(21+1)!с) Примените оператор L2 , который в координатном базисе задается уравнением (4.26), к ~ 1 (8,ф), чтобы убедиться, что эта функция представляет собственное состояние i 2 с собственным значением l (l + 1) П.
2 •d) Пусть волновая функция состояния llm) задается уравнением( 4.39) при некотором т. Примените оператор понижения(4.38Ь), чтобы показать, что уравнение (4.39) задает также волновую функцию состояния11, т - 1).Обратите внимание: достаточно проверить, что ~m(8,ф) нормирована и является собственной волновой функциейf2только при т = l,(4.33),что было сделано в частях (Ь) и (с). Это так потому, что, согласномы уже знаем: оператор понижения сохраняет как собственное значениеf 2 , так и нормирование (с множителемУпражнение 4.ЗЗ§.Вычислите явно сферические гармоникидля всех возможных значенийОтвет:уооС8,ф)=я;- ;У11 (8,ф) =-!!;~(l + т)(l - т + 1) ).m,которые допустимы приl =Оиl = 1.4тсsin8еiФ;У1°(8,ф)= [3 cos8;~~1Множитель(-1)1 в уравнение (4.40) добавляется посоглашению.267ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКААбсолютные величины сферических гармоник вплоть до l =2 показаны на рис.
4.2. В соответствии с тем, что мы выяснили в упр. 4.30,эти абсолютные значения не зависят от ф и, следовательно, аксиальносимметричны.т =-2т=От =- \т =т =21/=Охz1= 1уzухzхух.УzхуzуххухухуРис.ний4.2. Абсолютные величины сферических гармоник для первых трех значе\, построенные как радиусы, зависящие от сферических углов 0 и фРанее в этом разделеразрешенных значенийl-когда мы выводили условия физическии т-я упоминал, что это лишь необходимые условия и не все они могут реализовываться. Вычислив в явномвиде волновые функции состоянийllm),мы доказали существование (и единственность) этих состояний, но только для целыхlиm.Действительно, сферические гармоники содержат множитель eimФ .При полуцеломтель дает ЧJточечнаяl квантовое числот тоже полуцелое, и такой множи(r, 8, ф) = -ч.~ (r, 8, ф + 2:л), а это невозможно.
Поэтомучастица в радиально-симметричном поле должна иметьцелое орбитальное квантовое число.268ГЛАВА4.3.3.4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСАСпинлЧастицы могут иметь «встроенный» момент импульса - спинS.Визуально его можно представить как вращение частицы вокруг своейосив отличие от «орбитального» движения точечной частицы-во внешнем поле, которое мы изучали до сих пор. Спиновая степеньсвободы подчиняется правилам для собственных состояний моментаимпульса, выведенных в подразд.ственные значения наблюдаемогогдеs-4.,_3.1.В частности, возможные собS2 задаются формулой s (s + 1) h2 ,неотрицательное целое или полуцелое число 1 • Поскольку спиновая степень свободы не имеет представления в координатномбазисе,s имеет право принимать полуцелые значения.Конкретное значениеsопределяется природой частицы, на негоневозможно повлиять внешними средствами.
Скажем, электроны,протоны и нейтроны имеют s = _!_ , тогда как у фотонов s = 1.2Физики иногда используют термин «СПИН» для обозначенияименно этого значенияs-точно так же, как они используют термин«момент импульса» для обозначения значенияl-несмотря на то,что эти значения н~ предст31вляют реальных абсолютных величинSиличто спин электрона равенL.Например, говорят,1/2.Частицы с полуцелым спином называются фермионами, а с целым-бозонами.
Согласно принципу запрета Паули, два идентичных фермионане могут находиться в одном и том же квантовомсостоянии. Этот принцип крайне важен для многих физических явлений, например, для периодического закона химических элементов (подразд.Вольфганг Паули4.4.3). Однако физические причины, стоящиеза принципом Паули, требуют понимания квантовой электродинамики и потому J_Jыходят за рамки данного курса.КомпонентS,наблюдаемого спина вдоль оси z имеет собственныезначения, заданные т 5h, где тs е{-s, ... , s} называется спиновым кванs, значения проекции спиновоготовым числом. В отличие от числаоператора частицы на конкретную ось не определяются природойчастицы.
Мы можем приготовить состояния спина с любыми значени-1В применении к спину вместо 1 обычно используется символрован для обозначения орбитального момента импульса.s.Символl зарезервиОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАямиms из диапазона,разрешенного спином частицы, а также произвольные их суперпозиции.4.4.Атом водорода4.4.1.Радиальные волновые функцииВ разделе3.5я упоминал, что одним из основных мотивов нашегоинтереса к стационарному уравнению Шрёдингера является то,что оно позволяет нам получить энергетические уровни электроновв атомах. Поскольку переходы между энергетическими уровнями связаны с поглощением или испусканием оптического фотона, эти теоретические расчеты можно непосредственно проверить экспериментально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
