Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Приравняйте слагаемые с равными степенями а в обеих частях и получите уравнение(3.191).237ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление3.13.Приготовление и измерение сжатых состоянийВ оптической реализации гармонического осцИJVIЯтора сжатые состояния мOiyr бытьполучены с использованием (вы уже догадались) параметрического рассеяния (отступление1.6). Как мы знаем, одна из главных особенностей зтого явления заключается- в точности как в сжатых вакуумных состояв том, что фотоны генерируются параминиях. В зависимости от того, одномодовый или двумодовый сжатый вакуум мы хотимполучить, используются различные конфигурации параметрического рассеяния: онолибо вырождено, если два фотона выпускаются в одной и той же оптической моде,либо невырождено, если фотоны в паре распределены по двум оптическим каналам.Ь)а)На к;;:;;;-.На~ "~~~~·ФотоннаяпараСпонтанное параметрическое рассеяние: авый сжатый вакуум; Ь--вырожденная конфшурация, порождающая одномодоневырожденная конфиrурация, порождающая двумодовый сжатый вакуумНевырожденная конфигурация выглядит так же, как описывалось в контекстеисточников объявленных фотонов (отсrупление(отступление1.6) и источников запутанных пар2.1).
Однако зти описания делались в приближении слабой накачки, такчто вероятность генерации двух или более пар фотонов одновременно пренебрежимомала. Отказавшись от этого предположения, мы получаем более общий случай : сжатие.Мы видим, что ряд(3.193)представляет собой геометрическую прогрессию:амплитуда каждого последующего члена равна амплитуде предыдущего, домноженной наth r.Именно этого и следует ожидать от параметрического рассеяния:поскольку это спонтанный процесс, вероятность появленияnпар равна вероятности появления единичной пары, возведенной в n-ю степень.
Если такая вероятностьзначима, то фактор сжатия е-' (см. упр.В случае одномодового сжатия3.108) значительно отличается от единицы.(3.191) соотношение геометрической прогрессии осложняется из-за интерференции между фотонами пары, выпущенной в одну и ту же моду.Если сжатое состояние возникло, как его можно обнаружить? Один из способов убедиться в наличии двумодового сжатия состоит в том, чтобы измерить числофотонов в двух эмиссионных модах и убедиться, что число их там и там коррелирует.Однако этот метод не позволяет установить фазовое соотношение между компонентами фотонной пары и, более того, не годится для обнаружения одномодового сжатия. Гораздо информативнее будет произвести множественные измерения координаты и импульса с использованием гомодинноrо детектора (отсrупление3.12) и убедиться в том, что их статистика ведет себя ожидаемым образом.о100200Время (мс)Множественные измерения наблюдаемого Х cose+ Psin0 в одномодовом сжатом по координате вакуумном состоянии.
Параметр 0 меняется со временем, так что -10, 90, 160 мс соответствуют измерениям наблюдаемого координаты, а -50, 130, 200 мс - импульса. Иллюстрациявзята из: G. Breitenbach, S. Schiller, and J. Mlynek, Measurement of the quantum states of squeezedlight, Nature 387, 471 (1997).238ГЛАВАУпражнение3.11 7*.1л3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПокажите, что~S 2 (r)IO,O) =-L, thnrlnn),Ch r n=O(3.193)выполнив следующие шаги.а) Вычислите перекрытие1 а,S (r)IO,O)2и тензорного произведенияа) одинаковых когерентных состояний в осцилляторах Алисыи Боба:( a,ais2 (r)lo,o)1-ехр[----3т-а 2 ].=-chrl+e(3.194)rЬ) Разложив когерентные состояния из левой части в фоковскомбазисе и оставив только члены с равным числом фотонов, покажите, что1L~ ( n,nls2(r)lo,o ) -a2n, =-e"'ihr.n. Chr(3.195)n=Oс) Разложите экспоненту в правой части приведенного уравненияв степенной ряд по а и получите уравнениеУпражнение3.118*.(3.193).Найдите среднее значение и дисперсию числаквантов энергии:а) в состоянии одномодового сжатого вакуума;Ь) в состоянии двумодового сжатого вакуума (в каждом канале).Подсказка: найдите квадрат нормы обоих состояний из уравненийи(3.191)(3.195)и вычислите производную поth r.Ответ:а) (m) = sh 2 r;\лm 2 ) = 2sh 2r +2sh 4 r;Ь) (n)=sh 2 r;\Лn 2 )=sh 2 r+sh 4 r.3.11.ЗадачиЗадача3.1.Некоторое состояние характеризуется волновой функцией'lf(X) = Ахе-к 2 х ' ; 2.а) Найдите нормирующий множитель А.Ь) Найдите волновую функцию \jf(p) в импульсном базисе.с) Проверьте принцип неопределенности: \ Лр 2 )\ ЛХ 2 ) ~ li 2 / 4.239ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАПодсказка:-f х2е-х' dx = JTT, .
-f х4е-х' dx = 3,JTT, .2 '~~4Задача 3.2. Найдите элемент матрицы(plAlp'J, если операторАесть функция координаты:а) А(х)=Ао;Ь) А=е-х';ь'.Задача3.3. Для энергетических собственных состоянийиз упр.3.40найдите неопределенности координаты и импульса и убедитесь в том,что принцип неопределенности выполняется.Задача3.4.('Jf х)=Рассмотрите состояние:{ Ах при х \< а/ 2 'J1О при х 1~ а /2где А= 2.JЗ / а 312 есть норма, в потенциальном поле из упр. 3.40.
Найдите спектр энергий этого состояния, т.е. вероятности prn наблюдениякаждого из энергетических собственных состояний. Покажите,что в сумме эти вероятности дают единицу.Подсказка:L1/ nЗадачаРассмотрите частицу массой М, начальное состояние3.5.2= 7t 2 / 6 .которой характеризуется волновой функцией ЧJ (х), в бесконечноглубокой потенциальной яме ширины а. Покажите, что эволюцияпод действием уравнения IIIрёдингера восстановит начальноесостояниеt=4Ма 2Задачавремя(возможно, с фазовым множителем) через/7tn.3.6.
Дляконечной потенциальной ямы(3.65):а) аналитически найдите приближенные поправки к первым двумэнергетическим уровням бесконечно глубокой потенциальнойямы (упр.3.40)при замене ее конечной ямой сзадается уравнениемV0 »Е1,где Е 1(3.69);Ь) найдите численно первые два энергетических собственных значения длячасти (а)?240k0 a = 10.Согласуется ли ваш результат с результатомГЛАВАЗадача3. 7.3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕЧастица находится в основном состоянии бесконечноглубокой потенциальной ямы шириной а.
Яма внезапно становитсяв два раза шире (симметрично в обе стороны). Какова вероятность,что частица останется в основном состоянии нового потенциала?8(х)v2~~~-bJ --------------------- --------- Е 1,, /--------- v1/а)--·-----L--Е"с)- - - - - - -- --;::. -- - - - ;::-- -- -- -- - - - -- --/- ------ -- -- ---Рис.3.15.ЗадачаПотенциал для задачи3.8.Е"-о3.8Нарисуйте качественно действительные части стационарных волновых функций для потенциалов, показанных на рис.3.15,с отмеченными там же значениями энергии. При решении следует уделить внимание подробностям, например взаимоотношенияммежду длинами волн де Бройля в разных областях пространства, условиям непрерывности и т.
д.00ОРис.3.16.ЗадачаПотенциал для задачи3.9.а3.9Найдите трансцендентное уравнение для собственныхзначений энергии, присущих связанным стационарным состояниямв потенциале+oo при х $;О;V(x)=iО при О< х $;а;V0при х>а.Сравните свой результат с результатом упр.3.39.241ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЗадача3.10.Выполните упр.3.41в импульсном базисе. Проверьте,согласуется ли ваше решение с решением в координатном базисе.Подсказка:1- 1J--2dx=7t; fРис.3.17.Задача(3.196)2 2dx=7t/2._(1+х)_1+хПотенциал для задачи3.11.3.11Найдите энергии и волновые функции всех связанныхсостояний, ассоциированных с потенциаломV0 и W 0 положительны, а 8 (х) есть ступенчатая функция Хевисайда(рис. 3.17).
Найдите условия существования по крайней мере одногогдесвязанного состояния.Задача3.12.Вычислите коэффициенты отражения и прохождениядля рассеяния на дельта-потенциалеV (х) = W00(х) с энергией Е>О.Сравните свои результаты с результатами, полученными из уравнений(3.81) для бесконечно тонкого и высокого прямоугольного потенциального барьераЗадача3.13.(L~ О,V0 = W0 / L).Массивная частица массой М закреплена на пружинес коэффициентом упругости к. Второй конец пружины прикрепленк стене, в результате чего возникает гармоническое колебательноедвижение.а) Напишите полный набор энергетических собственных значенийи соответствующие нормированные волновые функции в неперемасштабированном координатном базисе.Ь) Предположим, в точке х =О появляется новая стена, как показанона рис.2423.18,так что частица не может заходить в область х >О.ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕКаким образом следует модифицировать записанный набор,чтобы он представлял энергетические собственные значенияи собственные состояния для нового потенциала?Рис.3.18.ЗадачаИллюстрация к задаче3.14.3.13Массивная частица массой М закреплена на пружинес коэффициентом упругости к.
Второй конец пружины прикрепленк стене, благодаря чему образуется гармонический осциллятор. Первоначально частица находится в основном энергетическом собственном состоянии.а) В момент времени t =О на частицу начинает действовать дополнительная, не зависящая от координаты сила F. Найдите вероятностьобнаружения частицы в основном состоянии нового потенциала.Ь) Найдитематематическоеи импульса(p(t))ожиданиекоординаты(x(t))частицы в зависимости от времени.Подсказка: вычислять эволюцию волновой функции необходимости нет.Задачаном3.15 1• Когерентное состояние с одним добавленным фото(SPACS, single-photon added coherent state) получается из когерентных состояний при действии на них оператора рождения:la,1) = NCi' la).а) Найдите нормировочный множительN.Ь) Найдите разложение этого состояния в базисе чисел фотонов(упрощать результат не требуется).с) Найдите математическое ожидание координаты.d)1Найдите волновую функциюSPACS для действительногоа.Во всех последующих задачах используйте перемасштабированные наблюдаемыекоординаты и импульса, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
