Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. [Х. Р] = i.243ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАе) К какому квантовому состоянию приближаетсяSPACS в пределеа= О? а_, оо?ЗадачаРассмотрим состояние гармонического осциллятора,3.16.разложение которого в базисе чисел квантов имеет видIЧJ (t =О)) =аIO) -Р12),где а и р действительны и а2+р2= 1.а) Найдите волновую функцию IЧJЬ) Определите поведение IЧJ(t =О)) в координатном базисе.(t) ) этого состояния в зависимостиот времени в числовом базисе.с) Найдите математическое ожидание и дисперсию энергии в зависимости от времени.d)Найдите математическое ожидание и дисперсию координатыв зависимости от времени.е) Для каких значений а и Р состояние IЧJ (t =О)) является сжатымпо координате, т.
е. дисперсия координаты меньше, чем в вакуумном состоянии?Задача3.17.Рассмотрим следующее состояние двух гармоническихосцилляторов:IЧJ) =аIO, О) -Р11, 1),где а и р действительны и а 2+р2= 1.а) Для каких значений а и р это состояние демон~трирует двумодовое сжатие по координате, т.е. дисперсия Хл -Х 8 меньше,чем в двойном вакуумном состоянии?Ь) Ответьте на этот же вопрос для импульса.Задача3.18. Рассмотрим когерентные суперпозиции когерентныхсостояний IS±)=N±(la)±l-a)), где N± - нормирующие множители,а амплитуда а действительна и положительна 1•1Данное состояние иногда называют «кошкой Шрёдингера», хотя оно и не полностьюсоответствует оригинальному мысленному эксперименту Шрёдинrера с запутанностьюмежду микроскопическим и макроскопическим объектом.
Тем не менее это суперпозиция двух« классических» и потенциально макроскопических когерентных состояний, поэтому оно в высшей степени неклассично. Построение таких состояний со все большимиамплитудами а может помочь нам определить пределы применимости квантовой физики-244см. подразд.2.4.3.Поэтому они являются предметом активного изучения.ГЛАВАа) Найдите3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕN±.Ь) Найдите матрицы (волновые функции) этих состояний•••в фоковском базисе;в координатном базисе;в импульсном базисе.с) Покажите, что для малых амплитуд а данные состояния можноаппроксимировать до двух первых членов фоковского разложения состояниямии найдитеЗадачаr±(a), для которого такое приближение оптимально.3.19.
Дляоператоров смещения в фазовом пространствеDxp(Xa,PJ И Dxp(Xp,Pp)при а,~=Ха" +iP""'"J2 '" :а) выразите оператор DxP(Xp,Pp)DxP(X",P") черезDxp(X" + Хр,Ра + Рр);Ь) выразите состояние DxPCXp,Pp)la) через вектор когерентногосостояния а + ~) .1Задача 3.20. Для оператора координатного смещения Dx (Х0 )в перемасштабированных переменных:._.а) наидителлtллtлtлDx(X0 )aDx(X0 ) и Dx(X0 )a Dx(X0 );Ь) найдите [a,Dx(X0 )] и [at ,1\(Х0 )];с) найдите фоковское разложение смещенного однофотонногосостояния Dx(X0 )ll).Подсказка: n) = (u' )" О)/ М.1Задача3.21.1Гармонический осциллятор, находящийся первоначально в вакуумном состоянии, эволюционировал под действиемJ/гамильтониана Н1 = r[ u2 + (u' )2 2 или Н2 = rP 2 , с действительными положительным r, на протяжении времени t 0 • Проведите следующиевычисления для получившегося состояния.а) Найдите среднее значение и дисперсию обобщенного наблюдаемого квадратуры Х0угла 8.= Х cos8+ Psin8 для произвольного245ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЬ) Определите, какой угол ответствует максимальному сжатию.с) Определите, чему равна дисперсия соответствующей квадраrуры.Выполните эти вычисления как для гамильтониана Н1 , так и Н2 •Задача3.22.Два гармонических осциллятора, находящиеся первоначально в вакуумном состоянии 1О)®1О),взаимодействуют под действием гамильтонианапри действительном и положительном Х·а) Напишите дифференциальные уравнения для наблюдаемыхкоординаты и импульса xA,B(t) и PA,B(t) в представлении Гейзенберга.Ь) Решите эти уравнения и получите выражения для Хл в(t) иPA,B(t).'с) Найдите математическое ожидание и дисперсию наблюдаемыххА,В' РА,В' Х±=(ХА±Хв)/J2.
и Р±=(РА±Рв)/J2. в зависимоt.сти от времениd)Для каких значенир t наб1!юдается двумодовое сжатие, т. е.неопределенность Х± или Р± ниже неопределенности вакуумного состояния в момент времениt= О?е) Найдите в фоковском базисе приближение первого порядкасостояния, в которое эволюционирует двойной вакуум под действием гамильтониана Н, в представлении Шрёдингераи в предположении xt / li « 1 .f) Найдите среднее квадратичное значение \ х;) для этого состояния.
Согласуется ли ваш результат с результатом части d)?ГЛАВА4МОМЕНТ ИМПУЛЬСАВесь век вертясь вокруг своей оси, не знать ни азимута, ни азаИ, даже угадав орбиту, двигаться все же поперек.1+.1. Трехмерное движениеТеперь, когда мы разобрались в одномерной квантовой механике, поравспомнить, что пространство, в котором мы живем, является трехмерным. Поэтому, чтобы дать квантово-теоретическое описание реальныхфизических объектов, таких как атомы, необходимо обобщить наширезультаты на три uзмерения. Для этого мы говорим, что гильбертовопространство трехмерных состояний точечной частицы представляетсобой тензорное произведение гильбертовых пространств, связанныхс отдельными координатами:(4.1)Трехмерные операторы координат и импульса-это векторы 1 , компонентами которых являются координатные и импульсные наблюдаемыеотдельныходномерныхпространств 2 :f = (x,y,z),fi = (рх, Ру, р,) .
Перестановочные отношения между компонентаминаблюдаемых трехмерных координат и импульса выглядят так:[r1 , А]= iho Jk • То есть координата и импульс не коммутируют междусобой в том и только том случае, когда принадлежат одному и тому жегильбертову пространству.Под собственными состояниями векторных операторов мы понимаем одновременные собственные состояния их компонентов. Напри-1Чтобы избежать пуrаницы, мы не будем в этой главе использовать термин «вектор»в смысле «элемент гильбертова пространства».
Будем применять его только для обозначения наблюдаемых, имеющих х-, у- и z-компоненты.2Иногда мы будем пользоваться альтернативной системой записи, имеющей такойвид: i= = <F,J,J-1), Р = <fJ,, fJ,, Р1).247ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАмер, состояние 1r)=1х)®1у)®1 z) удовлетворяет сразу трем уравнениям:xl r) =(х ®i ®l)(jx) ®jy)®lz)) =xl r);YI r) =ci ®у® l)(jx)®jy) ®lz)) =YI r);zl r) =ci ®i ®z)(jx)®jy) ®lz)) = zl r)'так что 1 r) есть собственное состояние(4.2)f.Сразу хотелось бы подчеркнуть, что векторный оператор не является тензорным произведением операторов в смысле подразд.2.1.3,а представляет собой набор из трех ?Ператоров. Это означает, к примеру, что, подействовав операторомr на тензорное произведение собственных состояний координат 1r)=1х)®1у)®1 z) , мы будем иметьнабор из трех состояний(xjr),yjr),zjr)).
Если бы f был тензорнымпроизведением операторов, мы вместо этого получили бы единственное состояние xyz1r) .Как и в одномерном случае, волновая функция любого состоянияIЧJ) задается формулой(4.3)Упражнение4.1.Покажите, что:а) произвольное состояние 1ЧJ) связано со своей волновой функцией(4.3) согласно---1'1') = J J J 'l'(r)jr)dxdydz;(4.4)Ь) скалярное произведение двух состояний 1ЧJ) и1q>)вV3 Dзадаетсяформулой---('l'l<p)= J J J'l'·(r)<p(r)dxdydz.Упражнениел яр но е4.2.(4.5)Напишите трехмерную волну де Бройля, т.
е. скапроизведениесостоянийjr)=lx)®jy)®jz)иIP) =lpx)®IPy)®lpz) ·Ответ:1!_,-;,р---е''(27tn)З/2248(4.6)ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАТеперь посмотрим на гамильтониан, управляющий движением в трехмерном пространстве. Как и при рассмотрении одномерного случая,одной из наших целей в данной главе будет поиск волновых функцийэнергетических собственных состояний для различных потенциалов.Гамильтониан механического движения представляет собой суммукинетической и потенциальной энергий.
В трех измерениях он принимает вид(4.7)Наблюдаемое кинетической энергии вV30есть сумма кинетических энергий, соответствующих отдельным координатам. Еслис потенциальной энергией дело обстоит так же, т. е. если можно разложитьV(r) = Vx(x)+ VY(y)+ V,(z),то мы сможем искать решения стационарного уравнения Шрёдингера среди разделимых состоянийв соответствии с упр.2.26(с). Простой пример такой ситуациичай свободного пространства приная волна де Бройля(4.6),V(r) =О.-слуДействительно, трехмерпредставляющая некоторое собственноесостояние этого гамильтониана, есть произведение волн де Бройлядля отдельных координат.Упражнение4.3. Покажите, что состояниесобственнымсостояниемfi 12м = cv; + v.~ + v;) 12моператорасIP)кинетическойсобственнымявляетсяэнергиизначением(р; + р~ + р;)/2М.Еще один пример можно найти в следующем упражнении.Упражнение4.4'.Найдите энергетические собственные значенияи их степени вырождения для трехмерного изотропного гармонического осциллятора с V(r) = М ro 2 r 2 / 2, где r 2= х2 + у2 + z2 •В общем случае, однако, потенциал не есть сумма потенциалов дляотдельных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
