Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. не зависящим от времени.Упражнение3.94. Предположим, что в представлении Гейзенбергаэволюция оператора х под действием гамильтониана Н преобразуетего следующим образом:iл-Нtx(t) = eh1 л--Нtх(О)е ''(3.149)= j(x(O), t),гдеf (х,t) - действительная обратимая функция. Покажите, что в представлении Шрёдингералюбое собственное состояние lx) операторахс собственным значением х эволюционирует в собственное состояниеэтого же оператора с собственным значениемf(х,t).Этот результат можно записать математически какi.е- Ht' lx) = K(x,t)IJCx,t)),где К (х,t) -(3.150)некоторый коэффициент пропорциональности. В случаекоординатного смещения и координатных собственных состоянийэтот коэффициент равен единице, как в(3.146),но в общем случае этоне так. Например, если рассмотреть действие координатного смещениянаоператор[см.(3.14ЗЬ)],ноимпульса,K(x,t 0 )=e-11'ХоРтомыполучимj(p,t0 )= р:;tl,каквидноиз(3.147).Получается, таким образом, что возможности определить комплексный аргумент К (х, t) из эволюции х в представлении Гейзенбергане существует.
Однако мы можем определить его абсолютное значение,используя тот факт, что еправая часть уравненияУпражнение3.95.- ~ ilt'' - унитарный оператор и, следовательно,(3.150) должна иметь ту же норму, что и lx).Покажите, что(3.151)225ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАгде производнаядj'(x,t)=-f(x,t)дхвой.УпражнениеIK(x,t)3.96.12 =считается конечной и ненулеПокажите, что в уравненииlf'(x,t)(3.150)1.(3.152)Пусть, например, для некоторого t значениеf(х, t) = 2х, так что эволюция «растягивает» наблюдаемое координаты вдвое. Тогда ~авнение(3.151), как и можно ожидать, принимает вид (2xl2x')=-O(x-x'),2и, следовательно, IK (х, t) 12 = 2.Упражнениефункция ЧJ (х,3.97.Основываясь на(3.150),покажите, что волноваяt) произвольного состояния 1ЧJ) эволюционирует во времени согласноЧJ (х,t)=К' (х,- t)ЧJ(f (х, - t),О).(3.153)Располагая результатами двух последних упражнений, мы можемпредсказать действие эволюции на абсолютную величину волновой функции наблюдаемого х.
Прежде чем сделать это, исключимиз(3.153)отрицательное время.Упражнениеа) f(x,-t)3.98.=Г1Покажите, что:(х,t);Ь) 1K(x,-t)1 = Ij'(~,t) I2Упражнение3.99.Объедините имеющиеся результаты и получитедля эволюции плотности вероятности, связанной с волновой функцией ЧJ (х, t)(3.154)Возвращаясь еще раз к примеру f(x, t)нимает вид l'l'(x,t)l 2 =~1'1'(~,0= 2х, видим, что (3.154)приJ.
Функция плотности вероятностирастягивается вдоль оси х и приобретает нормировочный множитель,uравныи2261- , чего2и следовало ожидать интуитивно.ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕХотя представление Гейзенберга не предсказывает эволюцию комплексной фазы волновой функции, его можно использовать для расчета зависимости от времени абсолютного значения этой функции-и, следовательно, экспериментально измеряемой плотности вероят.ности, связанной с наблюдаемым х В общем случае представлениеГейзенберга не менее мощный инструмент предсказания экспериментальных результатов, чем представление Шрёдингера; выбор тогоили иного представления для конкретного расчета диктуется соображениями простоты и зачастую личными предпочтениями исследователя.3.1 О.Преобразования состояний гармоническогоосциллятораРассмотрим теперь несколько операторов, которые могут быть применены к квантовым состояниям гармонического осциллятора и особенно важны в контексте квантовой оптики.
Мы изучим эти операторы как в представлении Шрёдингера, так и в представлении Гейзенберга, приобретая таким образом дополнительные навыки и большеузнавая о взаимоотношениях между этими представлениями.В данном разделе мы не будем считать априори, что системанаходится под действием гамильтониана гармонического осциллятора. Отсылка к гармоническому осциллятору будет ограниченаиспользованием перемасштабированных наблюдаемых координатыи импульса, введенных в разд.3.8, оператороврождения и уничтожения, а также состояний и соотношений, выработанных в их контексте. Эти соотношения (за исключением тех, что относятся к энергиями эволюции состояний) остаются верными вне зависимости от гамильтониана и корректны для любых значений к, М иw,используемыхдля перемасштабирования.3.10.1.
Когерентное состояние как смещенноевакуумноеДля начала покажем, что когерентное состояние может быть записано как смещенное вакуумное, и воспроизведем некоторые результаты подразд.3.8.3более простым способом.227ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА3.100. Покажите, что оператор фазово-пространственУпражнениеперемасштабированныхвсмещенияногоединицахьХР (Хо' Ро) = eiPuX-iXoP соответствует следующим преобразованиям3.13 а):в представлении Гейзенберга (рис.(3.155а)(3.155Ь)(3.155с)где а-оператор уничтожения.Подсказка: введите фиктивный гамильтониан fI = nro(P0 X - Х0 Р),где (1) = 1/t, и исследуйте эволюцию операторов х' р и а под действием этого гамильтониана за время t.Упражнение 3.101.
Убедитесь, что вектор DxPCXa,P,JIO), где 10)есть вакуумное состояние, является собственным вектором операторабуничтожения с со ственным значениема=J2 . Уб едитесь,Ха +iPaчто норма этого вектора равна единице.Сравнивая полученный результат с определением когерентногосостояния (подразд.3.8.3),мы видим, что(3.156)Обратите внимание-мы используем знак пропорциональности,а не равенства: когерентные состояния la) следуют определенномуфазовому соглашению, и мы не можем пока быть уверены, что праваясторона уравнения(3.156)имеет ту же фазу. Мы определим эту фазув следующем упражнении.Упражнение3.102*а) Покажите, что оператор смещения можно переписать как(3.157)Подсказка: используйте(3.100).Ь) Преобразуйте результат пункта а) следующим образом:fJ228ХР(Ха'р )=e-lal 2 /2ea.i/e-a·aа•(3.158)ГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕПодсказка: используйте формулу Бейкера-Хаусдорфа-Кэмпбелла (А.54).с) Покажите, что правую часть(3.156)можно переписать как(3.159)Упражнение3.103.Выразите правую часть(3.159)в базисе Фокапосредством разложения экспоненты в степенной ряд.Мы видим, что правая часть уравненияфоковское разложение(3.122),(3.156) имеет в точности то жечто и когерентное состояние.
Это означает, что посредством смещения вакуума мы получаем состояние, которое не просто пропорционально, но и равно когерентному состоянию:!а)= L\p(X",P,JIO).ьрахPalхРис.3.13.(3.160)р!; '\,~//~ //рсх//~/\~"'-- х----... "'>. { ,r--\\ //Представление в фазовом пространстве операторов смещения (а),фазового сдвига (Ь) и сжатия (с).
Показанное сжатие соответствуетФазовый сдвиг3.10.2.Эволюцию под действием гамильтониана гармонического осциллятораe(3. 96)i .---Ht1'можно переписать как.=еВ упр.-1ыt1)( n+-.2(3.161)•3.73 мы выяснили, что эта эволюция преобразует когерентное\.состояние la) в другое когерентное состояние, е- 2 ""1 iae-iюr). Добавля-229ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАется когерентный фазовый сдвиг навый множитель е_!iооt2wt и,кроме того, квантовый фазокоторый возникает из свободного члена гамиль-,тониана. Удоб но ввести оператор фазового сдвига(3.162)где <р-действительное число. Действие данного оператора эквивалентно эволюции(3.161)за время t= <p/w, ноне содержит вышеупомянутого дополнительного квантового фазового множителя.Упражнение3.104.Покажите, что:а) F(<p)jn)=exp(-i<pn)jn),(3.163)Ь) F(<p)ja)=iae-i"').(3.164)Уравнение(3.163)показывает, как работает когерентный фазовыйсдвиг: он применяет квантовый фазовый множитель ехр(-i<pn) ln)к каждому фоковскому компоненту 1 п) состояния.
Действуя совместнов рамках суперпозиции фоковских состояний, эти квантовые фазовыесдвиги (каждый из которых по отдельности нефизичен) приводятк физически измеряемому когерентному фазовому сдвигу.Упражнение3.105.Покажите, что фазовый сдвиг преобразует операторы гармонического осциллятора следующим образом (рис.лt,....лл.(3.165)F (<p)aF(<p)=ae-'"';Л tF"tЛt(<р)аЛЛtF(<p) =аллл.е'"';(3.166)лF (<p)XF(<p) = Х cos<p+ Psin<p;лtллл3.13 Ь):(3.167)лF (<p)PF(<p)=Pcos<p-Xsin<p.Подсказка: по аналогии с упр.(3.168)3.100введите фиктивный гамильтониан, такой, чтобы операторные преобразования левых частей приведенных уравнений можно было интерпретировать как их эволюциюпод действием этого гамильтониана в представлении Гейзенберга.Мы видим, что применение оператора фазового сдвига (или эволюции гармонического осциллятора) ведет к повороту фазового пространства по часовой стрелке на угол <р= wt вокруг начала координат.Это повторяет полученный нами ранее результат230(3.115) для эволюцииГЛАВА3.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕсредних значений координаты и импульса под действием гамильтониана гармонического осциллятора.
Вспомним также, что мы получилипоследние два из приведенных выше уравнений, в неперемасштабированных переменных, когда вводили представление Гейзенберга в подразд.3.9.1.3.10.3.СжатиеОператор одноосцшvzяторного (одномодового) сжатия(squeezing)задается формулойS(r)=er(a 2 -ci''J;2,(3.169)действительное число.где параметр сжатияr-УпражнениеПокажите, что оператор сжатия унитарен иs'(r) =3.106§.s- cr) = s(-r).1Подсказка: см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
