Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Однако этого не допускает прин(Pauli exclusion principle). Как мы обнаружилив упр. 4.39, энергетический уровень [или оболочка (shell), сказали быхимики] п = 1 вмещает всего два электрона. Если атом имеет большедвух электронов, то оставшиеся будут вытеснены на оболочку п = 2,которая вмещает 8 электронов, п = 3 вмещает 18 электронов, и т.д.на энергетическом уровне с п =цип запрета ПаулиЧем выше атомный номер, тем больше оболочек в атоме заполнено.А теперь введем в картину взаимодействия между электронами.Квантовую задачу многих тел можно упростить, заметив, что электроны на разных оболочках, как правило, слабо взаимодействуютмежду собой.
Так происходит потому, что, как видно из рис.4.3, электроны более низких оболочек располагаются в среднем намного ближек ядру. Пространственные перекрытия волновых функций, связанныхс разными оболочками, относительно невелики, так что электроныпроводят мало времени в непосредственной близости друг к другу.«С точки зрения» электронов внешних оболочек, частицы внутренних оболочек, по существу, играют роль плотной отрицательно заряженной сферы (отсюда и термин «оболочка») вокруг ядра, экранируяего притягивающий потенциал своим отрицательным зарядом.Химические свойства элемента определяются прежде всего электронами самой внешней занятой оболочки-валентной. Дело в том, что они281ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАобладают наибольшими энергиями (рис.4.4)и потому скорее вступаютв химические реакции.
Принципиальным фактором является числоэлектронов на внешней оболочке. Если она заполнена (принцип Паулине позволяет дополнительным электронам проникать в нее), то атом- это характерно для инертных4.2, так обстоит дело с гелием (атомныйномерZ = 2) и неоном (Z = 2 + 8 = 10). Обратите внимание, что следующийинертный газ - аргон - имеет атомный номер Z = 18, а не 2 + 8 + 18 = 28,неохотно реагирует с другими атомамигазов. Как можно увидеть из табл.так что он не следует данному правилу. Я объясню это чуть позже.Если валентная оболочка содержит только один электрон (у литиясZ= 2 + 1 = 3, натрия с Z = 10 + 1 = 11, калия с Z = 18 + 1 = 19 и т.д.), онслабо взаимодействует с электронами внутренних оболочек и ведет себятак, будто является единственным электроном в атоме. Эти элементыназываются щелочными металлами.
При вступлении в химические реакции такие атомы чаще всего отдают свой единственный валентный электрон и превращаются в положительные ионы. Происходит это потому,что энергия связанного состояния внешнего электрона близка к нулю.У галогенов (фтора cZ= 10-1 = 9, хлора cZ = 18-1 = 17 и т.д.), напротив, в валентной оболочке не хватает только одного электрона, а значит,подобным атомам выгоднее «перетащить» к себе какой-нибудь электрон и заполнить таким образом свою внешнюю оболочку, придя в низкоэнергетическое собственное состояние.
Именно поэтому щелочныеметаллы и галогены склонны мощно реагировать друг с другом, образуя стабильные соединения, такие как поваренная сольУ группы элементов в табл.(NaCl).4.2, которая начинается с калия (Z = 19),= 4 начинает заполняться еще до того, как заполнилась оболочка п = 3, l = 2. Причина в следующем. Мы уже выяснили, что в атомеоболочка пводорода состояния с одним и тем же главным квантовым числом п,но с разными орбитальными квантовыми числамиlобладают одинаковой энергией. Оказывается, это уникальное свойство атомов и ионов,имеющих всего один электрон. Электроны с большими значениямимомента импульса располагаются в среднем дальше от ядра. Следовательно, в многоэлектронном атоме электрон в состоянии с большимlзаслонен от поля ядра другими электронами, а потому обладает большей энергией, чем его собрат с тем же п, но меньшимl1.
Это свойствоl. В частности,особенно ярко проявляется при высоких значениях п и1Магнитное же квантовое число т не влияет на энергию даже в многоэлектронныхатомах.282ГЛАВА= 3, l = 2состояния с пспМОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.обладают большей энергией, чем состояния= 4, l = О. Поэтому после аргона, у которого состояния сп =3 и [ = О, 1заполнены, начинает заполняться четвертая оболочка, хотя в третьейеще есть вакантные места. Именно по этой причине аргон ведет себякак инертный газ.Разумеется, третья оболочка тоже должна будет когда-то заполниться.
Такое происходит при значенияхZот21до30,от скандиядо цинка. Поскольку у всех этих элементов (кроме хрома и меди)на внешней оболочке находится два электрона, все они имеют относительно схожие химические свойства.4.5.Сфера БлохаВ предыдущем разделе мы нашли собственные состояния операторов,связанных с проекциями вектора момента импульса на разные оси.Теперь давайте поставим перед собой обратную задачу. Можно ли рассматривать произвольный элемент гильбертова пространства как собственное состояние проекции момента импульса на какую-то конкретную ось? Иными словами, можно ли ассоциировать вектор моментаимпульса определенного направления с некоторым состоянием движения, как это делается в классической физике? Ответ оказываетсяутвердительным, но только для подпространства, связанного сУпражнение4.48.новое состояние1[ =- .2Рассмотрим произвольное нормированное спиl'Jf)='Jf;li)+'Jf 1 1J..), где li) и IJ..) - обозначениямагнитным квансостояний частицы со спином1/2, соответствующихтовым числам ms =1/2 и -1 /2.Без потери общности определим общуюквантовую фазу этого состояния так, что ЧJ; действительно и неотрицательно.а) Покажите, что для любого состояния 1ЧJ) мы можем определитьединственную пару углов'Jf;\jl 18Е [О, л] и ф Е [О, 2л), такую что8=cos-;28 .(4.62а)= sin-e'Ф(4.62Ь)2Ь) Покажите, что состояниел 1ЧJ) есть собственное состояние проекS 1 на векторции момента импульсасферических углов.18,~Ф, направленный вдольф с собственным значениемМы используем символ .~, а не.L,n/2.чтобы подчеркнуть, что подпространство1= 2может соответствовать только спиновой степени свободы.283ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАс) Покажите, что декартовы координаты вектора ~Ф равны средним значениям наблюдаемых О-х ,& У ,О- z для соответствующегосостояния lчi).Подсказка: вспомните упр.Из упражнения4.28.4.48 мы узнаем, что для каждого спинового состоянияIЧJ) можно определить вектор, такой что спин в этом состоянии «указывает в направлении» этого вектора.
Он называется веюпором Блоха состояния 1ЧJ), а полное множество таких векторов называется сферой Блоха.Упражнение4.49.Объясните, почему аналогичное соответствиене может быть установлено для подпространств с моментом импульса[>.!..2Упр~!fе!fиеровSx ,SY ,Sz4.5.4.50§. Убедитесь,что собственные состояния оператосоотносятся с точками на сфере Блоха так, как показанона рис.Упражнение4.51.Покажите, что любые два состояния, представленные противоположными точками на сфере Блоха, ортогональны.Гильбертово пространство, связанное с частицей со спином .!_,пред2ставляет собой кубит. И в самом деле, его базис состоит из двух элемен-тов: «спин-вверх»li)и «спин-вниз»lt).
Это означает, что мы можемустановить однозначное соответствие (изоморфизм 1 ) между состояниями спина и любого другого кубита-например, спиновое состояниеali) + Plt) ставится в соответствие поляризационному alH) + PIV).Тогда собственные состояния Sx будут отображаться на состояния диагональной поляризации 1+) и 1-), а собственные состояния S на состояния круговой поляризации 1R) и 1L).у1Изоморфизм.f(-)между линейными пространствамиVиWесть взаимно однозначное отображение 1а) Е V н .f (1 а)) Е W , такое что для любых 1а), 1Ь) Е V и числа Лf(la) + lb)) =f(la)) + f(lb));f(Лla))(4.63)= Лf(la)).Обратите внимание на разницу между изоморфизмом и линейным оператором (определение А.15). Линейный оператор есть отображение в пределах единого линейного пространства, тогда как изоморфизм может связывать два разных линейных пространства.Кроме того, линейный оператор не обязан быть взаимно однозначным отображением.284ГЛАВАРис.4.5.4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАСфера БлохаИсходя из сказанного, мы можем представить поляризационныесостояния при помощи точек на сфере Блоха (рис.ние, что линейные поляризационные состояния4.5).
Обратите внимаla)=cos а IH) +sin а 1V)(где а - угол поляризации) моrуг в то же время быть записаны в соответ-ствии с(4.62)как la)=cos.O.lн)+sin.O.lv) (где е - полярный угол22на сфере Блоха). Это означает, что данный угол равен удвоенному углу4.5, состояния IH) и 1V) раз180°, а состояния IH) и 1±) - углом 90°.поляризации. К примеру, как видно из рис.делены на сфере Блоха угломОбратите внимание на разницу в логике нашей работы с операторами Паули и их собственными векторами при изучении поляризации фотона в главе1испина в данной главе.
В первом случае мысначала ввели три поляризационных базиса, а затем в упр.1.29 определили операторы Паули как наблюдаемые, связанные с этими базисами. Здесь же мы сначала в упр.4.26получили операторы Паулииз физики момента импульса, а затем вычислили их собственныесостояния.Упражнение4.52.Горизонтально поляризованный фотон проходит через:а) полуволновую пластинку;Ь)*четвертьволновую пластинку285ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОтступление4.4.Магнитный момент в магнитном поле: классическая физикаПредположим, что прямоугольная рамка размером а х Ь, по которой протекает токI,помещается в магнитное поле В, ориентированное вдоль оси z. Нормаль к рамке располагается под углом а к оси z, как показано на рисунке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
