Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Покажите, что[Lx, iY] = inL,для компонентов моментаимпульса, выраженных как дифференциальные операторы:а) в декартовых координатах;Ь) в сферических координатах.Задача 4.5*. Выполните упр. 4.4 в сферических координатах и проверьтесогласованность результата с решением в декартовых координатах.4.6. Для l = 3/2:а) найдите матрицы ix , iY , i, , i± и f 2 в явном виде;+ Ц + Ц = L2 ;Ь) убедитесь, что эти матрицы подчиняютсяс) определите коммутаторы [Li, ij] в матричном виде и убедитесь,Задачаf:что они согласуются с известными коммутационными соотношениями для компонентов момента импульса.4.
7. Обобщите упр. 4.28 на подпространство с произвольной /.Рассмотрите собственное состоярие Jlm 8<p) наолюдаемого fR.,,, (котороеЗадачапредставляет собой проекциюL на вектор ~Ф ) с собственным значением mh. Найдите средние значенияix , iY , i,в этом состояниии покажите, что они пропорциональны проекциям вектора ~Ф на соответствующие координатные оси.Подсказка: измените систему отсчета на (х', у',параллельна ~Ф, и выразитеЗадача4.8.ix , iYиСчитая радиус протонаf,rР -черезz'),где новая осьix' , LY,иz'f,, .10- 15 м, оцените долю времени, которую электрон в состоянии j 1, О, О) проводит внутри ядра.Как изменится ваш ответ, если электрон заменить на мюон (мюон308ГЛАВА4.имеет тот же заряд, что электрон, и массу Мµ =МОМЕНТ ИМПУЛЬСА207М)? Почемумюонные атомы считаются полезными для изучения ядерной структуры?4.
9. Рассмотрим два объекта с состояниями момента импульса/ 1 ) и l/2 , m 2 = / 2 ). Покажите, что состояние тензорного произведения l/1, m 1 = /1 ~ ® ll~, m 2 = l 2dпl1едс'Sавляет собой собственное состояние операторов L2 и Lz (где L = L1 + L2 ) с собственными значениями,ллсоответствующими l = m,_ = /1 ~ l 2 •Подсказка: выразите Lx и LY через L±,i и L±,2 •Задачаl/1, m 1 =Задача 4.10.
Как мы знаем, операторы повышения и пониженияi+соответственно увеличивают и уменьшают собственное значение (на tz. Постройте аналогичные операторыи понижать собственные лсостоянияа) найдите матрицыL:ix . Сч~тая l = 1:в каноническом базисе;Ь) найдите собственнь;е состоянияс) применитеi:i: , которые будут повышатьixв матричном виде;к этим собственным состояниям и убедитесь,что их действ~е аналогично действию i+ на собственные состояния i, (с точностью до произвольног~ фазового множителя,который может возникнуть случайным образом при определении собственных состоянийЗадача4.11.ix ).Электрон в атоме водорода приготовлен в состоянии,которое одновременно является собственным для следующих наблюдаемых:•энергии с собственным значением- -(13,6/4) эВ,квадрата орбитального момента импульса с собственным значением2tz 2 ,проекции орбитального момента импульса на ось х с собственным значениемtz.Напишите волновую функцию этого состояния.Задача4.12.
Найдите математическое ожидание и дисперсию наблюлдаемых ха)Ь),ллуиzв состояниях12, 1, 0),12, 1, 1)атома водорода.309ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЗадача4.13.Рассматривая земной шар как сферу Блоха, напишитев каноническом базисе спиновое состояние, соответствующее вашемугороду. Гринвичский меридиан соответствует ф = О.Задача 4.14. Для произвольного спинового состояния ЧJ;li) + Ч'tll)выразите декартовы компоненты соответствующего блоховского вектора через ЧJ; и ЧJЗадача4.15.t.Линейно поляризованные фотоны с разными угламиполяризации а проходят сквозь четвертьволновую пластинку, оптическая ось которой ориентирована:а) горизонтально;Ь) под45°.Найдите положение результирующих состояний на блоховскойсфере.Задача4.16.Рассмотрим эволюцию спинового состояния частицысо спином 1 под действием постоянного магнитного поля В, ориентированного вдоль оси х.
Начальное состояние IЧJ (О)а) Найдите спиновое состояние IЧJв матричном виде в собственном базисеЬ) Найдите средние значения) = 1ms = 1).(t) ) в зависимости от времениS, .(sx(t)), (syco) и {s,eo) и убедитесь,что они согласуются с тем, что ожидалось бы в классическомварианте.с) Состояние IЧJ(t) )измерено с использованием прибора Штерна-Герлаха с магнитным полем, ориентированным вдоль оси у.Найдите вероятность того, что наша частица окажется в каждой из трех этих точек. Согласуются ли величины, найденныев моменты, соответствующие1/4 и 3 / 4 периода Лармора,с тем,чего следовало бы ожидать, исходя из пункта Ь)?Задача4.17.Электрон помещен в гармонический потенциал и приготовлен в состоянии, в котором его спин и кинетические степени свободы находятся в запутанном состоянии1\JI) = N (1i)1а)+ll)1-а)) ,где310la) - когерентное состояние.ГЛАВАа) Найдите нормирующий множитель4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАN .Ь) Измеряется число вибрационных квантов п.
Для каждого п найдите вероятность соответствующего результата и направлениеспина после измерения.с) Измеряется проекция спина на вектор ЙеФ. Найдите вероятность каждого возможного результата и волновую функциюэлектрона после измерении в координатном базисе.Задача4.18.Выполните упр.4.74,а),4.75и4.76с использованиемшрёдингеровой эволюции спинового состояния в матричном виде,не обращаясь к геометрии блоховского вектора.Задача4.19.В эксперименте со спиновым эхо вместо стандартнойвозбуждающей последовательности импульсов ( %,1t) применяетсяпоследовательность:а). (~2, е).,Ь)(е, п) .Вычислите амплитуду полученного эхо-сигнала в сравнении с тем,который получается под действием стандартной последовательности.Задача4.20.В эксперименте со спектроскопией Рамзея песто стан-vдартнои последовательности возбуждающихимпульсовменяется последовательность:1t 1t)-,2 2при-а) (%,е);Ь) ( е,%}с) (е,е).Вычислите населенность состояний1i)и 1 J,) в зависимости от 8и Лt, где Л есть отстройка радиочастотного поля, а t ность эксперимента.продолжительГЛАВА5КВАНТОВАЯ ФИЗИКАСЛОЖНЫХ СИСТЕМНам виден всякий дефект, распад,Диверсия или другой разлад,Но мы не из тех, кто бьет в набатИ мечется оголтело."5.1.Оператор плотности5.1.1.
Чистые и смешанные состоянияВо многих практических случаях у нас может не быть полной информации о состоянии квантовой системы. Наши знания могут иметьвид статистического ансамбля, или смеси: скажем, нам известно,что наша система находится в состоянии 1Ч-' 1 ) с вероятностью р 1'в состоянии IЧ-' 2 ) с вероятностью р 2 и т.д., сL.pi = 1.Все состояния IЧ-')являются нормированными, но необязательно должны быть ортогональными; их число также не обязано равняться размерности гильбертова пространства.Ситуации подобного ограниченного знания возникают очень часто.Один такой случай-это смешанное состояние, возникающее, когдамы теряем какую-то часть запутанного состояния, что обсуждалосьв подразд.2.2.4.Другой пример-если мы располагаем большимнабором частиц в различных состояниях и нас интересует значениенаблюдаемого, которое усредняется по всем этим частицам, как в случае неоднородно расширенных ансамблей при магнитном резонансе(подразд.4.7.4).Первое, что нам нужно сделать,-это придумать удобное математическое представление для имеющейся у нас информации об ансамбле.В принципе, перечисление всех возможных состояний и их вероятностей тоже годилось бы, но оно слишком громоздко и неудобно в работе.Существует куда более краткое описание, достаточное для всех практических целей.
Это оператор313ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(5.1)который называется оператором плотности (density operator)ансамбля. Матрица оператора плотности р jk = (vj liJI vk) в любом ортонормальном базисе { 1и.)} называется матрицей плотности 1 •)Упражнение5.1.Для следующих ансамблей в рамках гильбертовапространства поляризационных состояний единичного фотона напишите операторы плотности в нотации Дирака и матрицы плотностив каноническом базисе:а)IH);Ь) Ч'нlН) +ЧJvlV);с)1+45°)с вероятностью1/2, 1-45°)с вероятностью1/2;d) (IH)+IV))/J2свероятностью1/2, IH) с вероятностью 1/4, IV)с вероятностью1/4.Упражнение5.2. Пусть некоторый ансамбль измеряется в базисе= dim V). Покажите, что вероятность обнаруженияконкретного элемента базиса 1и т) равна соответствующему диагональ{1 vm)} (1:<:::;т :<:::; Nному элементу матрицы плотности в этом базисе:(5.2)Подсказка: возможно, вам будет полезно ознакомиться с условнымивероятностями (см.
разд. Б.2).Физические свойства квантового состояния проявляются черезизмерения. Упр.5.2показывает, что оператор плотности можноиспользовать для вычисления вероятности любого результата измерений с тем же успехом и с той же точностью, что и полное словесноеописание статистического ансамбля. Таким образом, оператор плотности содержит исчерпывающую информацию об измеряемых физических свойствах ансамбля. Именно это я имел в виду ранее, когдаговорил, что оператора плотности «достаточно для всех практическихцелей».1Математическое представление, связанное с оператором плотности, предложилинезависимо друг от друга Джон фон Нейман и Лев Ландау в1927 г.
Терминыца плотности» и «оператор плотности» традиционно взаимозаменяемы.314«матриГЛАВАУравнение5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМпредставляет собой расширение правила Борна,(5.2)которое мы изучали в контексте постулата об измерениях, на статистические ансамбли.УпражнениеПоляризация фотона описывается матрицей плот5.3.ности р. Поляризация измеряется в:а) каноническом,Ь) диагональном,с) круговом базисах.Выразите вероятность каждого результата измерения через элементыматрицы р в каноническом базисе.Упражнение5.4.Покажите, что оператор плотности ансамбляненормированных состояний { 1ЧJ;)} задается как р =L; \jl;) (\jl;11 ·Определенный оператор плотности необязательно представляет уникальный ансамбль, что станет очевидным из следующего упражнения.Упражнение5.5.Покажите,что следующие статистическиеансамбли представляются одним и тем же оператором плотности:•IH) с вероятностью 1/2, IV) с вероятностью 1/2;1/2, 1-) с вероятностью 1/2;• IR) с вероятностью 1/2, IL) с вероятностью 1/2;• 18) с вероятностью 1/2, lл/2 + 8) с вероятностью 1/2.• 1+)с вероятностьюРазные ансамбли, описываемые одним оператором плотности(как в примере выше), демонстрируют идентичное физическое поведение, так что принципиально невозможно определить при помощиизмерений, с каким из ансамблей мы имеем дело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
