Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Почему такая разница?Причина в том, что эти два типа ансамблей порождает разнаяфизика. Однородная релаксация возникает из-за запутывающего взаимодействия между системой и средой. Поскольку среда нам не подконтрольна, мы можем отбрасывать ее (т. е. вычислять частичныйслед по ней) без потери какой бы то ни было ценной информации; такчто состояние системы становится необратимо смешанным. Неоднородное уширение, напротив, вызывается не запутыванием, а небольшой разницей физических условий (и гамильтонианов), в которыхэволюционирует каждый спин. Более того, эти условия не меняютсясо временем. Поэтому эволюция каждого отдельного члена ансамбляполностью предсказуема и обратима.
Мы должны отслеживать этуэволюцию без преждевременного усреднения, чтобы иметь возможность предсказать синхронизацию спинов и эхо.Теперь обратимся ко времени продольной релаксации. Его можно измерить, например, при помощи метода перехода через нуль. Забавно,что в этом методе обращение неоднородного дефазирования не требуется. Идея заключается в том, чтобы сначала перевернуть блоховскийвектор термализованного ансамбля при помощи л-импульса. Послеэтого ансамбль будет постепенно термализоваться заново. Блоховский336ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМвектор релаксирует из направления вниз к направлению вверх, такчто в какой-то момент времени его длина будет равна в точности нулю.Чтобы измерить длину вектора Блоха после того, как он прорелаксирует в течение некоторого времени t 0 , мы применяем :п:/2-импульс.Тогда блоховский вектор станет горизонтальным и начнет прецессировать вокруг вектора постоянного поля, порождая убывающий сигналсвободной индукции, пропорциональный длине блоховского вектора.Но, если второй импульс применяется в тот момент, когда конец вектора Блоха проходит через начало координат, этот сигнал пропадет.Упражнение5.62.Покажите, что при измерении перехода черезнуль сигнал свободной индукции пропадет для t 0 = Т1ln2.5.6.
Обобщенные измерения*Аппарат операторов плотности обобщает постулат квантовоймеханики о гильбертовом пространстве, учитывая возможность того,что мы можем не иметь полной информации о квантовом состоянии.Постулат об измерениях можно расширить аналогичным образом,чтобы учесть реалистичные квантовые измерительные устройства.5.6.1. Реалистичный детекторРассмотрим, например, устройство для измерения поляризации, показанное на рис.1.2а. В идеальном случае оно измеряет поляризациюфотона в каноническом базисе.
Предположим, однако, что светоделитель не идеален: он может пропустить некоторую часть вертикальнойполяризации и отразить часть горизонтальной. Чтобы учесть эту особенность, мы вводим понятие выходных состояний измерительногоустройства-макроскопические (классические) показания, которыеустройство может выдавать. В случае измерения поляризации, еслисчитать детекторы идеальными, выходных состояний должно быть два:••щелкает детектор в пропускающем канале;щелкает детектор в отражающем канале.Далее мы моделируем наше устройство как идеальное проективноеизмерение в некотором базисе { 1v) }, за которым следует «скремблер»(рис.5.2).Скремблер представляет собой классическое устройство,337ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАфункционирующее так: для каждого выходания оно случайным образом, с вероятностьюlv)µJi'квантового измеревыбирает j-e выходноесостояние.
Затем это состояние отображается детектором.~-------------------------,ПроективноеСк смбле1}:ВыходныеСОСТОЯНllЯдетекторамРис.5.2.Модель реалистичного детектора, описываемая РОVМУпражнение5.63.Рассмотрим реалистичный детектор поляризации, состоящий из идеального проективного измерения поляризациив каноническом базисе и скремблера, который отображает результатыизмерения на выходные состояния, помеченные Н иV.Скремблерработает следующим образом:если на входе состояние•3/4 и•VсвероятностьюIH),1/4;если на входе состояниеи Нс вероятностью1он показывает Нс вероятностьюV), он показывает V с вероятностью 2/31/3.Квантовая эффективность равна единице, а число темновых срабатываний пренебрежимо мало.
Найдите матрицу скремблера этого детектора.Упражнение5.64.Покажите, что для любой матрицы скремблиромванияL µ Ji =1 , где М -полное число выходных состояний детектора.J~IЧисло выходных состояний детектора может быть не равно размерности гильбертова пространства. В качестве примера рассмотрим недискриминирующий детектор фотонов (отступление1.2).У этого детектора два выходных состояния: «щелчок» и «нет щелчка».Со своей стороны, размерность гильбертова пространства, связанногос этими квантовыми измерениями, бесконечна: оно охватывает числофотонных состояний от нуля до бесконечности 1 •1Как говорилось в разд.3.8,квантовое описание моды электромагнитного поля эквивалентно описанию гармонического осциллятора.338ГЛАВАУпражнение5.65.5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМНедискриминирующий детектор характеризуется следующими свойствами:темновые события отсутствуют;••каждый входящий фотон порождает лавину с вероятностью'l(квантовая эффективность детектора).
Если имеет место хотя быодна лавина, электронная схема детектора выдает щелчок.Постройте модель этого детектора в виде проективного измеренияв базисе числа фотонов, за которым следует скремблер, и рассчитайтематрицу этого скремблера.5.6.2. Положительная операторнозначная мера[POVM]Базис идеального измеренияµji{ 1и)} в сочетании с матрицей скремблераполностью описывает любой детектор, модель которого изображенана рис.5.2.Однако, как и во многих других случаях, встретившихсянам в этой книге, квантовые теоретики предпочитают более компактное описание, о котором мы сейчас и поговорим. Для детектора, моделируемого схемой на рис.5.2,набор операторов(5.36)каждый из которых связан сj-м выходным состоянием детектора, гдеП;=1и;) (V;1называют положителыюй операторнозначной мерой(РОVМ) данного детектора.
Измерение, описываемое РОVМ, называется обобщенным измерением.Упражнение5.66.Покажите, что каждый элемент РОVМ представляет собой неотрицательный эрмитов оператор.Упражнениеа) упр.Ь) упр.5.67.Определите РОVМ детекторов, описанных в:5.63;5.65.Ответ:Fнет щелчка = L (1- fl)'' 1n)(n1,(5.37а)11ft;целчок=I,[1-(1-ri)"]ln)(nl.(5.37Ь)339ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА5.68. Покажите, что дляна рис. 5.2,Упражнениемого схемойРОVМ детектора, моделируе(5.38)где М-число элементов РОVМ.Упражнение5.69.Покажите следующее:а) Когда квантовое состояние р измеряют детектором, описываемым некоторой РОVМ {FJ}, вероятностьj-го результата равна(5.39)(это расширение правила Борна на обобщенные измерения).Ь) Когда при измерении принадлежащей Алисе части двусоставного квантового состояния р лв при помощи детектора, которыйописывается РОVМ {FJ}, получаетсяj-й результат, (ненормированное) состояние канала Боба становится равным(5.40)Упражнение5.
70. Алиса и Боб имеют пару фотоновв смеси состояний IЧ1 1 )=(1HH)+IHV)+2IW))/.../6 свероятностью3/5и IЧ1 2 )=IHV)с вероятностью2/ 5.Алиса измеряет свой фотон при помощи детектора, описанного в упр.5.63,и получает:а) результат Н;Ь) результатV;с) неизвестный результат.Найдите результирующее состояние фотона Боба:•с использованием чистого состояния и аппарата проекционныхизмерений (выразите ответ в виде статистическогр ансамбля);•с использованием матрицы плотности и аппарата обобщенныхизмерений (выразите ответ в виде ненормированной матрицыплотности).Убедитесь, что ваши ответы согласуются между собой.Эти результаты показывают, насколько полезна РОVМ. Сравниваявыражения340(5.39)и(5.40)с выражениями(5.13)и(5.19),мы видим,ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМчто во многих СИ1уациях РОVМ заменяет собой набор проецирующихоператоров в математическом описании детектора.Однако есть одна важная оговорка.
РОVМ может полностью заменить проекторы только для измерений, разрушающих измеряемуюквантовую систему (как делают, например, традиционные фотонныедетекторы), или в случае, когда нас не интересует состояние системыпосле измерения. Но если система не разрушается, ее состояние послеобобщенного измерения не равно ftJ)ftj , в отличие от проективныхизмерений, где состояние после измерения (5.12) равно 1\р1\. Мыубедимся в этом в следующем упражнении.Упражнение5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
