Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Убедитесь, что результат совпадает с результатомупр.5.73.Как можно видеть из последнего упражнения, у нас теперь естьалгоритм вычисления РОVМ детектора не только по экспериментальным данным, полученным в результате измерения пробных состояний, но и теоретический, по физической модели детектора.5.8.ЗадачиЗадача5.1.Найдите представление оператора плотности состоянийгармонического осциллятораla) +1-а) иla) (al-1- а) ( - alа) в базисе Фока;Ь) в координатном базисе;с) в импульсном базисе,где а и -а суть когерентные состояния.
Рассмотрите поведение диагональных и недиагональных элементов в контексте упр.рованием можно пренебречь.Задача•••3525.2.Рассмотрим фотон в ансамбле состояний:(3IH) - 4IV))/5 с вероятностью р 1 = 1/2;IЧJ 2 ) = (121Н) - 5ilV))/13 с вероятностью р 2 = 1/4;IЧJ 3 ) = 1-45°) с вероятностью р 3 = 1/4.IЧJ 1 ) =5.12.НормиГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМа) Найдите оператор плотности.Ь) Этот ансамбль измеряют в круговом базисе. Найдите вероятности каждого результата, пользуясь приведенным выше словесным описанием и аппаратом матрицы плотности. Убедитесьв согласованности результатов.Ответ должен быть в численном виде, до третьего знака послезапятой.Задача5.3.Матрица плотности состояния фотона в каноническомбазисе равнал=(l/2 i/6)•р-i/6 1/2Представьте это состояние как статистическую смесь ортогональных чистых состояний.Задача5.4. Алиса и Боб располагают двумя фотонами в состоянииIЧ1)= (IHV)+IVН)+ 2IW))/.Jб.
Алиса измеряет свое состояниев каноническом базисе.а) Какое состояние будет приготовлено в локации Боба в каждомслучае?Ь) Какова вероятность каждого результата?с) Предположим, Боб не знает результата измерения Алисы.Используйте результаты пунктов а) и Ь), чтобы записать статистический ансамбль, описывающий состояние фотона Боба.Найдите соответствующую матрицу плотности в каноническомбазисе.d)Найдите приведенную матрицу плотности фотона Боба, пользуясь формульным аппаратом матриц плотности. Убедитесь,что результат совпадает с результатом пункта с).е) Повторите пункты а)-с) для случая, когда Алиса производитсвое измерение в диагональном базисе.
Убедитесь, что приведенная матрица плотности фотона Боба получается та же.Задача5.5.Алиса и Боб располагают двумя общими фотонамив состоянии поляризации, матрица которого в каноническом базисе{IHH), IHV), IVH), IVV)} есть353ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАл1[3111Рлв = lS -~ -2i-1-3~ ~1о10а) Напишите матрицу плотности Рь фотона Боба, если у него нетсвязи с Алисой.Ь) Алиса измеряет поляризацию своего фотона в каноническомбазисе.
Какова вероятность каждого результата и какое состояние будет приготовлено в локации Боба в каждом случае?с) Алиса измеряет свой фотон при помощи детектора, описанного в упр.5.63.Какова вероятность каждого результата и какоесостояние будет приготовлено в локации Боба в каждом случае?Задача5.6.Ансамбль частиц со спином1/2,находящихся первоначально в состоянии 1 i), претерпевает декогеренцию из-за столкновений с буферным газом.
Каждое столкновение приводит к полной декогеренции участвовавшей в нем частицы. Предпочтительный с точкизрения декогеренции базис есть{l±)}={(li)±ll))/J2}. Вероятностьстолкновения для одной частицы в единицу времени равна р. Напишите матрицу плотности как функцию времени:а) в предпочтительном для декогеренции базисе;Ь) в каноническом базисе.Задача5.7.5.25 дляПеределайте упр.смеси состояний, которая соответствует спину, направленному вдоль осей х и у с вероятностямии2/3соответственно.
Магнитное поле В направлено вдоль оси1/3z.5.8. Два электрона, спины которых первоначально находятсяв состоянии IЧ1CO))=l~)®li) (где 1~> есть собственное состояние SxЗадачас собственным значениемп- ),2связанном с фиктивными наблюдателлями Алисой и Бобом, взаимодействуют с гамильтонианом На) Найдите эволюцию IЧ'--= CS1 ·S2 •(t) ) спинового состояния электроновв каноническом базисе.Ь) Алиса измеряет проекцию спина своего электрона на осьв момент времениt.zНайдите вероятности возможных результатов и состояние, в котором это измерение приготовит электронБоба в каждом случае.
На основании этой информации опреде-354ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМлите ансамбль, описывающий состояние электрона Боба, если тотне знает результата измерения Алисы. Из этого описания получите матрицу плотности электрона Боба в каноническом базисе.с) Повторите пункт Ь) для случая, когда Алиса измеряет проекциюспина своего электрона на ось х.d) Найдите оператор плотности РвСО электрона Боба как функциювремени, используя частичный след. Убедитесь, что ваш результат идентичен тому, который был получен в пунктах Ь) и с).е) Вычислите траекторию вектора Блоха для спина электрона Бобаи постройте ее графически.f)Найдите чистоту состояния для спина электрона Боба в зависимости от времени. Проверьте, что она связана с длиной блоховского вектора в соответствии сЗадача5.9. Для двумодового(5.23).сжатого состояния (З.18ба) вычислитематрицу плотности части Боба.Подсказка: чтобы вычислить частичный след в условиях непрерывной переменной, замените суммирование в формуле(5.18)на интегрирование.Задача5.10.
Найдите тензор процесса однородной релаксации,имеющей как продольный (Т1 ), так и поперечный (Т) компоненты.Задача5 .11. Проанализируйте следующую методику измерения времени продольной релаксации:•1t2-импульс возбуждения применяется к термализованному спи-новому ансамблю, чтобы направить вектор Блоха вдоль оси у.•С течением времени блоховские векторы различных спинов распределятся по экватору из-за неоднородного дефазирования.В то же время они будут испытывать продольную и поперечнуюрелаксацию. Продольная релаксация приведет к возникновению z-компонента у среднего блоховского вектора.•Через времяt0»•1tТ2 применяется еще один - -импульс.
Появив-2шийся у блоховского вектора z-компонент теперь направленвдоль оси у и может вызвать спад свободной индукции.Вычислите средний магнитный момент спина после второгоимпульса возбуждения как функцию времениt,промежутка между355ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАимпульсами возбуждения t 0 , а также продольной и поперечной постоянных времени данного образца.ЗадачаВычислите РОVМ недискриминирующего детектора,5.12.описанного в упр.с учетом темнового счета.
Темновая лавина5.65,возникает с вероятностью р dark независимо от прочих лавин, которыемогут иметь место в детекторе в то же время.5.13. Рассмотрите поляризационный детектор, описанныйв упр. 5.63, учитывая квантовую эффективность '1 = 0,8. В случае, когдаЗадачани в одном из фотонных детекторов в ответ на входящий фотон не возникает лавины, детектор показывает «О».а) Вычислите РОVМ.Ь) Найдите вероятность каждого результата для исходного состоянияЗадачаalH) +5.14.1'1')=LPI V).Рассмотрите двумодовое оптическое состояние:'1'kmlk)л ®lm)в'k,m=Oгде индексы А и В обозначают моды, а состояние записано в базисеФока (например, состояние11) л ® 1О) 8соответствует одному фотонув моде А и вакууму в моде В).а) Мода В отбрасывается. Чему равен оператор плотности состояния в моде А?Ь) Мода В подвергается измерению при помощи недискриминирующего однофотонного детектора с квантовой эффективностью f],описанной в упр.5.65.Чему равен оператор плотности состояния в моде А в случае щелчка?с) Повторите пункт Ь) для случая, когда начальное состояниене является чистым, но описывается матрицей плотности:р=LPkimnlk)(llл ®lm)(nlв ·k,/,m,n=OЗадача5.15.В устройство измерения поляризации, состоящееиз поляризующего светоделителя и двух идеальных фотонных детекторов, влез гномик, который с вероятностьюPBSвставляет передполуволновую пластинку с оптической осью, ориентированнойпод углом л/ 4.
Найдите РОVМ этого детектора.3561/2ГЛАВАЗадача5.16.5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМНад квантовым процессом Е на поляризационномкубите был проведен эксперимент по томографии квантового процесса. Он выявил следующие преобразования пробных состояний:IH) ~ 1/4 IH)(HI + 3/4 IV)(VI;IV) ~3/4IH)(HI+1/4 IV)(VI;1+) ~ 1+)(+1;IR) ~ 1/2 IH)(Нj + 1/2 IV)(VI + i/4 IH)(Vl-i/4 IV)(Нj.а) Найдите тензор процесса E~m[E(p)]lk, такой что= I,E7kmPnm •птЬ) Как этот процесс преобразует состояния1-), IL), plH)(HI ++ (1-р) 1-)( -1?с) Этот процесс может быть описан как декогеренция в некоторомпредпочтительном базисе.
Что это за базис?ПРИЛОЖЕНИЕ АОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫд.1. Линейные пространстваЛинейные пространства состоят из элементов, называемых векторами. Векторы-это абстрактные математические объекты, но,как подсказывает название, их можно представлять себе в виде геометрических векторов. Как и обычные числа, их складывают другс другом и вычитают один из другого с образованием новых векторов;их также можно умножать на числа.
Однако векторы нельзя перемножать или делить друг на друга, как это делают с числами.Одной из характерных черт линейной алгебры, используемойв квантовой механике, является применение так называемой нотацииДирака для векторов. При обозначении вектора, вместо того чтобызаписать, к примеру, а, мы пишемla).Почему такая нотация оказывается удобной, станет ясно чуть позже.Определение А.1. Линейным (векторным) пространствомнад полем 1IFVназывается множество, в котором определены следующие операции:1.Сложение: для любых двух векторовединственный вектор взначается2.V,la), lb)ЕVсуществуеткоторый называется их суммой и обоla) + lb).Умножение на число («скаляр»): для любого вектораи любого числа Л Еla) Е VIF существует единственный вектор в V, который называется их произведением и обозначается Л 1а)= а) Л.1Эти операции подчиняются следующим аксиомам:1.
Коммутативность сложения: la) + lb) = lb) + la).2. Ассоциативность сложения: Cla) + lb)) + lc) = la) + Clb) + lc)).1Поле-это понятие из алгебры, обозначающее полное множество некоторых чисел. Примерами полей могут служить множества рациональных(IR)и комплексных(IC)(IQI),действительныхчисел. Квантовая механика обычно имеет дело с векторнымипространствами над полем комплексных чисел.359ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА3.Существование нуля: существует элементV,называемыйтакой, что для любого вектора 1а) выполняется 1а)4.Существование противоположного элемента: для любого вектора1а)что 1а )5.6.7.8.lzero),+ 1zero ) = 1а) 1 •существует другой вектор, обозначаемый-1 а), такой+ ( -1 а ) ) = 1zero ) .Дистрибутивность векторных сумм: Л ( 1а)Дистрибутивность скалярных сумм: (Л+ 1Ь))+ µ) 1а)= Л 1а)= Л 1а)+ Л 1Ь).+ µ 1а).Ассоциативность скалярного умножения: Л (µ 1а)) = (Л µ) 1а).Унитарность скалярного умножения: для любого вектораи числаla)1 Е IF выполняется 1 · la) = la).Определение А.2.
Вычитание векторов в линейном пространствеопределяется следующим образом:la) - lb)= la) + (-lb)).Упражнение А.1. Какие из следующих пространств являются линейными (над полем комплексных чисел, если не оговорено иначе):а)IRнадIR? IR над С?С надIR?С над С?Ь) Полиномиальных функций степени~ п?с) Всех функций, таких чтоf(l)d)> п?=О? f(l) = 1?Всех периодических функций с периодоме) N-мерных геометрических векторов надnR?Упражнение А.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
