Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Докажите следующее:а) в линейном пространстве существует только один нуль;Ь) если la)+ lx) = la)V, то lx) = lzero);la) и числа О Е IF верно равенство О ja) =для некоторого la) Ес) для любого вектора= lzero);d) -la) = (-1) la);е) -lzero) = lzero);f) для любого la) вектор -la) единственный;g) -(-la)) = la);h) la) = lb) тогда и только тогда, когда la) - lb) =О.Подсказка: большинство этих утверждений можно доказать путемприбавления одного и того же числа к обеим частям уравнения.1Обратите внимание: в качестве альтернативной нотации дляпользуем просто О, но никогда не36010).jzero)мы иногда исПРИЛОЖЕНИЕ А.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫА.2. Базис и размерностьОпределение А.3. Говорят, что множество векторовlv)являетсялинейно независимым, если ни одна нетривиальная 1 линейная комбинация\lv 1 ) + ... + ЛNluN)не равняетсяizero).Упражнение А.3. Покажите, что множество векторов{ 1v)} не является линейно независимым тогда и только тогда, когда один из векторовv)1может быть представлен в виде линейной комбинации других.Упражнение А.4. Для линейных пространств геометрических векторов покажите следующее.а) В пространстве векторов на плоскости (обозначаемойffi. 2 ) любыедва вектора линейно независимы в том и только том случае,если они не параллельны. Любое множество из трех векторовлинейно зависимо.Ь) В пространстве векторов в трехмерном пространстве (обозначаемомffi.
3 ) любые три вектора, не лежащие в одной плоскости (не компланарные), образуют линейно независимое множество.Подсказка: вспомните, что геометрический вектор можно определить его компонентами х, у иz.Определение А.4. Подмножество{iu)}векторного пространстваVV остовом (или остовным набором - spanning set), еслилюбой вектор в V можно выразить как линейную комбинацию векторов 1 v;). Множество всех линейных комбинаций элементов некоторогоявляется длямножества{iu)}называется натянутым на{iu)}.Упражнение А.5.
Для линейного пространства геометрическихвекторов на плоскости покажите, что любое множество, состоящеепо меньшей мере из двух векторов, из которых по крайней мере дване параллельны друг другу, образует остов.Определение А.5. БазисомV называется любой линейно независимый остов. Разложением вектора по базису называется его выражениев виде линейной комбинации элементов базиса.1То есть такая, в которой по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю.361ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАБазис-это наименьшее подмножество линейного пространства,такое, что все остальные векторы можно выразить в виде линейнойкомбинации элементов базиса.Термин «базис» может создать ложное впечатление, что в линейном пространстве есть только один базис-подобно тому, как у зданияможет быть только один фундамент.
На самом же деле, как мы увидимдалее, в любом нетривиальном линейном пространстве имеется бесконечно много базисов.Определение А.6. Число элементов в базисе называется размерностьюV.Для нее принято обозначениеdim V.Упражнение А.6*. Докажите, что в пространстве конечной размерности все базисы имеют одинаковое число элементов.Упражнение А. 7. Используя результат упр. А.6, покажите, что в пространстве конечной размерности:а) любое линейно независимое множество изN = dim Vвекторовобразует базис;Ь) любой остовный набор изN = dim V векторовобразует базис.Упражнение А.8. Покажите, что для любого элементаV существуеттолько одно разложение по векторам заданного базиса.ОпределениеА.7.Дляразложения вектораla)побазису{lи)}, т.е.для(А.1)iможно использовать обозначение(А.2)Это называется записать вектор в матричной форме-в отличиеот формы Дирака (А.1). Скаляры а; называются коэффициентамиили амплитудами разложения 1 •1Мы используем символ:::::вместо=,когда выражаем векторы и операторы в матричной форме, как в (А.2).
Делается это для того, чтобы подчеркнуть разницу: леваячасть (вектор) представляет собой абстрактный объект и не зависит от базиса, тогдакак правая часть - это набор чисел, зависящий от выбора базиса {lu;)}. Однако в литературе, как правило, для простоты используется знак равенства.362ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫУпражнение А.9. Пустьla) - один из элементов lvk) базиса {ivi)}.Найдите матричную форму разложения 1а) по этому базису.Упражнение А.10. Рассмотрите линейное пространство двумерныхгеометрических векторов. Такие векторы обычно определяются двумячислами (х, у), которые представляют собой их х- и у-компоненты.Соответствует ли эта запись разложению по какому-нибудь базису?Если да, то по какому?Упражнение А.11. Покажите, что:а) в линейном пространстве геометрических векторов на плоскостилюбые два непараллельных вектора образуют базис;Ь) в линейном пространстве геометрических векторов в трехмерномпространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис.Упражнение А.12.
Рассмотрим линейное пространство двумерныхгеометрических векторов. Векторыii,b,c,dориентированы по отно0°, 45°, 90°, 180° и имеют длины 2, 1, 3, 1соответственно. Образуют ли базис пары {а,ё}, {Б,J}, {a,J}? Найдитешению к оси х под угламиразложения вектора Ь по каждому из этих базисов. Выразите эти разложения в матричной форме.Определение А.8.
Подмножество линейного пространстваV,тожепредставляющее собой линейное пространство, называется подпространством пространстваV.Упражнение А.13. В произвольном базисестранствеV берется{iv)}в линейном проподмножество элементов. Покажите, что множество векторов, натянутое на это подмножество, является подпространством пространстваV.Например, в пространстве трехмерных геометрических векторов любоемножество векторов, лежащих в одной плоскости, или любое множествовекторов, коллинеарных одной прямой, образуют подпространство.д.З. Скалярное произведениеХотя векторы нельзя перемножать между собой как числа, можноопределить операцию умножения, которая отобразит любую пару363ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАвекторов на число. Эта операция обобщает скалярное произведение,известное нам из геометрии.Определение А.
9. Для любых двух векторов 1а), 1Ь) ЕVопределимскалярное произведениемин(inner / scalar product, также используется терlb) Е С, такое что:для любых трех векторов la), ib), lc) имеет место равенство(а 1 Clb) + lc)) =(а lb) +(а lc);для любых двух векторов la), lb) и числа Л имеет место равенство (а 1ел 1ь)) = л (а 1ь) ;длялюбыхдвухвекторов la), ib) верно равенство (а lb) = (Ь 1 а)*;для любого la), (а 1 а) есть неотрицательное действительноечисло, причем (а 1а) = О в том и только том случае, если 1а) = О.overlap) -1)2)3)4)число (аУпражнение А.14.
В геометрии скалярное произведение двух векторов а=(ха,Уа) и Б=(хь,Уь) Сгде все компоненты действительны)определяется как а. Б = х ах ь +у а У ь. Покажите, что ЭТО определениеобладает всеми перечисленными выше свойствами.Упражнение А.15. Пусть векторlx) записан в виде линейной комбинации некоторых векторов 1а): х) = ?-; а;) . Для любого другоговектора lb) покажите, что (Ъlх)= L?"; (Ъlа;) и (хlЪ) = L;л; (а; IЪ).1L1Упражнение А.16. Для любого вектора 1а) покажите, что=(аlzero)( zero 1а) ==О.ОпределениеА.10.
Говорят, чтоla) и lb) ортогональны, если(аlb)=О.Упражнение А.1 7. Докажите, что множество ненулевых взаимноортогональных векторов линейно независимо.Определение A.11. llla)ll=~(ala) называют нормой (длиной) вектора. Векторы с нормойвектораla)1 называют нормированными. Для заданного1/11 la)ll (т.е. такая, что векторNlа) нормивеличинаN =рованный) называется нормирующим множителем.Упражнение А.18. Покажите, что при умножении вектора на фазовый множительется.ei'P, где <р -действительное число, его норма не меняПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫОпределение А.12.
Линейное пространство, в котором определеноскалярное произведение, называется гшzъбертовым пространством(Hilbert space).д.4. Ортонормальный базисОпределение А.13. Ортонормалъным (ортонормированным)базисом{ 1v)}называется базис, элементы которого взаимно ортогональны и имеют норму, равную1, т.е.(А.З)где бv-символ Кронекера.Упражнение А.19. Покажите, что любое ортонормальное множество изNвекторов (где N =dim 'V)образует базис.:J :JУпражнение А.20. Покюкwrе, что если ( и(суть разложения векторов 1а) и 1Ь) по ортонормальному базису,то их скалярное произведение можно записать в виде(А.4)Уравнение(А.4)можетбытьвыраженовматричнойформепри помощи правила «строка-на-столбец»:(А.5)Одной из областей применения приведенных выше правил вычисления скалярного произведения является обычная пространственнаягеометрия.
Как мы узнали в упр. А.10, координаты геометрическихвекторов соответствуют их разложению по ортонормальному базису{i.J}, поэтому неудивительно, что их скалярные произведения задаются уравнением (А.4).365ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАПредположим, мы вычисляем скалярное произведение однойи той же пары векторов по (А.5) в двух разных базисах. Тогда в правой стороне уравнения у нас будут стоять разные числа, и может показаться, что скалярное произведение тоже станет зависеть от выбранного базиса. Однако на самом деле это не так: согласно определению А.9, скалярное произведение определяется для пары векторови не зависит от базиса.Упражнение А.21.
Покажите, что коэффициенты раэложения [ :~]вектора1 а)по ортонормальному базису можно найти следующимобразом:(А.6)Иными словами [см. (А.1)],(А.7)УпражнениеА.22. Рассмотрим два вектора в двумерном гильбертовомпространстве: IЧJ) =4lv 1 ) + 5 lv 2 )иl<p) = -2 lv 1 ) + Зi 1v2 ), где {lv 1 ), 1v2 )} -ортонормальный базис.а) Покажите, что множествотакже является ортонормальным базисом.Ь) Найдите матрицы векторов IЧJ) иl<p)в обоих базисах.с) Вычислите скалярное произведение этих векторов в обоих базисах, используя (А.5). Покажите, что они совпадают.Упражнение А.23. Покажите, что если 1а) есть нормированный вектор, а {ai = (vi la)} - его разложение в ортонормальном базисе{lv) }, то(А.8)366ПРИЛОЖЕНИЕ А.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫУпражнение А.24. Предположим, чтов{lw,.)}есть некоторый базисПокажите, что он может быть использован для нахождения ортоV.нормального базиса{ 1и)}путем применения следующего уравненияпоследовательно к каждому из элементов базиса:(А.9)гдеN -Грама-коэффициент нормирования. Это называется процедуройШмидта.Упражнение А.25*. Для нормированного вектора lч>) в N-мерномгильбертовом пространстве и любого натурального числа т1/::;; Nпокажите, что возможно найти базис {lv,.) }, такой что l'V) = ГmI: 1 lv;).Упражнение А.26*.
Докажите неравенство Коши-Бун.яковского(Cauchy - Schwarz inequality) для любых двух векторов1 а)и 1Ь):(А.10)l<a 1b)I::;; l\ la)\lxll lb)ll.Покажите, что это неравенство становится равенством в том и толькотом случае, когда векторыla) и lb) коллинеарны (т.е. la) = Л lb)).Подсказка: примите во внимание, что111 а)- Л 1Ь)11 2~ О для любогокомплексного числа Л.Упражнение А.27. Докажите неравенство треугольника для любыхдвух векторов11la)С 1а) + 1Ь))иlb):11 ::;; 111 а) 11+111 Ь) 11 ·(А.11)А.5.
Сопряженное пространствоСкалярное произведение (а1lЬ) можно вычислить как матричноепроизведение (А.5) строки и столбца. Если столбец :~) напрямуюсоответствует вектору 1 Ь), то строка (а; ... а~) получается из столбца,367ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАсоответствующего вектору1 а),путем транспонирования и комплексного сопряжения. Договоримся связывать эту строку с вектором(al, который будем называть сопряженным (conjugate/adjoint)с la).Определение А.14. Для гильбертова пространствасопряженное пространствоV',Vопределяютнаходящееся во взаимно однозначном соответствии сV, следующим образом: для каждого вектора la) ЕV существует один и только один сопряженный вектор (al Е V', обладающий свойствомсопр (Лla) + µ lb))= Л'(аl + µ* (bl.Упражнение А.28. Покажите, что(А.12)V' -Упражнение А.29. Покажите, что еслибазис вla) =V' и если вектор 1а)линейное пространство.'раскладываетсябазис вV, {(v.I} 'по базису { 1v)} как{lv.)} -:L а; lv), то разложение сопряженного с ним вектора равно(А.13)Начинающие квантовые физики иногда забывают про правило сопряжения в уравнении (А.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
