Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Взаимодействие системи сред может быть каким угодно. А поскольку информация о среденедоступна, определить все свойства процесса, измеряя толькосистему, казалось бы, невозможно. Однако на самом деле, к счастью,это не так, и в следующем упражнении мы в этом убедимся.УпражнениеПокажите, что любой процесс должен быть5.80.линейным по отношению к матрице плотности, т. е.(5.41)Подсказка: воспользуйтесь вероятностной природой оператораплотности (см. упр.Упражнение5.22).5.81.Покажите, что в линейном пространстве всехлинейных операторов на гильбертовом пространстве размерностиN (см. упр.
А.42) можно построить базис, который будет состоять исключительно из операторов плотности физических квантовыхсостояний.Подсказка: рассмотрите, например, множествоQ,которое включаетв себя:• N операторовPkk=1 vk)( vk1;• N(N-1)/2операторов Pre,kl=l\jl,e,klJ('V,e,kll при'V re,kl= (1vk)+1 и,))/ J2 для каждой уникальной пары индексов (k, О;• N (N - 1) / 2 операторов Pim,kl = \jl ini,kl) ( \jl im,kl при1'Vim,klгде1=(1vk)+i1 u1) )/ J2 для каждой уникальной пары индексов(k, l),{ 1uk)} есть произвольный ортонормальный базис гильбертова пространства.Упражнение5.82.
Пусть {Р;} - базис в пространстве операторовна нашем гильбертовом пространстве, где каждый элемент соответствует оператору плотности физического состояния. Предположим,что действие процесса Е(р;) на каждое из этих состояний известно.Покажите, что действие процесса на произвольное состояние задаетсяформулой347ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(5.42)где лi-коэффициенты разложения оператора плотности р в этотбазис:(5.43)Приведенное упражнение дает нам концепцию метода томографииквантового процесса. Любой базис 1 {р;} в пространстве операторовнад гильбертовым пространством может служить множеством пробныхсостояний, и тогда множество выходных матриц плотности {Е(р;)}содержит полную информацию о процессе.
В следующих упражненияхвы увидите примеры тому на основе физики частицы со спиномУпражнение5.83.Покажите, что множество матриц плотностиQ={pi =li)(il, Pi =11)(11, Р+ =1+)(+1, PR =IR)(RI}'где1/2.1+) =(1 i)+ll) )/.J2 и IR) =(li)+ ill) )/.J2 -&х и &У с собственным значением(5.44)собственные состояния1, образуют базис в линейномпространстве всех линейных операторов над кубитным гильбертовымпространством. Выразите произвольное состояниел (Р;;Рн)р=Рнкак смесьРн(5.42) элементов этого базиса.Упражнение5.84.Рассмотрим процесс частичной декогеренции,изученный нами в подразд.Е(Рн Рн)рН Рн[5.5.1:Рн(5.45)р He-t/T,а) Найдите действие Е(р;) этого процесса на все элементы базиса(5.44).Ь) Предположим, что базис(5.44)используется для томографииквантового процесса. Выразив произвольное состояние1На самом деле достаточно, чтобы набор {р,} был остовным; ему не обязательнобыть линейно независимым.348ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМл (Р;; Рн)р::::РцРнкак смесь элементов этого базиса, проверьте(5.42)явно.Эксперимент с QРТ дает нам набор матриц плотности {Е(р;)}.
Хотя,как мы уже показали, это множество полностью описывает процесс,было бы хорошо получить более компактное и удобное описание-как в случае с операторами плотности и РОVМ. Попробуем найти способ выразить информацию о процессе в виде тензора процесса-«суперматрицы» E~km, которая при приложении к матрице исходногосостояния р должна сгенерировать матрицу выходного состояния черного ящика Е(р) :NN[E(p)Jik =L I,E;~mPnm'(5.46)m=l n=lгде Pnm = (Vn IPI Vт), [E(p)]1k= (V1 IE(p)I vk), а {1 VJ)} - ортонормальныйбазис вV.Уравнение(5.46) напоминает умножение матриц (А.20), только суммирование идет по двум индексам.
И входящие, и исходящие объектыпредставляют собой матрицы и имеют по два индекса. Ау тензора процесса E~m, которыйпереводит одно в другое, целых четыре индексаэто тензор четвертого ранга, таблица чиселNхNххNN,которую легко обрабатывать, хранить и передавать.Но для каждого ли квантового процесса существует тензор процесса, и если да, то как его можно найти? Оказывается, ответ относительно прост.Упражнение5.85.Рассмотрим некоторый ортонормальный базисгильбертова пространства{iv,)}. Пустьство пробных состоянийQPT,{р;} (гдеi= 1, ...
,№)- множет. е. остовный набор в пространствематриц плотности. Тогда каждый оператор 1v т) ( v" 1 можно разложитьпо этому остову согласноN'lv")(vml= I,Л"т;Р;,(5.47)i=lгде \т;-коэффициенты разложения. Покажите, что выражение(5.46) удовлетворяется,если тензор процесса задается формулой349ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАE~mN'=L Anmi (V1 jE(pi )j vk).(5.48)i~IУпражнение5.86. Найдите коэффициенты разложения (5.47), еслиv")} представляет собой канонический базис в кубитовом пространстве, а базис {р;} задан выражением (5.44).{ 1Упражнение5.87.
Воспользуйтесь уравнением (5.48) и результатом5.84 (а) и 5.86, чтобы найти тензор процесса частичной декогеренции (5.45). Убедитесь, что этот тензор при постановке в (5.46) дает(5.45).упр.Ответ:(~ ~)E"m=lk((~ е-~ 72)(5.49)е-~т, ~) (~ ~)где каждая пара (п, т) обозначает субматрицукаждой субматрицы используются индексы2 х 2, тогдакак внутри(l, k).Данный результат хорошо иллюстрирует смысл тензора процесса.Субматрица в п-й строке и m-м столбце в правой части выражения(5.49)задает результат процесса Е (1 vn) (vm 1) , соответствующий исходному«состоянию» jvn)(vml Например, исходное состояние ji)(il:=(~ ~)1•декогеренция не затрагивает, так что верхняя левая субматрица совпадает с этим состоянием:ji)(,Ч:=(Oто1 (,0 0 Qтрица) равен(1О).
Однако если исходное «состояние»декогер~ро0ванныйe-t/T,)выход (верхняя правая субма-и т.д. Математику, стоящую за этим наблюде-0онием, можно видегьв (5.46): если мы задаем р =1vn )(v,,, 1, то [Щр)] 1k = Е7~".Как видим, теоретический аппаратQPTи тем более ее практическая реализация могут быть сложными и трудоемкими. Чтобы сформировать базис в пространстве операторов над гильбертовым про1При п* т это всего лишь формальные математические объекты, которые не соответствуют никаким физическим состояниям. Однако они удобны для тренировкиинтуиции.350ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМстранством, множество пробных состояний должно содержать № элементов.
Для каждого из этих элементов необходимо произвестиполную томографию соответствующего выходного состояния E(pi)и найти множество (№-1) параметров, определяющих его матрицуплотности. Так что полное число параметров, которые необходимополучить при томографии квантового процесса, пропорциональночетвертой степени размерности гильбертова пространства,-а значит,экспериментатору придется проводить в лаборатории не только дни,но и ночи.
Хуже того, может оказаться, что требуемый пробный базисдолжен содержать сложные суперпозиционные состояния, которыетрудно или вообще невозможно приготовить существующими методами инженерии квантовых состояний.5.7.3.Томография квантового детектораТомографию квантового детектора можно рассматривать как упрощенный случайQPT.Здесь вместо черного ящика с квантовым выходом мы имеем детектор-черный ящик с М возможных классическихвыходных состояний. Цель та жеиметь возможность предсказывать-реакцию детектора на произвольное состояние, т. е. определить РОVМдетектора при помощи изучения его реакций на определенные пробные состояния.5.88. Некоторый детектор при измерении состоянийр 1 , 2 дает результат j с вероятностями pr/p1,2) соответственно. Покажите, что при измерении линейной смеси ар 1 + ~р 2 вероятностьУпражнениерезультата} задается формулой(5.50)Упражнениев упр.5.82.5.89.Пусть {pi} -базис (или остов), определенныйДля каждого из его элементов мы провели измеренияи получили полные статистические данные по откликам детектора,т.
е. prj(pi), гдеj индексирует выходные состояния детектора. По этимданным определите pr/p) для произвольной исходной матрицы плотности р, разложение которой поУпражнениечто5. 90*.{Pi}задается выражением (5.43).В условиях предыдущего упражнения покажите,(5.39) удовлетворяется, если РОVМ детектора задается выражением351ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАN'frj =NI Iлnmipr/pJlvm)(v" 1,(5.51)i=l m,n=Iгде\mi -коэффициенты разложения операторапробного состояния согласноУпражнение5.91.в условиях упр.5.73.lv) (vmlпо базису(5.47).Рассмотрим детектор, показанный на рис.5.3,а) Найдите вероятности откликов детектора для четырех состояний из множества:Ь) Воспользовавшись этой информацией и(5.51),найдите РОVМдетектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
