Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Предположим, оператор А ото-УпражнениеА.49. Пусть374ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫбражает lu1 )=(lv1 )+lv2 ))/.J2 на lw 1 )=.J2i~ 1 ),a lu2 )=(lv1 )-lv2 ))/.J2 наlwJ =f2(lv 1 )+ЗilvJ). Найдите матрицу А в базисе {lv 1 ), lv2 )}.Подсказка: обратите внимание на то, что{ 1 u 1 ), 1u2 )} -ортонормальный базис.Упражнение А.50.
Покажите, что для любого ортонормальногобазиса{lv)}L V;) (v, = i .1(А.26)1Этот результат(resolution of the identity)полезен д.J!Я следующегоприменения. Предположим, что мы знаем матрицу А в некоторомортонормальном базисе { 1и;)} и хотим найти его матрицу в другом ортонормальном базисе- { 1ш)}. Это можно сделать следующим образом:(Ау) ш-башс =(Ш; IЛI wj)=(Ш; liЛilwj)(А.27)~( ш,1( ~lv,)(v, 1}4( ~lvm)(vm 1)lшi)=I,I,(щ lvk)( Vk IЛlvm )(vm lwj ).kтлЦентральный объект в последней строкев «старом» базисе-элемент матрицы А{lv) }. Поскольку нам известны скалярные произведения всех пар элементов в старом и новом базисах, мы можем использовать приведенное выражение, чтобы найти каждый элементматрицы А в новом базисе.
Мы будем использовать данный приемна протяжении всего курса.Вычисление можно упростить, если интерпретировать последнююстроку (А.27) как произведение трех матриц. Пример этого-в следующем упражнении.Упражнение А.51. Найдите матрицу оператора А из упр. А.48в базисе{lw 1 ), lw2 )}, таком что(А.28)375ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа) используя нотацию Дирака, начав с результата упр.
А.48, а затемвыразив каждый бра- и кет-вектор в новом базисе;Ь) используя (А.27).Убедитесь, что результаты совпадают.А. 7. Сопряженные и самосопряженные операторыДействие оператора А на кет-вектор lc) соответствует умножениюквадратной матрицы А на столбец, определяющий 1с). Результатомэтой операции является новый столбец А 1с).Рассмотрим по аналогии операцию, в которой на строку, соответс;вующую бра-векторуА.Врезультате(bl, умножаетсяполучитсяноваясправа квадратная матрицастрока,соответствующаякакому-то бра-вектору.
Мы можем связать эту операцию с действиемоператора А на ( Ь 1 справа, что мы обозначаем в нотации Диракакак ( Ь 1 А . Формальное определение данной операции выглядиттак:(А.29)1,)где А..v и Ь. суть, соответственно, матричные элементы А и1нормальном базисеlb) в орто-{lv;)}.Упражнение А.52. Выведите следующие свойства операции, определяемой уравнением (А.29):а) А , действующий справа, есть линейный оператор в сопряженном пространстве;Ь) (а1b)(cl = (al Clb)(cl);la) и lc),с) для векторов(\al.A.)ic) = (al( Alc));(А.30)d) вектор (а 1 А, определяемый (А.29), не зависит от базиса, в котором вычисляется матрица (А).Теперь рассмотрим следующую задачу. Предположим, у нас имеется оператор А, отображающий кет-вектор376la)на кет-векторlb):ПРИЛОЖЕНИЕ А.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫА 1а)=1 Ь). Чему равен оператор А t , который, действуя справа, отображает бра-вектор (al на б~а-вектор (bl: (ai.A.t =(ЪI? Оказывается, этотоператор не совпадает с А , но достаточно просто соотносится с ним.ОпределениеА.21. Оператор .A.t ("A-dagger") называется сопряженнъLМ (эрмuтово-сопряженнъLМ) с А, если для любого вектора la)(ai.A.t =сопр(.А.iа)).(А.31)Если А= .A.t, то оператор называют эрмuтовъLМ (Hermitian),или самосопряженнъLМ.В отличие от бра- и кет-векторов, операторы и их сопряженныеживут в одном и том же гильбертовом пространстве. Точнее, ониживут как в бра-, так и в кет-пространстве-действуя на бра-векторысправа, а на кет-векторы слева. Обратите, однако, внимание: операторне может действовать на бра-вектор слева или на кет-вектор справа.лtлУпражнение А.53.
Покажите, что матрица А связана с матрицей Ачерез транспонирование и комплексное сопряжение.Упражнение А.54. Покажите, что для любого оператора {.A.t )t =А.УпражнениеА.55. Покажите, что операторы Паули(1.7) эрмитовы.Упражнение А.56. Используя контрпример, покажите: если два оператора эрмитовы, это не гарантирует, что их произведение тоже будетэрмитовым.Упражнение А.57. Покажите, чтоClc)(bl) t=lb)(cl.(А.32)Данное упражнение может навести на мысль, что оператор, сопряженный с данным, является обратным ему: если «прямой» оператор отображает 1 Ь) на 1с), то сопряженный к нему делает обратное.Это не всегда так: как нам известно из определения внешнего произведения (А.20), оператор 1Ь) (с 1, действуя слева, отображает всё(не только 1с)) на 1Ь), тогда как 1с) ( Ь 1 отображает всё на 1с).
Однако377ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАсуществует важный класс операторов (так называемые унитарныеоператоры), для которого «обратный» действительно означает то же,что и «сопряженный». Мы поговорим об этих операторах подробнов разд. А.10.Упражнение А.58. Покажите, что:а) (Л+в)t =А' +вt;(А.33)Ь) (л.А)' = л:Лt;(А.34)с) (АВ)t =В'А'.(А.35)Можно сказать, что у каждого объекта в линейной алгебре естьсопряженный с ним объект. Для числа это комплексно сопряженноес ним число; для кет-вектора это бра-вектор (и наоборот); для оператора-сопряженный с ним оператор.
Матрицы объекта и его сопряженного связаныпосредством транспонирования и комплексногосопряжения.Предположим, нам задано сложное выражение, состоящее из векторов и операторов, и от нас требуется найти сопряженное с ним выражение. Резюмируя (А.12), (А.32) и (А.35), мы получим следующийалгоритм:а) поменять порядок всех произведений на обратный;Ь) заменить все числа на комплексно сопряженные;с) заменить все кет на бра, и наоборот;d)заменить все операторы их сопряженными.Пример:coпp(ilila)(ЬIC)= л:с' IЬ)(alB'A'.(А.36)Это правило можно использовать для получения следующего соотношения.Упражнение А.59.
Покажите, что(А.37)378ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫд.8. Спектральное разложениеТеперь давайте докажем важную теорему для эрмитовых операторов. Я буду считать, что вы знакомы с понятиями детерминанта,собственного значения(eigenvector)(eigenvalue)и собственного вектораматрицы, а также с методами их нахождения.
Если этоне так, рекомендую заглянуть в любой вводный текст по линейнойалгебре.Упражнение А.60*. Докажите спектральную теорему: для любогоэрмитова оператораVсуществует ортонормальный базис { 1и)} (мыбудем называть его собственным базисом), такой что(А.38)где все и; действительны.Представление оператора в виде (А.38) называется спектральнымразложением или диагонализацией (приведением к диагональномувиду).Упражнение А.61. Запишите матрицу оператора (А.38) в его собственном базисе.Упражнение А.62. Покажите, что элементы собственного базисаоператора V (в смысле упр. А. 60) представляют собой собственныевекторы V, а соответствующие величины и; - его собственные значения, т.
е. для любого iV V;) = V;11 V;).Упражнение А.63*§. Покажите, что спектральное разложение(необязательно с действительными собственными значениями) существует для любого оператораV,такого чтоW' =V'V(такие операторы называют нормальны.ми).Упражнение А.64. Найдите собственные значения и собственныйбазис оператора, связанного с поворотом плоскости двумерных геометрических векторов на угол <р (см. упр. А.41), но над полем комплексных чисел.379ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение А.65§. В трехмерном гильбертовом пространстве триоператора имеют следующие матрицы в орто нормальном базисе{ 1и 1 ),lu2), luз)}:а) i,~[~ ~ ~}Ь) i, ~[!-iс) i, ~[~оооо~}~].-1Покажите, что эти операторы эрмитовы.
Найдите их собственныезначения и собственные векторы.Таким образом, мы обнаружили, что каждый эрмитов операторимеет спектральное разложение. Но единственно ли спектральноеразложение конкретного оператора? Ответ положительный при условии, что этот оператор не имеет вырожденных собственных значений(degeneгateeigenvalues), т. е. собственных значений, связанных с двумяили более собственными векторами.лУпражнение А.66. Эрмитов операторному виду в ортонормальном базисеV{iu.)}.приводится к диагональ-Предположим, что суще-'ствует вектор IЧJ), который является собственным векторомлVс соб-ственным значением и, но не пропорционален никакому 1и). Покажите,что это возможно, только если и является вырожденным собственнымзначением V , а 1ЧJ) представляет собой линейную комбинацию элементов { 1и)}, соответствующих этому собственному значению.Упражнение А.67.
Покажите, что для эрмитова оператораV, собственные значения которого не вырождены:а) собственный базис единственен с точностью до фазовых множителей;Ь) любое множество, содержащее все линейно независимые нормированные собственные векторы оператора V , идентично собственному базису V с точностью до фазовых множителей.380ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫПоследний результат имеет первостепенное значение, и мы будемшироко им пользоваться на протяжении всего курса. Он обобщается также на гильбертовы пространства бесконечной размерностии даже на пространства, связанные с непрерывными наблюдаемыми.А теперь рассмотрим случай операторов с вырожденными собственными значениями.Упражнение А.68.
Найдите собственные значения оператора тождества и покажите, что они вырожденные. Приведите два различныхпримера собственного базиса этого оператора в двумерном гильбертовом пространстве.Упражнение А.69. Покажите, что собственные векторы эрмитоваоператораV , связанные с разными собственными значениями, ортогональны. Предположение о невырожденности собственных значенийне применять.Упражнение А. 70. Предположим, собственное значениетораVvоперавырождено. Покажите, что множество соответствующих емусобственных векторов образует линейное подпространство (см.
определение А.8).Упражнение А. 71 *а) Покажите, что если (\jl 1А1 '1') = (\jl 1В1 '1') для всех 1ЧJ), то А= В .Ь) Покажи;е, что если ('l'IAl'I') - действительное число для всехIЧJ), то А эрмитов.лОпределение А.22. Говорят, что эрмитов оператор А положителен(неотрицателен), если (\jl 1А1 '1') >О {(\jl 1А1 '1') ~ О) для любого ненулевого вектора 1ЧJ).лУпражнение А.
72. Покажите, что эрмитов оператор А положите-лен (неотрицателен), если и только если все его собственные значенияположительны (неотрицательны).ллУпражнение А. 73. Покажите, что сумма А+ В двух положитель-ных (неотрицательных) операторов положительна (неотрицательна).381ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАд.9. КоммутаторыКак уже говорилось, не все операторы коммутируют. Степень некоммутативностиколичественновыражается оператором,известнымкак коммутатор.Определение А.23. Для любых двух операторов А и В коммутатор и антuкоммутатор определяются соответственно следующимивыражениями:[Л,в]=АВ-вЛ;(А.39а){Л,в}=Лв+ВА.(А.39Ь)Упражнение А.
74. Покажите, что:а) Ав=~([ Л,в]+{Л,в});(А.40)ь) [Л,в]=-[в,Л];(А.41)с) [Л,вJ=[в',.4 1 ];(А.42)d) [ А,В+С]=[ А,в]+[ А,с];(А.43а)[Л+в,с]=[ л,с]+[в,с];(А.4ЗЬ)е) [Л,ВСJ=[Л,в]с+в[Л,с];(А.44а)[АВ,с]=[ л,с]в+Л[ в,с];(А.44Ь)t) [ Лв,сЬ]=сА[ в,Ь]+с[ А,Ь]в+Л[в,с]Ь+[ А,с]ВЬ=(А.45)=АС[в,Ь]+с[ А,Ь]в+Л[в,с]Ь+[ А,с]ЬВ.При расчете коммутаторов для сложных выражений рекомендуется пользоваться соотношениями, выведенными в этом упражнении, а не определением (А.39, а) коммутатора. В книге имеется множество примеров того, насколько проще при этом становятся вычисления.382ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫУпражнение А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
