Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Тогда в числителе мы будем иметьN(А &В)/ N = рrл&В Разделим числитель и знаменатель приведенной дроби на Nвероятность того, что случайно выбранный человек окажется мужчинойростом185 см,играющим в баскетбол, а в знаменателеN(В)/ N= prв -вероятность того, что случайный человек окажется мужчиной ростом185 см.рr1в.ОтсюдаprA&R(Б.5)=--.рrвЭто общая формула вычисления условных вероятностей.Упражнение Б.6. Предположим, что событияBl' ... ,В" несовместимы и коллективно исчерпывающи, т.
е. одно из них должно произойти, но никакие два не могут произойти одновременно (рис. Б.2 Ь).Покажите, что для любого другого события АпРГл = LРГлщРГв, ·(Б.6)i=lЭтот результат известен как теорема полной вероятности.Упражнение Б. 7. Вероятность того, что конкретный ВИЧ-тест дастложный положительный результат, равна391ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЬ)а)Рис. Б.2. Условные вероятности: аной вероятностями (Б.5); ЬPr полож. 1 неинф.-- соотношение между условной и совместтеорема полной вероятности (Б.б)=О ' 05.Вероятность ложного отрицательного результата равна нулю.Известно также, что из всех людей, сдающих этот анализ, доля действительно инфицированных составляет рrинФа) Какова вероятностьprполож.&неинФ.= 0,001.того, что случайный человек,сдающий такой анализ, не инфицирован, но при этом получаетложный положительный результат?Ь) Какова вероятностьprполож.того, что случайный человек, сдаю-щий такой анализ, получит положительный результат?с) Был выбран случайный человек-Алиса, и она прошла этоттест.
Ее результат оказался положительным. Какова вероятностьтого, что Алиса не инфицирована?Подсказка: чтобы сделать задачу более наглядной, представьте себегород с населением в миллион человек. Сколько среди них инфицированных? Сколько неинфицированных? Сколько всего будет полученоположительных результатов?Б.З. Биномиальное распределение и распределениеПуассонаУпражнение Б.8.
Монету бросают п раз. Найдите вероятность того,что орел выпадетk раз,а решка п- k раз:а) для обычной монеты, т. е. если вероятность выпадения орла илирешки при одиночном броске равна1/2;Ь) для несимметричной монеты с вероятностями выпадения орлаи решки, равными р и1-р соответственноОтвет:(Б.7)392ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯРаспределение вероятности, определяемое (Б.7), называется биномиальным распределением. Мы постоянно встречаем его в повседневной жизни, часто не осознавая этого.
Вот несколько примеров.Упражнение Б.9§.а) В какой-то конкретный день в некоем городе родилосьКакова вероятность того, что ровно девять из них-20 детей.девочки?Ь) Некий студент при тестировании дает правильные ответы в среднем нас)3 / 4 вопросов. Какова вероятность того, что он правильноответит на все 10 вопросов теста?Некий политик пользуется поддержкой 60% избирателей.Какова вероятность того, что он наберет больше 50% на участкедля голосования со 100 избирателями?Упражнение Б.10. Найдите матожидание и дисперсию биномиального распределения (Б.7).Ответ:(k) = пр ; ( лk2) = пр (1- р) .(Б.8)Упражнение Б.11.
В некотором большом городе рождается в среднем по10детей в день. Какова вероятность того, что в данный конкретный день родится12 детей?а) Если население города составляетЬ) Если население города составляет100000 человек.1 ООО ООО человек.Подсказка: возможно, существует способ обойтись без вычисления1 ООО ООО!Из приведенного упражнения мы видим, что в случае, когда р ~ Ои п ~ со, но, при этом рп= const,вероятности в биномиальном распределении становятся зависимыми скорее от Л = рп, чем от р и ппо отдельности.
Это важное обобщение биномиального распределения известно как распределение Пуассона.Упражнение Б.12. Покажите, что в пределе при р ~О и п ~со, ноЛ= рп = const, биномиальное распределение (Б. 7) принимает вид-1.prk=ел_kk!,(Б.9)при помощи следующих шагов.а) Покажите, что lim~(п)=_!_,11->~ пk k!393ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЬ) Покажите, что lim(l- р (-kn--->== е-А.с) Получите уравнение (Б.9).Упражнение Б.13. Найдите ответ для упр. Б.11 в пределе для бесконечно большого города.Вот еще несколько примеров распределения Пуассона.Упражнение Б.14§а) Патрульный полицейский, дежуривший ночью на шоссе, подсчитал, что в среднем мимо него проезжает60машин в час.Какова вероятность того, что за конкретную минуту мимо этогополицейского проедет ровно одна машина?Ь) Детектор космических лучей регистрирует в среднем500 событийв секунду.
Какова вероятность того, что число зарегистрированных им событий за конкретную секунду будет равно как раз500?с) Среднее число львов, которых видят охотники на однодневномсафари, равно трем. Какова вероятность того, что вы, поехавна такое сафари, не увидите ни одного льва?Упражнение Б.15. Покажите, что и среднее значение, и дисперсияраспределения Пуассона (Б.9) равны Л.25 детей в день,так что Л = 25.
Среднеквадратичное отклонение в этом случае Д = 5 ,т. е. в обычный день мы с гораздо большей вероятностью увидим 20или 30 новорожденных, нежели 10 или 40 (рис. Б.З).Хотя абсолютная неопределенность Д значения п увеличиваетсяс ростом (п), относительная неопределенность Д/л снижается.К примеру, в некоем городе в среднем рождается поВ приведенном выше примере относительная неопределенностьсоставляет 5 /25= 20%.Но в городке поменьше, где ( п) =4 , относительная неопределенность составит целых0.152/ 4= 50%.~0.10• 'Г'0.0510Рис.Б.3.Распределение20Пуассона прии (п) = 25 (сплошные кружочки)394."тl!~::1. .lli:;:11::..~зо(п)40 n4(пустые кружочки)ПРИЛОЖЕНИЕ Б.
ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯБ.4. Плотности вероятностиДо сих пор мы изучали случайные переменные, которые моrут принимать значения из некоторого дискретного множества, причем вероятность каждого значения конечна. Но что если мы имеем дело с непрерывной случайной переменной-к примеру, скоростью ветра, временем распада ядра радиоактивного атома или дальностью полета тела?В таких случаях не существует способа определить конечную величинувероятности для каждого конкретного значениячто ядро атома распадется точно черезвит точно5 м/ с,2 мс илиQ.Вероятность того,скорость ветра состабесконечно мала.Q лежит в некотором диапазоне значений - скажем, что ядро атома распадется в промежутке от 2 мс до 2,01мс, - конечна.
Поэтому мы можем дискретизировать непрерывнуюОднако вероятность того, чтопеременную: разделить диапазон значений, которые принимаетна равные интервалы ширинойQ,8Q. Затем становится возможным определить дискретную случайную переменную Q с возможными значениями Q; , соответствующими центральным точкам каждого интервала,и связанную с ней конечную вероятность pr<:,\ того, что Q попадет в пределы этого интервала [рис.
Б.4 а, Ь]. Как и для любого другого распределения вероятности,I,yr(); = 1.Разумеется, чем меньший интервалмы выберем, тем точнее опишем поведение непрерывной случайнойпеременной.Можно ожидать, что значения вероятности, связанные с соседнимиинтервалами, будут близки друг к другу, если интервалы мы выбралидостаточно маленькие.
Для атомного распада, к примеру, мы можемзаписать pr [2,00 щ, 2,01 мс] z pr [2,UJ мс, 2.D2 мс] z 1/2 pr [2,00 МС. 2,02 мс]' Иными словами, для малых значений интервала величина prQ; /8Q не зависитот8Q. Следовательно,мы можем ввести понятие плотности вероятности, или непрерывного распределения вероятности 1 :prpr(Q)= lim~,oQ-•Oгдеi ( Q)величина(Б.10)(jQесть номер интервала, в пределах которого локализованаQ,а предел берется по множеству дискретизированных рас---------- - - - - - - - - - -1На протяжении всей книги я использую нижние индексы для обозначения дискретных вероятностей, таких какpr; или рrи , иpr(Q).скобки для обозначения непрерывныхплотностей вероятности, к примеру395ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАпределений вероятности дляQ.Эта плотность вероятности-основная характеристика непрерывных случайных величин.Обратите также внимание, что поскольку дискретная вероятностьвеличина безразмерная, то размерность непрерывной плотprQi(Q) -ности вероятностиpr (Q)всегда обратна размерности соответствующей случайной переменнойа)Q.Ь)pr;0.05с)pr,pr(Q)0.50.0103Рис.
Б.4. Непрерывное распределение вероятности: а, Ь - дискретизация непрерывной случайной переменной с шириной интервала oQ = 0,5 и 0,1 соответственно; с - непрерывная плотносrь вероятности. Вероятность наблюдения пере-менной в диапазоне между Q' и Q" равнаJ pr(Q)dQ. Обратите вниманиеQ"Q'на различия вертикальных масштабов трех графиков.Упражнение Б.16. Для непрерывной случайной переменной с плотностью вероятностиpr (Q) покажите, что:а) вероятность наблюдения переменной в диапазоне междуQ"Q'иравнаQ"pr[Q',Q"]= Jpr(Q)dQ;(Б.11)Q'Ь) функция плотности вероятности нормирована:-J(Б.12)pr(Q)dQ = 1;с) математическое ожидание(Q)=d)-JQ задается формулойQpr(Q)dQ;§дисперсия(Б .
13)Q задается формулой(Б.14)396ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯУпражнение Б.17. Найдите плотность вероятности, матожиданиеи среднеквадратичное отклонение для времени распада радиоактивного ядра с периодом полураспада 1:= 1 мс.Плотность вероятности в природе часто имеет гауссово, или нормальное, распределение:(Б.15)где Ь есть его ширина (рис. Б.5). Как правило, гауссово распределение управляет физическими величинами, находящимися под воздействием множественных небольших случайных эффектов, которые суммируются1. Например:••положение частицы, участвующей в броуновском движении;время на часах, подверженных влиянию случайных флуктуацийтемпературы в комнате;•компонент скорости газовой молекулы вдоль какой-то определенной оси.2/JTTh = 1/2-5-4-3-2-1о2345хРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
