Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 58
Текст из файла (страница 58)
примечание на стр 464 — Прим ред. Зза 9. Гироскопические эффекты у роторов При выводе соответствующих уравнений для ротора будем исходить из уравнений Эйлера Аква — (Ал — Си) взив" = Мл, А~в~а + (А — Си) вз вр1 = Мзр, (9.10) Сивл з 3 ~ е! ! Рис. 9,3. динамически неураанеаешенныи ротер. вместо а выражение а" + евзесозу, а вместо (1 выражение рв+ еаза з1п у. Учитывая, что а, р « 1, имеем вр = аи соз у + !зи з!и у + евзо, взи = — алз!пу+(зисозу, вз взо у. (9.11) Здесь положено А" = Ви, так как ротор предполагается симметричным. При равновесии моментов относительно связанной с ротором оси 3 надо положить Мил=О, так что взи =в,=сопз1.
Зависимость между угловыми скоростями ви, взи и углами аа, ба определяется кинематическими уравнениями (1.5!). Чтобы учесть динамическую неуравновешенность ротора, выражающуюся в отклонении динамической оси симметрии ротора (главная ось 3) от конструктивно заданной оси подшипников ротора на малый угол е (рис. 9,3), достаточно в уравнениях (1.51) везде подставить 92, Гироскоп с гибким валом в кардвиовом подвеси 329 Подставляя (9.11) в (9.!О) и учитывая, что Н = Сиоззо, после некоторых преобразований получаем Аий и + Н()а — (Аи — Си) еоззо з! и у = МЯ4 соз у — Мед з!п у, (9.12) Алри — Над + (АЯ вЂ” С") еозззо соз у = МЯ зйп у + МЯ соз у. Моменты, стоящие в правой части, возникают вследствие изгиба вала. Если жесткость вала одинакова во всех поперечных направ- лениях, то Ми соз у — МЯ з!и у = — с (аи — а), М~~ з!и у + Мз сову = с(6 р)' В этом случае уравнения (9.12) можно записать в форме Алаи + Н рл + с (ил — а) = (Аи — Сд) воззвал з4 и оззо!, (9.13) (9.14) Аи(зи — Над+ с(бд — 6) = — (Аи — СЯ) еоз~ созе, ~.
Равенства (9.!4) вместе с (9.9) дают систему уравнений малых колебаний динамически неуравновешенного ротора с гибким валом в кардановом подвесе. Все четыре уравнения системы связаны между собой в силу упругости вала (коэффициент с) и влияния кинетического момента Н. Рассмотрим отдельно собственные колебания системы, а затем ее вынужденные колебания, возбуждаемые неуравновешенностью ротора. 9.2.2. Собственные колебания уравновешенного ротора.
При е = О уравнения (9.9) и (9.!4) сводятся к однородной линейной системе с характеристическим уравнением АзЛз+ с+ с, Π— с О О ВзЛз+ с+ св Π— с — с О АлЛз+ с НЛ О вЂ” с — НЛ АЯЛз+ с = О, (9.15) или азЛ'+ а,Л'+ азЛ'+ авЛв+ ао — — О, (9.16) по= с с,с,. 2 где ав — — (Аа)з АзВ', ав = Н АзВ'+ Аз (АЯ)з (с + с ) + Вг (Аи)з (с + с ) + 2сАэАдВ~, аз = Не 4!Аз (с+ св) + Вз (с+ с~)) + (Ал)з(с + с~) (с+ сз) + + АзАяс(с+ 2с,) + АиВ'с(с+ 2с,) + АзВ~с-", аз= Н'(с+ с ) (с+ с ) + 2Аисс|сз -1- с'(сз (АЯ+ Вг) + св(АЯ+ АзД, О.
Гироскопические эффекты у роторов 330 Уравнение (9.!6) имеет четыре действительных отрицательных корня для 1й, которые соответствуют четырем значениям частот собственных колебаний отт =(Ц) (1= 1, 2, 3, 4). Таким образом, при известных параметрах собственные частоты системы можно определить, решая алгебраическое уравнение (9.16).
Пример такого решения показан на рис. 9.4. Здесь представлены четыре собственные частоты как функции угловой скорости 1Ое 1О, 1О' 10' Рис. Э.е. Собственные частоты гироскопа в кардановом подвесе как функции угловой ско. рости собственного вращения (сплошные линии — для гироскопа с гибким валом, штрико- вые-с абсолютна жесткими вращения ротора оуэо для гироскопа с гибким валом, применяемого в обычном гироскопическом компасе.
При невращающемся роторе (оээв = О) имеются две низкие частоты оуг и от", обусловленные действием слабых связей с~ н сй, высокочастотные колебания ы'и и от'у возникают за счет поворотов ротора относительно рамки, изображенных на рис. 9.2. При невысоких скоростях етэо медленные колебания (с частотой со') можно считать прецессиеи, более быстрые (с частотой отп) — нутацией; частоты оР' и гв' в этом случае соответствуют упругим колебаниям. Такой порядок, однако, не сохраняется с ростом угловой скорости оуэр.
При боль- 9.2. Гироскоп с гибким валом в кардаиовом подаесе 33! ших значениях гово частотой нутации следует считать го'". При больших гово частота го'и Растет пРимеРно пРопоРционально величине гово, т. е. пропорционально кинетическому моменту, а это свойство, как было показано в гл.
6, характерно для частоты нутации. Кривые собственных частот гироскопа с абсолютно жестким валом даны на рис. 9.4 штриховой линией. Из рисунка видно, что для прецессии разница совершенно незначительна (соответствующие кривые практически совпадают), для нутации же видны существенные различия. Кривые, изображенные на рис. 9.4, соответствуют ротору с достаточно малой жесткостью вала; его рабочие угловые скорости выше критических. Однако многие типы технических гироскопов работают в докритической зоне. Для них из характеристического уравнения нетрудно получить упрощенные формулы, учитываюгцие с достаточной точностью влияние упругости вала. Рассмотрим несколько практических примеров. При достаточно большом кинетическом моменте прецессионное движение могкно найти приближенно, пренебрегая в уравнениях движения членами, содержащими угловые ускорения.
Из уравнения (9Л6) исключатся все моменты инерции и часть коэффициентов обратится в нуль: аа = аа = аа — — О. Уравнение примет внд ааЛа + аа = О. Его Решение таково: ао с'с,са аа На (с + с1) (с + са) Обычно с1« с, с, « с; тогда выражение для частоты прецессии принимает вид го! )г с1с, Н Полученная формула еще раз подтверждает установленное анали- зом кривых рис. 9.4 обстоятельство: частота прецессии практически не зависит от упругости вала. Для вычисления других собственных частот при достаточно больших значениях газе можно пренебречь величинами сг и сг Тогда окажется, что в уравнениях (9.16) а, = О и, стало быть, имеется кратный корень Хг,=О, соответствующий прецессии. Дру- гим корням можно дать оценку (по крайней мере, для предель- ного случая очень больших частот).
Для этого достаточно в урав- нении (9.!6) оставить только члены, содержащие множитель На, так что оно сведется к виду (Аз)ге + с) (ВМ+ с) = О. Корни полученного уравнения дают приближенные значения двух частот: ззг 9. Гироскопические эффекты у роторов Это собственные частоты упругих колебаний рамок относительно неподвижного в пространстве ротора. Частота нутации также может быть найдена приближенно.
В предельном случае Н- оо это обязательно самая высокая частота, и ее приближенное значение можно найти, оставив в уравнении (9.16) только члены с двумя высшими степенями Х. Отсюда следует Га и с~~ 1у — в аэ Л л Это известная формула для частоты нутации свободного гироскопа. Наряду с приближением, соответствующим большим значениям кинетического момента, практический интерес представляют формулы для случая больших значений жесткости вала (с- оо). Приближенное значение частоты иутации следует искать в предположении, что частоты упругих колебаний оэгп и вэги в этом случае очень высоки.
Тогда ставшую более низкой частоту нутации можно определить по приближенной формуле сон =~'К= (9.20) )/(л'+ л'+ л') (ля + в') + (ив)с) (л'+ в'+ л') При бесконечно большом значении жесткости второе слагаемое в подкоренном выражении обращается в нуль и в правой части остается известное выражение для частоты нутации симметричного гироскопа в кардановом подвесе. Теперь видно, что вследствие упругости вала частота нутационных колебаний уменьшается и тем сильнее, чем 1) больше кинетический момент Н, 2) больше сумма моментов инерции рамок Ах+ Вэ+А" и 3) меньше жесткость вала с. Насколько существенным может оказаться влияние упругости вала, показывает следующий пример. На рис.
9.5 приведены экспериментальные данные и результаты расчетов нутационных частот гироскопа, для которого влияние упругости вала вообще трудно было ожидать: маховик гироскопа весом 1 кг укреплен на коротком стальном валу диаметром 7 мм. Несмотря на малую утловую скорость ротора (л(3000 об/мин), влияние упругости вала обнаруживается совершенно отчетливо.
Аналогичный результат можно получить для гироскопа с уменьшенным числом степеней свободы, например для гиротахометра. Из характеристического уравнения (9.16) и для этого случая можно найти хорошее приближение. Гироскоп с двумя степенями свободы можно получить, закрепив внутреннюю рамку относительно внешней (сэ-и оо). Если, кроме того, опять считать величину жесткости с достаточно большой и частоты упругих колебаний высокими, то для маятниковых колебаний рамки значение 9.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
